В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для болыпинства стационарных шумов, встречающихся на практике, автокорреляционная функция й„(т) удовлетворяет условию (3 6,9): она приближенно равна нулю при т больше некоторого значения т,. Поэтому йя(т) = й,(т) при т) т,. Следовательно, ответ на вопрос о наличии или отсутствии в колебании о)(у) гармонического сигнала а(1) часто можно получить из анализа коРРелЯционной фУнкции йя(т). Если пРи достаточно больших т она является периодической функцией, то в у1(!) присут ствует сигнал а(1), и наоборот. = — А о й! (1) соз соо т. 1 2 (3.13.10) 97 Повторив приведенные выше вычисления, найдем, что функция корреляции и спектральная плотность сигнала (3.13.7) равны со- ответственно йо(т) =- — ~ Аосозсоот, 5(!) — — -- ~, Аоб(1 — ~о).
(3.13.8) 'о=! о= ! Найдем функцию корреляции сигнала, модулированного по амплитуде случайным напряжением: з(1) = Ао1(Г) со з(гго1+ с1). (3.1 3.9 где Ц0 — стационарный случайный процесс с нулевым средним значением и функцией корреляции й,(т); !р — случайная начальная фаза с плотностью вероятности (3.13.2), не зависящая от $(1). Так как среднее значение сигнала равно нулю, то для функции корреляции по формуле (3.12.9) можем написать лло (т) =- А о (оя (1) оь (Г + т)) ! (соз (соо 1+ !7) соз (соо 1 + соо т + ср)) т —— Здесь индексом указана величина, по которой должно выполняться статистическое усреднение.
Функции корреляции и спектральные плотности других, более сложных сигналов, модулированных случайными процессами, рассмотрены в работах [15 †2. Отметим, что если в (3.13.9) начальную фазу ср считать точно известной, то сигнал з(() будет периодически нестацнонарным. В отличие от стационарного процесса, статистические характеристики которого не меняются при любом сдвиге начала отсчета времени, характеристики периодически нестационарного процесса не изменяются лишь при сдвиге на величину 1о, кратную периоду То = = — 2п /соо, т. е. при 1о =- тТо, где и! — целое число. Поэтому в общем случае плотности вероятности, моментные и корреляционные функции периодически нестацнонарного процесса зависят не только от разности времен, но и от абсолютного времени, причем последняя зависимость является периодической.
В тех случаях, когда начальная фаза сигнала несущественна (некогерентные системы), при вычислении статистических характеристик периодически нестационарных процессов допустимо применять временное усреднение по периоду 121, 22). й $4! ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ Можно привести много конкретных выражений для корреляционных функций и спектральных плотностей. Если, например, стационарный шум, имеющий постоянную спектральную плотность )у оу2 (бельпс шум, см.
3 16), воздействует на линейную систему с передаточной функцией К()со), то спектральная плотность шума на выходе системы, как будет показано в з 1 гл. 6, есть — "~К()а!) ~о. 2 Из преобразования Фурье (3.10.2) можно найти корреляционную функцию. Хаким образом, для каждой конкретной системы будет получена своя корреляционная функция выходного шума. Однако в дальнейшем наиболее часто будут встречаться несколько типовых функций корреляции. Выражения для нормированных функций корреляции и соответствующие им спектральные плотхости приведены в табл.
3,14.!. Указанные функции корреляция получены путем пропускания белого шума через фармируюисие линейные фильтры. В таблице указаны также значения второй производной от коэ!рфицие!пц корреляции в нулевой точке и отношения энергетической ширииы полосы ссг', к ширине полосы Л) на уровне 0,5 от максимума спектральной плотности. й 1а. НОРМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС Случайный процесс $(~) называется нормальным (гауссовым), если при любом и и любых 11, 11, ..., 1„из области изменения аргумента 1 плэтности вероятности для совокупности случайных величин ~, = 1((о), р.
= 1, 2, ..., п, являются нормальными (гауссовыми), т. е. определяются формулами ц" а1 ", $. 11, -, 1,) = — ь.. х ! ол у(2~с)ь )О л 1 (л л) (~ л!) ...о'(-„~ о,. '.,о,о„ !.. =! о Здесь т„=- ($(1,)) — математическое ожидание случайной величины $(1,); а =-((г,— то)о) — дисперсия случайной величины $(го); 0 — определитель и-го порядка, составленный из коэффициентов корреляции )с(1 1„), (($, и )($ т„)),!а и„; Корреляционные функции и ) ь (т) = — — ) .ч ( еу"' т зк $ (.1) = ) ь (:) е — тьи ии « "(ф — н«(о)= — — „ График Аналнткческое выражение Графнк А)а — о (т) 2 е — «)т) (1+«(с))е 1,221 16«е 1, 155 3(„з ( „а)з 1,Обб †.«та е ' 2« — при )ю(< Ьы О прн (а(> Ью з)п Лют Ьыт А ют 3 Процесс нлн формврующна фильтр 1, Белый птуи Низкочастотный )(С-фильтр Два ннзкочас- 3 тотнык )(С"фалы.
ра Три низкочастотных )тС- фильтра Гауссов низко- частотный фильтр Идеальный низ- кочастотный фильтр Аналитическое выражение '+"'+ 3 ' ) Х спектральные плотности 4«а, («т + ыа)а Т абл н ца 3Л4.1 Продолжение о (а) = )Г Л (с) е Ге" он ~(э 5| е "(а) — РГ" (О) = — —, а Грарик (ро )' 1 + (Ро ) ~) оо ')оса — .42 ой 1 2 о "О 1, 571 4а (соей+ай) о+ ой 1,571 о'о + 2' 1,065 со Ьый "'о 12 ,2 + 4(й4 4Еф 11роцесс или Еор- л(с)= —,— ) и( )е)-с па 1 йи Аналитическое выражение 0 прн )ю(<Ью — Прн ) вз)) Ьсо — Ао (а(а — ьа)+о('"+с'а)1 1 аа+ (е — ао)а + 1 " +(е +па) ~ [ай+(ев — ~ )й) (ай+ (а+ ш )и) ~/ — 'х [-" "'в)* (е+ ов) ~ Х е а' +е 1С Ьп — при ) и ~ сва) ее Д~ь 0 при ) се ~ о~а 1 -(вао О асл а/ ,д Р АЫ 2Ы 112 2222 ()Г(.
= К„Р„~ = 1); (3.15.2) 21 Г' 2Я !Ь 22! 1 221 В1(и!) = ехр~) !т!.иг — 2 о! и(1 (3.15.6) )!2! )222 (3.15.7) где где й = Р = )2' (11, 12) = )~ (12, 11). (3, 15.10) и(ГГ (К ", Б,) = и( (ВД ... и(, (~„) = л 1 ~' (' — ".)'1 (3.15.5) (де 102 202 Є— алгебраическое дополнение элемента Де определителя Р. Характеристическая функция, соответствующая плотности вероятности (3.15.1), имеет вид и 2 2.("и- ".
(»- (! — '"Г)(' л 22 — Г 2 1((. ((~~) 2, -! (3.15.3) К (гю 1.) = ([$ (1.) — те[ Б (1.) — т.[) —— = п„о', 12 (1, 1,) — функция корреляции. (3.15.4) Видно, что в выражения для плотностей вероятностей (характеристических функций) нормального случайного процесса входят только математические ожидания и корреляционные функции. Следовательно, если из физических соображений известно, что слу-, чайный процесс является нормальным, то он исчерпывающим образом определяется указанием закона изменения во времени математического ожидания и корреляционной функции. Поэтому корреляционная теория дает полное описание нормальных процессов.
Для нормальных процессов все высшие кумулянты и корреляционные функции, начиная соответственно с иа и Кг, равны нулю. Поэтому нормальные процессы могут отличаться друг от друга значением математического ожидания и видом корреляционной функции (спектральной плотности). Если значения случайного процесса з(1) в точках 1,, 1,, ..., 1„ некоррелированы, то К„, =0 при )2+т и 12, =1. Поэтому Р = 1, а Р„, =- 1 пРи )2 = т и Ре, = 0 пРи Р Ф т.
В данном слУ- чае формула (3.15.1) принимает вид Следовательно, если нормально распределенные случайные величины Цг ) некоррелированы, то они независимы. Полагая в формулах (3.16.1) и (3.16.3) и = 1 и и =2, пойучим частные соотношения: 1 и(261 $2) = , х 2г21 аг 2Г 1 — Яг х ехр 2(1 дГ2) Г[ г а — — Г'. '-'- г(2, 2(,)2 (21 ГГГ!) (1 — Гпг) + (22 — ГГ() 1) '- — 2 аг ! (3.15.8) 1 Г 2 2 а 211 О (и„и) = ехр()(т! и, + тг иг) — — [а! и(+2)ГГ(2!оги!и!+па ига[ (3.15.9) формулы (3.15.3) н (3.15,7) позволяют прийти к важноиу заключению, По определению, характеристическая функция случайных величпн 21,..., $„равна О, (иг, и,, ..., и„12, ..., 1„) = (ехр ()и, $! + ...
+ /и„$„)). Поэтому для характеристической функции суммы $=Ь +".+$„ можем написать т((п,1„...,1„) = (ехр1ий)=(ехр)и($!+ ... +й„)) = = 6„(и, ..., и, 1,, ..., 1„). 1'.ели случайные величины $1, ..., $„являются нормальными и имеют характеристическую функцию (3.15.3), то можем написать 8(и, 1„..., 1„) =--ехр (1Ми — — оги )), (3.15.11) М= ~2 т„, пг= ~ К(1, 1,). (3.15.12) (Г 1 (Г,Г 1 Эта формула по виду совпадает с формулой (3.15.7), только теперып и ой зависят от п моментов времени. Так как формула (3.15.7) описывает нормальный случайный процесс, то и случайный процесс з будет также нормальным.
Таким образом, сумма конечного числа нормально распределенных случайных величин (зависимых или независимых) является также нормальной случайной величиной. Применив формулу (3.2.6) к нормальному процессу и воспользовавшись (3.15.6) и (3.15.8), находим условную плотность вероятности а(! (1)= .»-,и и-.» "и[ — »( -и'( ( (3.1 5.13) Предположим, что выполняются соотношения т, = (Ц (1,)> = т, К (1„1») =й ()йр — 1,)), ]4, т = 1„2,, и, (3.15,14) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
