В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3) с учетом (3.18.4) можно записать так: ~'в в ~ (Хв~ "., Хк, (в, "., Ул) = =Р(К„, 1„(Х« „1„,)%'к(Х„, ..., Х... т„,, (к ~), (3.18.8) 119 В свою очередь, 1' «(хо " хл — ! >о ".> «л — !) = Р(Х« — !> «» — ! ( Хл — 2 «л — 2) )т л — ! (Хо, ..., Х»-2> «о> " «л-2)> В'2 (хо, хь «о, «!) — Р(хь «2 ~ хм «о) 1>> (хо> «о). Путем подстановки последующих равенств в предыдущие, формулу (3.18.5) можем записать (У'лт!(Хо ",х>и «о "> «») =-Р(х», «»~х» !, «» — !)~ Х Р (хл — !, «л — ! / Х« — 2, «л — 2) ° ° Р(Хь «! !> хо, «о)%>(хо «о), (3.18.6) х«т« Рис.
Зда. Траектории бреу«окских частиц. Таким образом, многомерные плотности вероятности для марковских процессов (процессов без последействия) выражаются через вероятность перехода р(х, « ~ х„«о) и одномерную плотность вероятности К(хо, «о). Иначе говоря, характерное свойство марковских процессов состоит в том, что начальная одномерная плотность вероятности %'(хо, «о) и вероятность перехода Р(х, « 'хо, «о) полностью определяют марковский случайный процесс. Вероятность перехода удовлетворяет нескольким условиям н, в частности, условию нормировки ~ р (х, « ~ х„«о) с«х =- 1 (3.18.т) и уравнению Смолуховского ) Р (х, «! х', «') Р (х', 1' ! хо «о) т«х' = Р (х, « ~ хо, «о) (3.18,8) В справедливости (3.18.8) легко убедиться.
Г:огласно (3.18.6) прн «о(«'(«можем написать )г о ( »о -» х «о « «) =- Р ( " «,х « ) Р (.» ! ~ хо «о) ок (.!'о «о) Проинтегрируем обе части этого равенства по х'! ~(оо(х„,х', х, «„«', «)с(х'=%'(хо, «о)) Р(х, «(х', «) Р(х', «'',х„«о)с(х', По условию согласованности (3.2.5) интеграл слева равен двумерной плотности вероятности, которая для марковских процессов выражаетсч через вероятность перехода. Поэтому )Р'2(хо х «о, «) =Р(х, «!хо, «о)Ж (хо «о)= = %' (х„«о) ~ Р (х, «! х', « ') Р (х ', « ' !! Х„«о) «Кх', откуда к следует (3.18.8).
В тех случаях, когда вероятность перехода зависит только от разности т = « — «„ т. е. Р(х «!х «о) =Р(х т хо) =Р>(х хо) марковских случайный процесс называется стационарным (однородным по времени). Если при т - со вероятность перехода стремится к некоторому пределу 1(п! Р>(х,хо) = Р(х), не зависящему > О> от началького состояния хо, то говорят, что существует предельная или стационарная вероятность.
Отметки, что если при линейных преобразованиях свойство аормальности про- Рис. З.оэ. иллюстрация сооткоо»ения цесса сохраняется, то свой- ме клу корма»илами и марко скими ство незавхсимости приращений (марювости) теряется. Наоборот, если при нелинейных безынерционных преобразованиях сохраняется свойство независимости приращений (марковости), то свойство нормальности утрачивается. Нормальные процессы и марковские процессы в общем случае частично «херекрываются» (рнс. 3.19). Так, например, если не пренебрегать силой инерции броуновской частицы, то вместо уравнения (3.18.1) получим следующее уравнение Ланжевена, описывающее поведение частицы: т — + )>э = п(«), >«» !.де я — масса частицы; о(«) = х(«) — ее скорость. Не конкретизируя, запишем это уравнение в общем виде дх „— +С»Х = ИЯ, (3.18.
10) Зи». Зак. 2М $21 120 / (.) ПОŠ— ал1 (3.18.11) Й(и, х) =.. -"- — ()и)", 'Чл тл (х) л=О (3. 19.3) == ~'„( — 1) " — б(х — х,). л т„(х) д" дхл л =О Н Л11 (3.19.1) 423 где и(!) — нормальный белый шум с нулавым средним значением и дельта-функцией корреляции (3.1б.1). Из уравнения (3.18.10) видно, что случайный процесс х(!) получается из нормального белого шума в результате линейного преобразования н, следовательно, х(к) есть нормальный процесс. Функция корреляции этого процесса в стационарном состоянии имеет вид 1см.
формулу (6.4.7)1 Нормальный случайный процесс с функцией корреляции вида (3.18.11) является одновременно и марковским. В этом можно убедиться так [381. Для нормального стационарного процесса х(г) по формуле (3.15.15) можно записать трехмерную и двумерную нлотностн вероятности ш,(х„хьл хл), и1О (х,, х,) и вычислить условную вероятность р(х,; х„х ), где предполагается 1, )кл)!ь Если функция корреляции имеет вид (3.18.11), то окажется справедливым равенство р (х ! х, х1) = р (хл ] х ) =-' рь — 1 (хз, хх) (3.18.12) и, следовательно, процесс х(1) является марковским.
Для марковских процессов хорошо разработаны методы решения некоторых практически интересных задач. Типовые задачи и методы их решения рассматриваются в следующих параграфах. й 49. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА Для марковских процессов диффузионного типа сравнительно просто находится одномерная стапионарная плотность вероятности. Получим сначала уравнение Фоккера — Планка, которому удовлетворяет плотность вероятности, и затем укажем возможные обобщения его. При этом здесь кратко воспроизводится лишь один из возможных вариантов вывода уравнения Фоккера — Планка ]391; другой вариант можно найти в оригинальных работах 140 — 421. Рассмотрим значения марковского случайного процесса х(Г) в два близких момента времени: г и г+ т, т ) О.
Полагая в соотношении (3.18.2) х' = х(к) =- х, х =- х(Г+ т) =- х„можем на- писать ]р,(х, „1, !+ ) =.]]т(х, !)р(х„г+ ]х, !). Интегрируя это равенство по х, получим В' (х„! + т) = ~ р (х-,, ! -'-, т,'х, !) ]О' (х, к) Нх. Введем вместо вероятности перехода р характеристическу!б функцию (](и, х) случайного приращения х,— х за время от 1 до г+ т при условии, что х(!) = х фиксировано. Очевидно, что О(и, к) = (е'"(" ')) = ~ е'"( ' ")р(х„к+т',х, т)к[х,.
Оогласно преобразованию Фурье можем написать р(х„,т+т, х, т) =-- — ~ е '" ! ' ')0(и,х)ии. (3.19.2) ! !о формуле (3 4.3) характеристическая функция равна 1ДЕ Гпл(Х) = ((Х. — Х)') — МОМЕНТЫ ПРИРаЩЕНИЯ Х„вЂ” Х. Из сооткошений (3.19.2) и (3.19.3) имеем Р(х„!+т]х, Г) = л~л ", — - ~ е '"("' ')()и)лО(и = л=э — Лл „тл (х) 1 д" ( — 1)" —.„—,2л — „( Е'"(х: х) 11 2л д л л —.- О 'ОЭ '!десь последнее равенство написано на основании формулы (П.9).
Подставяв это выражение в (3.19.1) н воспользовавшись форнулой (П.1."), можем написать дг (хь г -1- т) .= х — — — „[тл (х„) %' (х„!)1 ллл ! !)л дл дх" д, СО ]р'(х,! + т) — [р" (х„!) = ~, ( 1 — [т„(х„)[р(х„г)]. л=! 1]оделив левую и правую части это!о равеиства на х н переходя затем к пределу при т- 0 (прн этом х,— х+ 0), получим ~~(»* ~! = ~~ (:) — -в (К (х)%'(х,!)], (3.19.4) л=! где К„(х) =1!ш'""("! =- 1!ш((' ' ) ..). (3,19 5) о т 0 Напомним, что прп статистическом усреднении приращений величина х рассматривается как фиксированная, а х.
считается случайной, т. е. усреднение должно выполняться с соответствующей вероятностью перехода: ((х-, — х)") = ~ (х; — х)" р (х-, ! + т ! х, !) ~!х,. Если коэффициенты К„(х) прн л:-:ь3 равны нулю, т. е. Кз(х) =К,(х) = К,(х) = ... =-О, (3.19.6) Это дифференциальное уравнение в частных производных (параболического типа) называется уравнением Фоккера — Планка или диффузионным уравнением. Последнее название оправдывается тем, что аналогичным уравнением описываются процессы диффузии и теплопроводности. Для отыскания решения уравнения Фоккера — Планка (3.19.7) нужно указать начальные и граничные условия. Конечно, плотность вероятности при всех ! должна удовлетворять условию положительной определенности и условию нормировки: ]и' (х, !) > О, ) 11' (х, !) йх = 1.
(3.19.8) Если возможные значения марковского процесса х(!) в начальный момент времени !и являются случайными и имеют плотность 124 то марковский процесс называется непрерывным. Условия (3.19.6) выполняются, если воздействующий на систему случайный процесс «(!) можно рассматривать как нормальный стационарный белый. шум с нулевым средним значением гп = ( $(!) ) .=-0 и дельта'- функцией корреляции (3.16.1), где коэффициент ]Уэ вычисляется по формуле (3.16.3).
Для непрерывных марковских процессов уравнение (3.19.4) принимает более простой внд: — = — — (К,(х)(г (х, !) т и д "]К»(х)В'(х, 1)]. (3.19.7) Уравнение (3.19.7) представляет собой уравнение непрерывности — %'(х, !) + — 6(х, !) = О. (3.19.11) Если случайный процесс х(!) может принимать всевозможные значения ог — оо до ., то уравнение (3.19.11) справедливо на всей прямо!ь В качестве граничных условий при этом следует брать условия на ~оэ.
Интегрируя (3.19.11) по х от — до о~ и учитывая условие нормировки (3.19.8), получаем обязательно выполняющееся равенство 6 ( — оо, !) = 6(са, !), (3.19.12) так как — и'(х, !)ах = О. д Однако пояимо равенства (3.19.12) часто выполняются более силь- ные условия (3.19.13) (3. 19.14) 6( —, !)=6(, г) =О, Ж ( — ео, !) = Ър'(со, !) =- О, которые макао назвать нулевыми граничными условиями. 125 вероятности ]Р',(х), то в качестве начального условия указывается эта плотность вероятности 1» (х, !о) = ]1' а (х). (3. 19.
9) Когда же значение х(!э) точно известно н равно х„то ]Р (х !о) = 6(х — х,). Как следует из (3.18.2), при таком дельтообразном начальном распределении плотность вероятности ]й'(х., ! + т) совпадает с вероятностью пе]юхода р(х„! + т)хо, !о). Граничные условия могут быть весьма разнообразными и определяются существом физической задачи. Перед тем как указать их, заметим, что коэффициент К„(х) характеризует среднюю скорость систематического изменения координаты х(!), а коэффициент К»(х) — случайный разброс относительно средней скорости.
Прн этом само уравнение Фоккера — Планка допускает следующую интерпретахию. Пусть имеется большое число броуновских частиц, выходящих в начальный момент 1, из х,. Концентрация их в точке х в момент ! иропорциональна В' (х, !). Поток частиц 6 складывается из систематического потока К,]Р' и случайного (диффузионного) потока — —,— - — [К ]й'], т.
е. д . 'д» о(х, г) = К»(х)Ж'(х, !) — я- д (К,(х)]и' (х, г)]. (3.19.10) В тех случаях, когда функция х(!) может принимать ограниченные значения а < х < Ь, уравнение (3.19.7) следует рассматривать лишь в этой области. При этом нулевые граничные условия имеют вид (3.19.!5) 6 (а, г) = 6 (ь, !) =- О. Начальные и граничные условия однозначно определяют плотность вероятности [Р(х, !) как решение уравнения Фоккера— Планка. В том случае, когда коэффициенты К,(х) и К,(х) ие зависят от времени, плотность вероятности Ж'!к, !) с течением времени обычно стремится к стационарному распределению %',„(х), которое не зависит от начального распределения %'(х, !о) и времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
