В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Под этому в стационарном состоянии —.— К„(х) =0 и, следовательно, 6(х) = 6 = сопз!. При этом уравнение Фоккера — Планка (3.19.7) переходит в линейное дифференциальное уравнение для %'„(х): — „" [К,(х)%'„(х)] — 2К,(х) К,-,(х) = — 26, (3.!9.!6) для которого хорошо известно общее решение [131. При нулевых граничных условиях имеем 6 = 0 и из (3.19.16) получаем — [Ко (х) %'ст (к)[ — 2Кд(к) [[У~~ (х) = О. (3.19.17) Общее решение этого уравнения дается выражением к [г„(х) =- ехр 2 ~ — '-, пх', (3.19.18) о где постоянная интегрирования С определяется из условия нормировки (3,19.8).

Этой формулой часто пользуются при решении конкретных задач. Таким образом, опредеяив из уравнения, описывающего поведение системы, коэффициенты К,(х) и К,(х) по формуле (3.19.5), в некоторых случаях можно сразу написать выражение для одномерной стационарной плотности вероятности. Это показывает эффективность использования уравнения Фоккера — Планка.' К сожалению, полное исследование переходных процессов, связанное с решением нестационарного уравнения (3.19.7), является довольно сложной задачей.

Решение иестационарного уравнения не удается получить в общем виде, кроме некоторых частных случаев, например, когда К,(х) == с+ с[х, К,(х) = сопэ!. (3.! 9.! 9) 136 Однако в этом случае, как видно из (3.19.18), процесс является нормальинм и может быть исследован другими методами.

Уравнение Фоккера — Планка можно обобщить на многомерные марковские случайные процессы. Пусть координатами многомерного марковского процесса являются случайные функции к,(Г), „., х (!), задаваемые дифференциальными уравнениями -„--' =),(хь ...,х )+и!(!), ! =-1, 2, ...,т, (3:19.20) где и!(!) — нормальный белый шум с нулевым средним значением. Многомерное уравнение Фоккера — Планка записывается так: д$Г (х!, ...., х,„, !) ъ~ д — — —,о[К (,, ) !Р(х,",к,!)[+ ! =.! д! + й 2 д д [К!!(х„..., х„) [к'(кь ...,х,!)[. (3.19.21) ! ! ! / Коэффициенты К; и Кот определяются формулами К! =1!!и ' " -- Кг! = ![тп " ' ~ — ' .

(3.!9.22) /х!,— к;) ((к,. — к,,)(х! — к )) -о х (т) = х, = хе — ' + е — "' ) е"' п(х) сЕх о (3,19.23) !!ли х.— х ==- х (е- " — 1) + е — "' ) е'" п (х) с!х. о Отсюда найдем (х, — х) = к (е — ' — 1) + е '. ) е"" (п (х)\ с(х = к (е-'= — 1), о И7 Даже стационарное решение двумерного уравнения (3.19.2!) в отличие от одномерного в общем случае не выражается в квадратурах и для его отыскания необходимо проводить самостоятельное исследование в зависимости от конкретного вида функций )!, Рассмогрим простой пример.

Пусть поведение системы (частицы) описывается дифференциальным уравнением (3.18.10). Решение этого линейного дифференциального уравнения при начальном условии х,'О) = х, Г = О имеет вид ((х, — х)') = х' (е — "= — 1)в+е — з'"" ~ ~ е"" )» (л (х) п (у)) «[хну == о о = хв(е — "' — 1)'+ — -"- (1 — е-»" ). )Чя 4« Используя для малых т приближенное равенство ехр( — ут) = = 1 — ут, по формуле (3.19.5) получим К (х) = —, К (х) = — )то. (3.19.

24) Применительно к данному случаю уравнение Фоккера — Планка принимает вид дв«д ( 1«,)+ 1 „, дз~~~ (3.19. 25) еще не ска«ываются, то при 1 = 0 скорость частицы вполне определенна н равна х(0). Естественно, что плотность вероятности имеет вид дельта. функции, как это схематически изображено на рис. 3.20. Вследствие ничем не компенснруемой силы трения начальная скорость с течением времени уменьшается, приближаясь к нулю. Поскольку случайные толчки со стороны молекул в противоположных направлениях равновероятны, то случайная сила п(1) не изменяет средней скорости. Однако дисперсия скорости из-за многократных соударений возрастает с течением времени.

Это приводит и«ст Решение этого уравнения легко находится на основании того, что случайный процесс х(1) является нормальным. Одномерная нормальная плотность вероятности 1г'(х„с) определяется математическим ожиданием и дисперсией, которые находятся из решения (3.19.23) и равны соответственно: гп (г) = (х (г)) = х (0) е-', о. (1) = ([х(1) — гп (1))в) = — '(1 — е-'"').

Поэтому )ут(х 1) = ехр ) — —,— [х — т(~))~~ . (3 !9 26) а (~) ~/ йя 1 2« (") Рассмотрим частные случаи. При 1-» 0 среднее значение гп(1) -и х(0), дисперсия ав(1) -и 0 и, следовательно, !)7(х, 0) =б [х — х(0)). (3,19.27) Прн ! -» оо имеем «п(г) = О, ов = Лте/4и. Плотность вероятности стремится к стационарному нормальному распределению, не зависящему от х(0) и времеви с, 1 / х««! (3.19.28) Полученным результатам можно дать наглядное физическое пояснение.

Сделаем это применительно к уравнению Ланжевена. Мы предполагаем, что в начальный момент времени 1 = 0 частица имеет определенную начальную скорость. Так как в начальный момент случайные толчки со стороны молекул окружающей среды 4лВ Рис. 3.20. Изменение пяотности вероятности во времени. к тому, что плотность вероятности для скорости «расплывается» нсе шире и шире (рис. 3.20), приближаясь с течением времени к стационаэному распределению (3.19.28).

Отметнвь что если положить а = О, то уравнение Фоккера— Планка обращается в уравнение диффузии д) 4 вд'" (3. 19. 29) Оно имеет решение „ .уаг [ чв' (3,19.30) з 20. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА К РЕАЛЬНЫМ СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССАМ В э 19 было показано что уравнение Фоккера Планка прн мсннмо в тсх случаях, когда в правую часть дифференциального ~ равнения системы входит случайная функция, представляющая которое все время расплывается, так что стационарного решения не существует.

Конечно. рассмотренный пример является непоказательным и не вскрывает принципиальную ценность уравнения Фоккера— 1!ланка (см. 9 20). (3.20.1) ч'х где э(1) — стационарный случайный процесс с нулевым средним значением и функцией корреляции йп(т), имеющей конечное время корреляции т,. Решение этого уравнения с начальным условием х = х(0) при 1 = 0 имеет вид х(1) =- х(0) + ') Э(з)тЬ.

о (3. 20. 2) Чтобы процесс х(1) был марковским, необходимо, чтобы за последовательные интервалы времени 1, =- тн т, = 1т — , 'тв 1„= Г„. 1+ т„, (т,, ..., т„)0) случайные приращения х(6) — х(0), х(т,) — х(11), ..., х(Г„) — х(1, 1) били независимыми. Если время корреляции т„конечно, то эти приращения, вообще говоря, будут зависимыми. Вычислим сначала парные корреляции между двумя соседними приращениями. Из решения (3.20.2) имеем — х(1т) — х(0) =- ~ $(з1) п(з1 о нормальный белый шум. Однако в э 16 отмечалось, что белый шум следует рассматривать как идеализацию реальных флуктуационных процессов, причем такая идеализация применима лишь при определенных условиях.

Так, например, в случае броуновского движения случайную силу, обусловленную соударениями рассматриваемой частицы с молекулами окружающей среды, можно рассматривать как дельта-коррелированную лишь для временных интервалов, превышающих среднее время свободного пробега молекул. Поэтому представляется естественным применение уравнения Фоккера — Планка к дифференциальным уравнениям, содержащим не дельта-коррелированные случайные функции, если интересоваться поведением системы через временные интервалы, превышающие время корреляции случайной функции.

Для таких больших временных интервалов можно пренебречь зависимостью между случайными приращениями на разных интервалах. Рассмотрим для примера простейшее уравнение Функция корРеляции между этими прираще ащениями равна ч игь г~ . К<л-ьйх,)=- 1 ~ <~<,)~<,)>„, „ о 1 2 =-; (3 — зп) п<п Дз о -.„ Заменой переменных з — т = у, —,=у, з,— т,=-г получим о К(Лх„Лх.) = ) ) й;(г — у)п(у~(г. —:,о Б удем интересоваться временным ими интервалами (3.20.3) (3.20.4) Тогда в выражении (3.20.3) вместо т и т о 1 и К(Лх„Лх,) =.— ~ ~ Угп (г — у) т<ус<г. (3.20.

5) — оо 'О Обычно функция корреляции г:,~т ст ем ' П получим м т, ри этом чсловии п тем у у ем интегрирования по частям 4 Г тк —— — ) тй,.(т) 1т о (3.20.7) где величина А', вычисляется согласп (3.16 3 ю ( . . ) и равна 00 СО Л'и —— 2 ) 7г~(т) дт=4~ Йп(т)4т, ОЭ о Из выражения (3.20.5) с учетом (3.20.6) и '3.20.7 п, , .20.7) м, у м~, приращениями приближается ается к постоянной величине К(Лхь Лх,) — — М~ т,.

(3.20.8) ю ~1йп — ( ОЭ 0Э Оо у)~у "г=,) '1г ~ лп())Л = ) оп(т)п(т. (3,20.6) о а Определим время ко еля „улои ' ' РР ции слУчаиного пРоцесса $(1) фор о о Здесь о о (3. 20. 13) то ) 2К(Р, д )дк о т< )) т„= К(Р, Р ) 2(2 'о дК, (х) (3. 20. 15) (3,20.11) !ЗЗ Дисперсии случайных приращений значительно превосходят эту величину: ,, (л ',) — ~ ~ йо(22 — з,)()з, Ьк = 2 ) (т — )йз(т)(( = ! — 2 ~ (т1 — т) А.,(т) (Гт =- — й(о(т1 — тк) О 1 о 2 2 ! по = ((1хо) = ) ) Й2(Б2 Я1)2)21([зк ~о( 2 ™)' 2 Коэффициент корреляции между случайными приращениями при условии (3.20.4) весьма мал: К (Лхт, Лхо) К(ах,, ах,) кк ! кк 21 2 2 ". — 2.

Характеристики

Список файлов книги