В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (1092040), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если случайные функции $(г) и т[(г+ т) = т), независимы, то по формуле (3.2.9) можно написать Ф'г($, т[,) = 1Тгт Я) [Тгт(т),). 1нпй(т) = О, (3.6.9) l ы (3.6.7) я(т) = а( — с). (3.6.8) [ й (т)! ( й (0) = а'. й (т) =- а' е — '" (т) а е ~ ~соз сов т 76 Подставим это выражение в формулы (3.6.2) и воспользуемся соотношением (2.4.11), согласно которому ) ($ — тв) иУ,фд$ =-О, ) (т[ — и,)К,(т[)дт[= О. В результате получим ль,(т)=0.
Пусть случайные функции $(1) и т[(1) связаны детерминированной линейной зависимостью $(1) =. ~ат1(1)+ Ь, где а и Ь— постоянные величины. В данном случае ин = ($ (1» = + атэ+ Ь, ах = (Я (1) — их!') = а' а,'г Для функции взаимной корреляции получим лев(1 х) = ([й(с) тй! [Ч(1) — тв!) = ~пав = ~ ах аз, (З.б.б) Таким образом, если стационарные случайные функции независимы, то функция корреляции между ними равна нулю для всех значений т. Функция взаимной корреляции для линейно связанных случайных функций равна произведению их среднеквадратичных значений, взятому с соответствующим знаком.
Поэтому можно сказать, что корреляционная функция дает качественное представление о линейной зависимости между значениями одной или двух случайных функций в выбранные моменты времени. В дальнейшем нам придется часто оперировать с автокорреляционной функцией стационарных случайных процессов. Автокорреляционная функция стационарного процесса обладает следующими свойствами: 1.
Она является чечной, т. е. Это следует из определения стационарного процесса, т. е. из условия независимости его характеристик от начала отсчета времени. Поэтому й ( ) = (В (1) В (1+» — ' = (ч ( — ) В (1» — '= й ( — ). 2. Абсолютное значение автокорреляционной функции при любом т не может превышать ее значения при т = О, т. е. Этот результат следует нз очевидного неравенства, что математическое ожидание положительной функции не может быть отрицательным: (([$(1) — т! ~ [$ (1+ т) — т!)в):.>. О.
Отсюда имсем т~ ) ~ 2 ([х в(1) — т! [ия(х + т) — т!) ! '([н (1 = 2ав ~- 26 (т) > О и, следовательно, ов ..: ~ ь(т)! Лля кногнх пРактически инте есных ста ных процессов справ ведливо соотношение Р ных стационарных случай Физически згот результат объясняется те наблюдаемые я тем, что случайные процессы, р у "чино работающих системах, в стациона но н стой ких систем на мг мент конечное время корреля ин (с . 7, Р мгновенное внешнее воздействие типа 6-функции Рис здс Г в р фини двух корреляционных функций, имеет конечное время затухания.
Поэтому после едующее значение я практически независимым или некоррелн!юванным с нредыдущим значением, если они разделены инте вялом Таким образом, автокорреляционная нк ия ная функция стационарного нрн т =, равный дисперсии а', н, как п н ~н =... как правило, убывает до нуля фУ ц, Удач~'ГВОР~~- оо. а рис. 3.2 приведены две вк ии 4.
Однако не всякая 4 нк фу цня, удовлетворяющая указанным и условиям, может быть 'корреляционной нк и ". и клзать [ск формулу (3,107'! ч , ), что корреляционная функция стационарного процесса должна удовлетворять дополнительному условию ) (о(т) сов(от дт)-0. (3.6.10) о Отметим, что функции взаимной корреляции не обладают указанными свойствами. Свойства автокорреляционной функции (3.6.7) и (3.6.8) могут быть обобщены на нестационарные процессы. Для нестационарных процессов они принимают вид К(1м 1«) = К (1», 1«), ', К(1,, 1»)) (п(1,)п(1в).
(3.6.11) $7. КОЭФФИЦИЕН1 КОРРЕЛЯЦИИ Формулы (3.6.2) и (3.6.6) показывают, что корреляционные функции характеризуют не только степень связи между случайныо и зависят от их дисперсий. Действительно, если, например, одна из функций о(г) илн «1(1) весьма мало отклоняется от своего математического ожидания (почти постоянна), то корреляционная функция будет мала, независимо от степени связи между Для количественной характеристики степени линейной зависимости случай учайных функций целесообразно ввести нормированные автокорреляционные и взаимно корреляционные функции. ределяются соответственно формулами )7(т) = —, ь (и) Нормированные корреляционные функции )с(» Р и г7 называются коэффициентами взаимной корреляции и автокорреляции.
Из формулы (3.6.6) следует, что если случайные функции связаны де р терминированпой линейной зависимостью, то коэффициент авен -~ 1; корреляции м ции между ними в любой момент времени равен -(- ляесли же случ й чайные функции независимы, то коэффициент корре коэффи нент ции рав у вен нулю. Поэтому можно сказать, что ко фф ц я ии характеризует линейную (а не всякую) зависи ( в ость корреляции х р между значениями одной или двух случайных фу ц " р нк ий в выб аиные моменты времени. Стационарные случайные функции ь(1) и «1(1), для которых коэффициент корреляции между ь(г) и в1(1+ т) равен нулю при любом значении т, называются некоррелированными.
В ше мы бцдились, что цезависимые слунайные функции всегда являются некоррелированными. Однако обратное утверждение невке-иезависимости является более жестким, чем условие некоррелированности., В самом деле, равенство нулю корре- 76 ляционной функции еще ничего не говорит о поведении многомерных моментов вцсших порядков вида ($( (1,)~'*(1»)), характеризующих нелинейныезависимости между 5(1,) и т)(~в). Зависимость между случайными функциями может выражаться через моментвые функции.
Из пере.исленных ранее свойств автокорреляционной функции ставионарнкх процессов (3.6.7) — (3.6.10) вытекают следующие свойства коэффициента автокорреляции: 'с(') =Й( — т), ~Р(т)~ <й(0) =1, 11т )г (.) = 0, ~ я (т) .,(, > 0, в оа о (3.7.2) В дальнойшем будет применяться термин «время корреляции». В большинсгве радиотехнических задач встречаются коэффициенты автокоррелядии в виде монотонно убывающих функций )г(т) = = р(т) и в виде быстро осциллирующих затухающих функций. Примером коэффициента корреляции второго видь может служить функция Р(т( 1( (о) = р (т) соз (оо т, р(т) = е " ''( сс(((оо.
1 В обоих случаях под временем корреляции понимается величина т„, определяемая соотношением ОЭ аа ~3 = —, 1 ( е (') 1 в = 1 1 в (О 1 в Рис. 3.3. Определение време- ни корреляции тв. (3.7.з) Геометрически время корреляции равно основанию прямоугольника с выссюй р(0) = 1, имеющему ту же площадь, что н площадь, (аключенная между кривой (р(т) ~ при т >О и осью абсцисс (рис.
3.3). Величава т„дает ориентировочное представление о том, на каком интервапе времени в среднем имеет место коррелированность между значениями случайного процесса, й Е. ЭРГОДИЧЕСКОЕ СЯОНСтЯО СудцИОНдРНЫ3г ЛРОЦ ~О~ До сих пор характеристики случайного процесса (плотностиве- Р счтности, мсзментные функции и др.) были определены через соот«гствующие статистические средние значения, т. е. средние знания большэго числа реализаций в ансамбле идентичных систем, ((ь;юывается, что для большинства случайных процессов, являю(н»ся стационарными в узком смысле, указанные характерисгики » >кно полуоить путем усреднения соответствующих величин для ~ нюй реализации за достаточно боль3пой промежуток времени, 7Ч <2(у)> = В -'- ~ЛЮ 7у.
8 (3.8.2) Чтобы доказать эту формулу, рассмотрим случайную величину Хт, представляющую среднее значение одной реализации за конечный интервал времени Т: 2, = — 'Ь(У)ж. т) о (3.8.3) Статистически усредняя обе части этого равенства и учитывая, что операции интегрирования и статистического усреднения переместимы, получим т т <2.> =у1<Я(0>Л = <г(()> т 1 (У = <2<у)>. (3.8.4) а о Здесь среднее значение <Я(г)) вынесено из-под знака интеграла, так как случайный процесс Л(с), по предположению, является ста- ВО Т акая возможность физически может быть оправдана тем, что стационарный случайный процесс протекает однородно во времени.
Поэтому одна реализация достаточно большой продолжительности может содержать все сведения о свойствах случайного процесса. Про такие стационарные случайные процессы говорят, что они обладают эргодическим свойством. Соотношение между различными видами случайных процессов иллюстрируется рнс. 3.4. Не касаясь здесь строгих математических обоснований эргодичности процесса, укажем, что необходимое и достаточное условие эргодичности стационарного >С ЩДСЧСССО> процесса $(г) состоит в том, чтобы его корреляционная Ся и ло осло функция удовлетворяла предельному соотношению (3.6.9) 1нп >с (т) = О.
<3 8 1) Укажем теперь те частные Рис. 3.4. Иллюстрация соотноюения рЕЗуЛЬтатЫ, КОтОрЫЕ СЛЕдуЮт между различными видами случъйныя нз эргодического свойства процессов. стационарных процессов (4, 5). Пусть Я(с) есть некоторая функция стационарного эргодического случайного процесса $(т). Будем считать, что случайный процесс Я(с) является также стационарным н удовлетворяет условию эргодичности. Тогда с вероятностью, равной единице, среднее статистическое значение <2(т)> равно среднему по времени: тт (3.8.5) аа 2 где >св(42 — >в) = о, Й,(4 — тг) — коРРелЯционнаЯ фУнкциЯ стационарного процесса Е(4), )к, (тв — 4>) — коэффициент коРРелЯции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
