Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 69
Текст из файла (страница 69)
На вход приемного устройства поступает колебание илп (15.88а) то (2)т'(Но) ~ по = [геиУио, Я=~)'Х +1" ~, где т Х =~ х(у) ) (у) соз [атоу+ф(у)) Ж, о т (У) [ (1) М [ ~ У + тй (У)[ с[У. о Так как функция т'о(г) является монотонной, решение о наличии или отсутствии сигнала и (й гр) на входе приемника можно принимать на основании сравнения с некоторым порогом любой монотонной функции аргумента Р, представляющего собой, как отмечалось в примере 15А, значения огибающей Р (У) на выходе согласованного фильтра с импульсной характеристикой й (1) = з (Т вЂ” 1) в момент времени 1 = Т.
Если сравнивать с порогом Н саму огибающую )с (у), то правило принятия решения Л = Л, ='! принимает вид Р) Н. (15.88б) Соответствующая этому правилу схема оптимального приемника приведена на рис. 15.6, б. В соответствии с (15.886), (15.22) и (15.24) вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения определяются формулами Ре, = ~ рг (й [ Л = 0) сЯ, Ро, =~ рг (й [ Л = 1) г[й. (15.90) и Нетрудно показать, что входящие в (15.90) плотности распределения вероятностей равны ' "=')=+ ~-"'.")'Я) р, ()с [ Л = 0) = — ехр ~ — — р оо = — ° Е У Ег т о ЕИо ой 'т 2о1 ) 2 х (У) = Лиг'(У) +(1 — Л) иг (У) +1(У)ю (15.91) где $ (У) — комплексный стационарный гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и-= 0 и корреляционной $ функцией и — (т) = (У,[2) б (т); иг (у) = не — уа и, (у) — федингующне сигналы.
Здесь з; (1) = ); (1) ехр (у [ог;у + тр; (1)[), 0: у < Т вЂ” детерминированные узкополосные радиосигналы, а и 8 — не зависимые случайные величины, характеризующие медленные изменения амплитуды и фазы сигналов з; (1). Принимаемые сигналы и; (1) состоят из детерминированной и случайной составляющих: и, (У) зг (У) [ссе — Уо+5е — ы) (15.92) т. е. пе — !о == ссе-уо ' ие-го (15.93) где а и 6 представляют собой амплитудный коэффициент я фазовый сдвиг детерминированной составляющей спгнагга иг (У) (а и 8— постоянные величины); 5 и е — амплитудный множитель и фазовый сдвиг случайной компоненты, постоянные на интервале наблюдения (О, Т).
В дальнейшем будем предполагать, что [) и е представляют собой независимые случайные величины, причем [) распределена по закону Релея, а е — равномерно на интервале ( — л, л), вследствие чего их совместная плотность распределения вероятностей имеет вид ( о ехр~ — —,), 0<р < оо, — л<е<л, 0 при других р н е. ° 63 р, (а, О) = =2о~ЕО,(1+ух/2) Е,, 1=1,2, и-( 'г ),,~";вне.-О)~— ийго — — СтаС +1(е(тв е — /а) ~ а/уо (15.95) При сделанных предположениях совместная плотность распределе- ния вероятностей случайных величин а и О определяется законом Райса: а Г аа+ссв — 2осссоа(Π— б) 1 2„„О ЕХР ~ (15.94) 0 <а< оо, — и <Π— 6< и, 0 при других а и О, а средние энергии сигналов и;(() (т ОО М (Е-„) = М ~ ) С и,.
(() [' г(/ = Е,, ) а' р, (а) г(а =- о о где у = а/аф характеризует соотношение между детерминированной и случайной составляющими сигнала иг((); Е,, — энергия сигналов и; ((). Параметр Л в колебании (15.91) может принимать значения Л = Л, = 1 или Л = Л, = 0 с априорными вероятностями р (Л,) = = р (и,) = р (Ло) = р (й,) =!/2. По принятой реализации х(1) требуется решить с минимальной суммарной вероятностью ошибки (15.28), какое значение имеет параметр Л на данном интервале наблюдения (О, Т).
Решение ПОЗ]. При решении сформулированной задачи следует различать два частных случая: 1) среднее значение б фазового сдвига 0 принимаемых сигналов (15.92) априори известно; 2) среднее значение фазового сдвига О на приемной стороне неизвестно. Подставляя в (15.11а) вместо сигналов з, ((, /(и, /(г(, „, /(г() сигналы и; (() = и~ ((, а, 0), определяемые соотношением (15.92), н осуществляя усреднение по несущественным параметрам а и О с плотностью распределения вероятностей (15.94), находим, что оптимальный по критерию идеального наблюдателя приемник сигналов (15.92) с равными энергиями Е, = Е, = Е, равными априорными вероятностями р (и,) = р (и,) =- 1/2 и известным средним значением 6 их фазового сдвига 8 должен сформировать величину и сравнить ее с порогом Н = О. При (/< Н выносится решение Л = О, при (/) Н принимается Л = 1.
Рис. (5.7, Квааикогерентное (о) и некогерентное (б) устройства дли различевви двух медленно федингунпннх сигналов Входящие в (15.95) величины тг = гг (0) — значения комплексных взаимных корреляционных функций сигналов (15.92) и принятого колебания (15.91), равных т тг(т) = — ~хе(() иг(( — т)г(Е о Здесь хе(() — функция, комплексно-сопряженная с х (1). Используя условие узкополосности сигналов и, ((), можно показать, что действительная часть функции тг (т) представляет собой взаимную корреляционную функцию для действительных частей колебаний х(/) и и, ((): т й е [тг (т)] = ~ гте [х (()] ]те [и, (( — т)] 3/, о а значения [т, (т)] совпадают со значениями огибающей этой корреляционной функции.' В соответствии с этим схема оптимального приемника может быть представлена в виде, изображенном на рисунке 15.7, а. При этом суммарная вероятность Р ошибок квазикогерентного приема медленно федингующих сигналов (15.92) подсчитывается по формуле Р=Я(ас, Ьс)— — 1-[- "1 ( р 1ехр1 — ("+ )" /,(аЬс'), (15.96) 2 [г'( (Оарв ] ( 2 где где $ (!) = Х (1) соз ео( + )г (1) з!п е, ! — гауссовский квазигармонический шум с нулевым математиче- ским ожиданием тй = 0 и корреляционной функцией Кй (т) = айрй (т) соа е,т; з, (!, гр,) = А соз (еог + гр,), з, (1, гоа) = О, — амплитудно-манипулированные радиосигналы.
Начальная фаза грт случайна и равномерно распределена на интервале ( — и, и). Ю) У>рю-Л-У Пюрюгюрюе уенгрюго ангре Пю г/<ню я ю л/о/ Пюнееног уйЧ ПРеегбРа уПЧ дееоеннгюр зююенгено юзиЮаеггеею Рис. !8.8. Приснннн АМ сигналов со с учайиой начальной фазой п -! — "~', Ь-!+ "~ ', р-,", (!5.97) !/! !!оа Ра !/! 1„а Ро 2аа д+4 с= То ((! — Р') а' 4+21! — Ро)! 2Е 4ао Ч 11 ра! ' Аго Ф а коэффициенты р, и р определяются соотношениями (15.51) и (15.82). Если среднее значение б фазового сдвига 8 принимаемых сигналов (15.92) неизвестно, оптимальный приемник для различения двух федингующих сигналов должен выносить решение о приеме йг (1) или йа (1) на основе анализа простого выражения (рис.
15.7, б): (/ = (,! — (га!. При (/( 0 принимается решение Л = О, в противном случае— Л = 1. Отметим, что при некогерентном приеме не требуется знания отношения афай/о. Суммарная вероятность ошибки при некогерентном приеме подсчитывается по формуле (15.96), в которой гчг г)(' — нгЧ о о/1~ н о — ~')о — ФФ) ! — РР' ! — Рйо И' ! — Ио с (15.98) ! Пара 15.7. На выходе УПЧ приемника амплитудно-манипулированных радиосигналов, схема которого представлена на рис.
15.8, имеет место смесь сигнала и шума х (1) = Лз, (1, гр,) + (1 — Л) з, (1, гоа) + $ (1), Параметр Л представляет собой случайную величину, принимающую на интервале (О, Т) значения Л = Л, = 1 или Л = Л, = 0 с априорцыми вероятностями р (Л,) = р (Л,) = 1/2. Решение Л = Л, принимается в тех случаях, когда значение огибающей (/ = (/ (Т), выделяемой линейным детектором огибающей, превышает порог Н. В противном случае принимается Л = Л,. Определить оптимальный порог Н„минимизирующий суммарную вероятность ошибочных решений (15.28), и вычислить соответствующую ему суммарную вероятность ошибок. Решение. В соответствии с (15.28) суммарная вероятность ошибок приема амплитудно-манипулированных сигналов и, Фо Ром =- Р (з,) ! Р~ ((/! Л = 1) г((/+ р (з,) ~ Р, ((/! Л = 0) с((/, (15.99) о ич где р, ((/ ! Л = 1) = — ехр ~ —, ! /о (,'а ~, (/ ) 0 а1 ~ 2а' ~ ~ ай~ — плотность распределения вероятностей огибающей суммы сигнала з, (!, гр,) и квазигармонического шума $ (1); р! ((/ ! Л = 0) = — ехр — —, (/ =а 0 и / й а1 ~ 2а~ — плотность распределения вероятностей огибающей только шума $ (1).
Подставляя Р, ((/(Лг) в (15.99), находим Рам = — 1'+ехр — — ' — Я вЂ”, — ' . (15.100) Взяв производную по Н, от выражения (15.100) и приравняв ее нулю, получим уравнение, связываюшее оптимальный порог Н, с отношением сигнал/шум А /ай.' = ехр 3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ 15.!. На вход приемного устройства, оптимального по критерию идеального наблюдателя, воздействует аддитивная смесь х (1) = Лз, (1) + (1 — Л) за (1) + $ (!), (15.101) где й (1) — стационарный гауссовский белый шум с нулевым мате- матическим ожиданием тй = 0 и корреляционной функцией Яй"(т) = (/г/о/2) б (т); з, (1) ='Ам соз (е,! + гр,), Оой,!~Т з,(1) = О, — детерминированные амплитудно-манипулированные сигналы. Параметр Х принимает значения Х = Х, = 1 или л = Ха = 0 с вероятностями Р (Ц) = Р (Ло) =- 1!2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
