Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Ответ [96[; Оптимальный приемник должен сформировать величину [/ = — ) [х(/) я(1)-[- — х(/) я(1) ~ е[/+ —, [х(0) я(0) + х(Т)я(Т)1 о и сравнить ее с порогом Й„определяемым заданной вероятностью ложной тревоги Ре, — — 1 — Ф (й,/а,), где а' = —, ( [я'(/)+ — я'(/)! М+ — [я'(0)+я'(Т)]. о Если [/) й„принимается решение Л = Л, = 1, в противном случае принимается Л = Л, = О.
Вероятность правильного обнаружения вычисляется по формуле / "о Ро,=1 — Ф( — — ао) (, оа 15.25. Решить задачу 15.24 для случая, когда корреляционная функция шума имеет вид Яь (1,, /о) = а1 е-" 1" — ' < [соя го, (/, — / ) + —" ей п го, [ [, — Г, [~. оь Ответ [96[: Оптимальный приемник должен сформировать величину г [/=, „', ~~х(/)+ х(/)+ы,х(1)) Х о х~ (')+ (")+ * (/))е[1+ [о) (~)-" (ооо = со[ + со~, аа = 2а, и сравнить ее с порогом Й„определяемым заданной вероятностью ложной тревоги Ре, = 1 — Ф (йо/о ), где т "о = 2,„, о в~ ~ ~Я (/) + ав (1) + ао Я (/)) е[/+ —, + ',, о При [/) Й, принимается Л = Л, = 1, в противном случае прини- мается Л = Ло = О.
Вероятность правильного обнаружения вычис- ляется по формуле Ро, = 1 Ф (Йа/ао по). !5.26. На вход оптимального по критерию Неймана — Пирсона приемника поступает колебание х (1) =- Ли (1) + $ (1), где $ (1)— стационарный гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием ть = 0 и корреляционной функцией 0$ (т) (Й/о/2) 6 (г)' и(/) = аА соя(ооо/+6), О(/(Т, — медленно флуктуирующий сигнал. Здесь Аго и оо, — посто- янные величины, 6 — случайная начальная фаза, равномерно рас- пределенная на интервале ( — и, и), а — амплитудный множитель, принимающий на интервале (О, Т) случайные значения с плотно- стью распределения вероятностей р, (а) = (а/аоф) ехр ( — ао/2аоо), 0 ( а ( оо.
Вычислить вероятность ложной тревоги и правильного обнаруже- ния. Ответ: Ре, = ехр — — йо); Ро, = ехр [ — Й'), а = 2ооо 4 2 ) ' ~ 2+о )' 2Е А~~ Т Л~о о/о ГРафик функции Ро, =- / (а) приведен на рис. 15 4 (штрих-пунктирные линии). )В. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Если выбоРочиые зиачевиа Чд, Чз, ..., Чпд независимы в совокУпности, пРавая часть неравенства (16.4), определяющая минимально возможное значение дисперсии несмещенной оценки, принимает вид (105) р;-шги и ф,.— Л,,)'), (16.3) называется эффективной.
Конечно, всегда желательно получить эффективную оценку. В том случае, когда полезный сигнал з(С Л) зависит от одного оцениваемого паРаметРа Л и его оценка пРоизводитса по выбоРке (Чд, Чз,..., Чвт) объема т, можно доказать, что дисперсия несмещенной оценки имеет нижнюю границу, определяемую следующим неравенством Рао — Крамера: Рг д 1' 1-д рь ~[~...~ [ — (яр„,(Ч,, ..., Чгз; Л)1 р (Ч» ° Чы! Л) "Чд .дцзд~ ''',~ ~ дЛ (16.4) г р (Ч,, Ч; Л) — совместная плотность вероятности выборочных значений. Пусть иа некотором временном интервале (О, Т) имеется реализация Ч (1) суммы полезного сигнала з (1,, Л,, Л,, ...), зависящего от нескольких параметров Лд, Лз, ..., и гауссовского стационарного шума ь (1): Ч(1)= (С Л,, Л,, ...)+ Е(1), О =-1< Т.
(16.1) Предполагаются известными следующие сведения: 1) гауссовский стационарный шум к (Г) имеет нулевое математическое ожидание и известную корреляционную функцию: МД (!)) = О, М($ (В) $ (1,)) = )7 (1, — А); (16.2) 2) вид сигнала з (1, Л,, Лз, ...) задан и ои полностью расположен внутри интервала наблюдения (О, Т), так что значения сигнала и его производных на концах этого интервала равны нулю; 3) до наблюдений ориентировочно известны априорные плотности вероятности параметров Л,, Л,, ... Для интересующих нас параметров в дальнейшем оии полагаются равномерными в некотором интервале значений.
Путем обработки принятого колебания Ч (1) нужно найти предельную точность оценки одного или нескольких параметров ЛР Обработка принятой реализации может осуществляться в дискретном или непрерывном времени. В первом случае обычно используются равноотстоящие отсчеты реализации т), т) (ц), г) Ч (2п), ..., т)„, т) (Т(т), называемые в совокупности выборкой объема лм во втором случае используется вся реализация Ч (!) иа интервале (О, Т). Пусть истинное значение параметра Л! постоянно и разно Л!а, а его оценка по принятой реализации есть Лы Оценка Лд из-за наличия шума будет случайной величиной, изменяющейся от одной реализации к другой.
В качестве определяющих можно взять разные характеристики случайной величины ЛР В зависимости от этого рассматривают точечные и интервальные оценки. Прй точечных оценках интересуются главным образом математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Лд. Интервальная оценка сводится к вычислению интервала, в котором с заданной вероятностью заключено значение оцениваемого параметра.
В дальнейшем рассматриваются только точечные оценки. Оценка Л! называется несмещенной, если М(Л!) = Л;з! в противном случае (М(Л!) ~ Л;з) оценка называется смещенной. Разность ЬЛ = М!Л1) — Л;а называется смешением или систематической ошибкой оценки. Йесмепдейиая оценка, имеющая наименьшую возможную дисперсию Р-, = — М =- — — М (16.5) где для непрерывной случайной величины Ч ~ д!п р(Ч; Л) ~д ~ [ д1п р (т); Л) ~з ~ [ др(т); Л) ~з дЧ (16.6) а для дискретной случайной величины д!пр(Ч; Л) )а жз (д1пр(ЧИ Л)1з М 1"- л™ [ ~ р(1О' Л)=— [др(Ч; Л)~з (16.7) Когда полезный сигнал з (С Л,, Лз) зависит от двУх паРаметРов Л„Лз и оценка их производится по независимой вь1боркс объема и, формулы для минимальных дисперсий оценок и нормированной корреляционной функции между оценками имеют вид (1 — гы) (1 — г,з)-' (д 1п р (т); Л,, Лз) )~ тМ ~ дЛ, ( д 1п Р (Ч; Лд, Лт) пьИ ~— (16.6) д(п р(т); Лд, Лд) д1п р (Ч; аы Лд) дЛ, дЛ, гд | д(п Р(Ч! Лы Лд) д(п Р(Ч Лы Лз) дЛд дЛт Для получения оценок могут применяться разные методы: метод моментов, по математическому ожиданию апостсриориого распределения, по мак.
симуму апостериориого распределения, метод максимального правдоподобия и др. (6, 106). Наиболее часто используются метод максимальной апостериорной плотности вероятности и метод максимального правдоподобия. По предположению, значения оцениваемых параметров Л„Л„... постоянны иа интервале наблюдения. Используя тот факт, что шум в (16.1) гауссовский, можно найти совместную плотность вероятности для выборки (Ч,, Чз, ..., Чш) и паРаметРов Л,, Лз, ... Р (Ч,,..., Ч; Л,, Л,,...) = „, (Л, Л,,...) р (Ч,,..., Ч„(Л,, Л,,...) = =Р(Ч ° Ч )Р(Л Л ° !Ч ° "Ч ) (16.14) яв (Гв — Г,) = ов ехр ( — а ! Гв — (в !), (16.
15) яли (16. 12) где (16.20) Остюда получаем формулу Вайеса для условной плотности вероятности Р (Лю Лв " ! Чы ", гэ ) 4 АРо (Лю»Лв " ) Р(га, ", т)т ! Лг» о ".) ('б 9) где коэффициент й определяется из условия нормировки; = ) ..~ Ро(Лв. Лв ) Р(т)г ° о)оо1Лг, Лв, ...) дЛгНЛв...
Прн решении рада практических задач до проведения наблюдений с большей нлн меньшей степенью достоверности бывает ориентировочно известна плотность вероятности оцениваемых параметров Ро (Л,, Л,,...), которую пазывают априорной (доопытной). Условная плотность вероятности Р (Лы Л„.., ! т)в, ..., т)оо) называется апостериорной (послеопытной) плотностью вероятности параметров Лг, Лв, ... При данной выборке она дает полные сведения об интересующих нас параметрах.
Условная плотность вероятности Р (в)г, ..., т)„,(Лы Л,, ...), рассматриваемая как функция параметров Лг, Лв, ..., называется функцией правдоподобия. При извлеченной выборке (без учета априорного распределения Р, (Л,, Л,, ...) она показывает, насколько одни возможные значения параметров Лг, Л, ... более правдоподобны, чем другие.
В методе максимальной апостериорной плотности вероятности в качестве оценок Лв, Л,, ... параметров Л,, Л,, ... берутся те значения, при которых для данной выборки (в)г, ..., т)ов) апостериорная плотность вероятности имеет абсолютный максимум. Эти значения являются решениями системы уравнений Р(Лв. Лв ., Х1,... ! г)ю..., в)оо)=0, 1=1, 2,... д дЛ, Эти решения должны явным образом зависеть от результатов выборки и обеспечивать получение абсол1отного максимума апостериорной плотности вероятности. Так как логарифм — однозначная и монотонно возрастающая функция аргумента, то результат максимизации апостериорной плотности вероятности и логарифма от нее совпадают. Поэтому вместо уравнения (!б.!О) можно искать соответствующие корни уравнения — 1пр(Л,, Л,,..., в;,...,)в)ы".,ца)=0 1=1 ° 2 " (16") дЛв Во многих практических случаях априорная плотность вероятносги Ро(Лг, Л, ...) оказывается неизвестной и ее полагают равномерно распределенной (например, прямоугольной или нормальной с большой дисперсией) на интервале возможных значений параметров.
При этом координаты максимума апостериорной плотности вероятности будут совпадать с соответствующими координатами функции правдоподобия, которые определяются путем реше. ния системы уравнений правдоподобия Ь(Лв Лв ., !ГАВ,...) =О, 1=1, 2, 3 ., дЛ; 1„Л(К,, !",„.,Л,, )=0, 1=1, 2, 3,... дЛв 1 (Лы Лв, ° ..) =Р (ял ° ° ° о)ю ! Лв Лв ' ) ' (16.13) Решения должны явным образом зависеть от результатов выборки и обеспечивать получение абсолютного максимума функции правдоподобия (нли ее логарифма).
В большинстве радиотехнических задач, связанных с оценкой параметров, преимущественно используется метод максимального правдоподобия. Это объясняется ридом достоинств оценок, получаемых этим методом, а также сравнительной простотой вычислений и практической реализациисоответствующих алгоритмов в виде измерительных устройств (107, 108).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
