Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Параметр Л представляет собой случайную величину, принимающую на фиксированном интервале наблюдения (О, Т) значение Л = Л, = 1 или Л = Л, = О. Определить структуру приемного устройства, осуществляющего оптимальную по критерию Неймана — Пирсона обработку реализации х (1) и вычислить характеристики обнаружения детерминированного сигнала я (1, 1„1,, ..., 1 ) на фоне белого шума. где Е= ) зв(1)Ж о (15.58) -г тгт л 1гг е (15.54) Н=Р(г) (г)пг, о откуда находим (15.55) т, о=О, о.а-о= ЕМе!2 (15.61) У = ~ х (1) а (г) Ш о (15.56) и сравнить ее с порогом (15.57) Не - (Е+ йге1п й)/2, ггг Огг лй бгг у Рис.
1б 2. Суммарная верО- ятность ошибочного приема детерминированных сигна- лов Решение. В соответствии с (15.11) и (15.16) для рассматриваемого случая т Р(Х ) =кехр — — ~ [х(1) — а(г)]е 41 ! Г 'то о! т 2 Р(йо)= к ехр — ~ хв(1) г(( дге о Подставляя (15.54) и (15.55) в (15.30а) и логарифмируя полученное выражение, находим, что оптимальный приемник для обнаружения детерминированного сигнала я(1) должен сформировать величину — энергия сигнала а (1). При У) Н, принимается решение Х = Х, = 1, в противном случае принимается д = ле = О. На основании (15.56) и (15.57) искомый оптимальный приемник должен состоять из перемножителя, интегратора и порогового устройства с порогом Н, (рис.
15.3, а). Как отмечалось, перемножитель и интегратор можно заменить согласованным фильтром с импульсной характеристикой й(1) = я (Т вЂ” 1), (15.59) при этом схема оптимального обнаружителя преобразуется к виду, изображенному на рис. 15.3, б. Найдем характеристики обнаружения. Вероятность ложной тревоги Рр, равна вероятности того, что [У) Н, при условии )ь = =- ле = О, и определяется формулой ОО Рн,=~ Р,(и)к=О) (Ц. (15. 60) не Здесь Р, (У)Х = 0) — плотность распределения вероятностей случайной величины У при )г = Хо = О, т. е. при наличии на входе'приемника только шума.
Как следует из (15.56), У представляет собой гауссовску1о случайную величину с плотностью распределения вероятностей (15.41). При Х = 0 гг) Рис 15.3. Оптимальные устройства для обнаружения детерминированного сигнала где Ф (г) — интеграл вероятности; по 2Но/(4о Е/()7а + )п й. (15.63) п)х=) = Е, а1=( = Ей(о12, Рп, = 1 — Ф (й,ф"д — )/')). (15.65) находим (15.66) Подставляя (15.4!) в (15.60) и учитывая соотношения (15.61), получаем Рл, = 1 — Ф ())~7)/ (1), (1 = 2Е)Иш (15.62) Вероятность правильного обнаружения (мощность решения) Ро, равна вероятности того, что (7.п- Н, при условии Х = Хг = 1: /О Рп,=~ р,((7)1=1) ((7. (15.64) и Подставляя в (15.64) плотность распределения вероятностей (!5.41) и учитывая, что при Х=Хг = ! математическое ожидание и диспер- сия случайной величины У равны Формулы (15.62) и (15,66) показывают, что как вероятность ложной тревоги Рг„так и вероятность правильного обнаружения Рп, однозначно определяются пороговым уровнем Йа и отношением сигнал/шУм (7 = 2Е/'('/'о.
ЗадаваЯсь значением веРоЯтности ложной тревоги Рты по формуле (15.62) можно вычислить зависимость й, == 1) (()), а затем определить функцию Рп, = гз ((7), называемую характеристикой обнаружения. Значения Рп, = гз ((1), вычисленные по формуле (15.66) для нескольких значений вероятностей ложной тревоги, представлены на рис. 15.4 (сплошные линии). ! 5.3.
Решить пример 15.2 при условии, что процесс $ (1) в (15.52) представляет собой стационарный гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием тл = 0 и корреляционной функцией Рй (( (з). Решение [96). В соответствии с (15.11) и (15.!3) функционалы правдоподобия для рассматриваемого примера определяются со- отношениями тт г())=...р( — '11е(/,./)*(/).(/)л/,л/[, озлг) 2 Ь о т т г(л) — ~)( — — () 8(/„/)(*(/) — (/)(( (/) — (/)(л/ л/ ) 1 2 о о (15.68) г 4 а' в ттт тг ц~-Лкуи, Рис. 15.4, Характеристики обнаружения детерминированного сигнала (сплошные линии), сигнала со случайной началыюй фазой (штриховые) и сигнала со случайной амплитудой и начальной фазой (штрнх-пунктир) где функция 0 (1,, 1з) удовлетворяет интегральному уравнению (15.14).
Подставляя (15.67) и (15.68) в (15.30а), находим тт л*(/н= р[ — Д (/,) (/.)о(л,/,)л/,л/,-л 1 Г о о тт ".Ц (/,)'(/.))(/ /.) ' лл1 о о Здесь учтено, что вследствие симметрии функции 0 (г„(з) тт т т ~х(1,)н(1~)0(1), 1~) Ш~ ((Г~ = ') ) (1а)з(1,)9(гы 1~)(11,/Иш со Вводя далее функцию у т р (1 ) = ~0 (1„1,) (Г,) г((„ о удовлетворяющую интегральному уравнению Фредгольма первого т рода, ) Яй (6 т) (р (т) г(т = з (1), окончательно получаем о т т л (, (/)(- р [ — — !" (/) т (/) л/ + ) (/) т (/) л/1.
(( ) за) ! Г 2,) о о [1 = 1 х(1) я(1) [1~8„ (15.71) где (15.75) (15.76) (15.77) [7= 3 $(1)р(1) 11 о (15. 73) и учтем, что — ) ехр(йсов8)я[8=7,(]>]), 1 2п кя Согласно критерию Неймана — Пирсона решение Л Л, = 1 принимается при Л [х (1)] =- 8. (15. 70) После логарифмирования это условие приводится к виду т >>о =]п 6+ — ! > я (1) >Г (1) >[1. (15.72) г3 о Соотношение (15.7!) определяет структуру оптимального обнаружителя.
Если окажется, что У ) йм принимается решение Л = Л, = 1, в противном случае принимается решение Л = Л, = О. Определим характеристики обнаружения. Вероятность ложной тревоги определяется формулой (15.60), где р> ([7]Л = 0) — плотность распределения вероятностей случайной величины [7, которая при Л=Л,=О равна н, следовательно, представляет собой гауссовскую случайную величину с плотностью распределения вероятностей (!5.41), с нулевым математическим ожиданием тх я —— 0 и дисперсиеп тт т ох-я = ~ ~ Е! (1 . 1я) р (1>) >р (1 ) >[1> Ж, = ~ в (1) >р (1) я[1 = оо.
аа 0 После подстановки (15.41) в (15.60) получаем т~ ! >[> (1>0 о0) Вероятность правильного обнаружения равна Рп = 1 — Ф ([>о>оч — аа). 15.4. Входящие в (15.31) сигналы в; (1, !<>», 1>», ..., ]н>) имеют вид в> (1, 1[>>, 1>>>, ..., Я) = я; (1, >!») =.
>> (1) соз [ы;1 + ф> (1) + гр>], 1=1, 2, (15. 74) причем все параметры 11'> таких сигналов, кроме начальных фаз ч>>, априори известны, а начальные фазы гу> представляют собой случайные величины, равномерно распределенные на интервале ( — и, и), и считаются несущественными параметрами. Сохраняя в силе остальные условия примера 15.1, определить схему оптимальноггт по критерию Котельникова — Зигерта приемника сигналов я, (1, >р>) лба со случайными начальными фазами и вычислить суммарную вероятность ошибочного приема. Решение П01], В этом случае функционалы правдоподобия Р (Л,) и Р (Ля) следует вычислять по формуле (15.11а), осуществляя усреднение по случайным фазам >г> как несущественным параметрам: >> т Г(Лт) = — ~ ехр — — ~ [х(1)— 2,~ ~ >>>~,) -и о — >'> (1)соя (гэ> 1+ >]>, (1) +Ч>>)]в >[1 г[>р„ д т Р(Л,) = — ~ ехр ~ — — ~ [х(1)— 2п ,) ~ У~ ,) -юс О ~~ (1) соз(я>~ 1 +чя (1) -]" >р )]й >11 г[>р, Введем обозначения т Х, = ) х (1) 1> (1) соя [а> 1-]- >]» (1)] г]1, о т 1 > = ~ х (1) 1> (1) ып [э>> 1+ ф> (1)] >[1 где 7, Я) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.
Тогда после подстановки (15.75) и (15.76) в (15.29а) и ряда несложных преобразований найдем, что оптимальный приемник для различения двух сигналов (15.74) с неизвестными начальными фазами должен сформировать величину (7 = 1п 1о (2Е>IУо) — [п 1о (2Е>IУо) (15,78) и сравнить ее с порогом Н = (Е, — Е,)1~3, + 1п [р (в>)1р (я,)1. (15.79) Здесь Е, и Е,— энергии сигналов в, (1, ф,) и в, (1, >р,), определяемые формулами (15.38). Величины Я> = ]ГХ~ -[- П представляют собой значения огибающих суммы сигнала в; (1, гр>) и шума (в моменты времени 1 = лТ) на выходе согласованных фильтров с импульсными характеристиками Ь> (1) = я> (Т вЂ” 1).
Схема такого приемника представлена на рнс. 15.5, а. Принятое колебание х (1) воздействует на два согласованных фильтра с им- Рис. !5.5, Оптимальные устройства для различения двух сигналов со случай- ными начальными фазами пульсными характеристиками й; (1). На выходе каждого фильтра стоятдетекторы огибающих, выходные напряжения которых вычитаются и разность (15.78) подается на пороговое устройство с порогом Н. При [«) Н принимается решение [ь = 1, при («( Н принимается «ь = О. В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь симметричных систем передачи двоичных сигналов, для которых Е, = Е, = Е, Р (зз) = Р (за) и Р (зз [за) = Р (з, [з,). Лля таких систем, как это следует из (15.79), порог Й = 0 и выражение (15.78) приводится к виду = «о (2МНо) — «о (Ыа«Но) Следует отметить, что прн сделанных здесь предположениях закон детектирования не имеет существенного значения.
Важно лишь, чтобы выходное напряжение детектора было монотонной функцией огибающей «с; (!). Если, например, в оптимальном приемнике применить линейное детектирование огибающей (рис. 15.5, б), то с нулевым порогом нужно сравнивать величину (« = Я, — Еа. Суммарная вероятность ошибки при этом определяется формулой ОЭ 00 «'=~ «Ж ) Ра(«тх «сз)с[«хз~ ню (15.80) где оо (! — р'1 ( 2 2а' (! — р') ! х 7.()«'р «')7.~ '",'"',) (15.81) — совместная плотность распределения вероятностей случайных величин Я, и Иа, Здесь д =- 2Е«Ио — отношение сигнал«шум на входе приемника (на входе согласованных фильтров), аа = ЕЛ'о«2— дисперсия шума на выходе каждого фильтра, р — коэффициент, имеющий смысл коэффициента взаимной корреляции между сигналами: р = (!)«Ь'1 + Ьх [«Е, О ( р ( 1, г Ьх = — /, («) ~з («) соз [(озз — ~,) ! + фз (1) — ф, («)) «[1, о г Ьз 11 («) 12 (~) э!п Но«2 озз) ~ + ч'2 («) фх (1)) «[1' 2 3 о Подставив (15.81) в (15.80) и выполнив интегрирование, полу- чим следующее выражение для суммарной вероятности ошибки при приеме сигналов з; (1, <р!) с неизвестными начальными фазами: (2 [( ) ! )! 2 ) (15.83) где Я(о, и)=~ хехр ~ — ) «,(вх)с[х, (15,84) 2 и — функция распределения Релея — Райса [32, 102[.
15.5. Решить пример 15.2 при условии, что входящий в (15.52) сигнал з (1, 1„1„..., 1 ) имеет вид з([ 1з [з " 1 ) =з(1 ср) =1(1)соз[озо1+ф(1)+'р) (1585) где ~р — случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале ( — и, я). Решение. Функционалы правдоподобия для рассматриваемого случая в соответствии с (15.11а) равны т Р(Х,)=кехр — — ~ ~ х'(1)о[1+Е~ «о~ — ), (15.86) 11 «и! «уо й«о о г ~уо,) Р(ао) г кехр[ — — [ ха(1)Ж (15.87) о После подстановки (15.86) и (15.87) в (15.30а) получаем следующее правило принятия решения Х = Х, = 1 (рис. 15.6, а): ен«м.«, (2«7/й«,) -- й (15.88) 46! и' Порагауае У>да .о-т уаетаейаетуа Л~ Пчйа А П и"Ф лгут-ггт-гу ""ГЮ о от е(ту= з(т-еу Рис.
!5.6. Оптимальные начальной фазой ау панеанота П Папаеоаае п>п А-т ПеетенатаП уаатранаатуа агниею ей П Пч'и Л П гО устройства для об аруже ия сит ала со слу айной После подстановки р, Я [Л = 1) и р, (тс [Л = 0) в (15.90) находим — ао/г У2 Н Н Ра,=е о -,-'йо —— )/ЕН оо =ге()'и ") (15.90а) где функция Я (о, и) определена соотношением (15.84). Значения Рр, = у'(д), вычисленные по формулам (15.90а) для заданных значений вероятности ложной тревоги Ре„ представлены на рис, 15.4 (штриховые линии). 15.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
