Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Решение. Вычислим спектр сигнала з (!): г 3(/о)) ~ з(!)е — /Ои с(Г Ае — т 1 е/ — /им с(! — е — /ог А а — /а) ОО Используя соотношение (14.24), находим искомую комплексную частотную характеристику: Л'а(/и)) =- кБО(/о))е-/ г = к,/(а + /о)). Таким образом, фильтр, согласованный с данным сигналом, может быть реализован в виде цепочки ]гС (рис.
14.4), у которой ]сС =- 1/а. !4.6. Определить комплексную частотную характеристику фильтра, согласованного с сигналом з(/) =Аехр [ — ( — ) 1, где т„— длительность импульса з(!) на уровне А/е. Решение. Вычислим спектр видеоимпульса з (Г): 5(/о)) = ~ з (!) е-/еи )(! = Ь ехр ~ —, ), Р а/' где Ь/ = 2,25/т„— ширина спектра Я(/со) на уровне Ь/е. Используя (14.24), находим Л'а(/о)) = Л'оехр[ — (//ЬДе — /о)Т], !4.7. Найти фильтр, согласованный с прямоугольным видео- импульсом А, О<!<ти, з(!) = О при других !, и и вычислить отношение сигнал/шум на его выХоде. Решение. Спектр прямоугольного видеоимпульса О 3(/о)) = ~ з(!) е — /аи /!!= А ~ е — /о) с(! = — (1 — е /"'и).
12и — ОО а Таким образом, комплексная частотная характеристика Л'а(/о)) фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом длительностью т„, имеет вид Л' (/о)) =- кЗ([о)) е лог= ' (е/"си — 1)е-/"г. /о) 423 Рис 14.6. Фильтр, согласованный с прнмоугольным внлеонмпульсом Если интервал наблюдения совпадает с длительностью импульса, т. е. Т =- тв, то Я (/~) ~~'о (1 е — /оти) /тв Схема такого фильтра приведена на рис. 14.6. Определим сигнал на выходе фильтра, имея в виду, что в соответствии с (14.26) его импульсная характеристика имеет вид /та(/) = тть ал(! — /) = ов ал(ти — /).
Следовательно, вых (/) = ~ /тв(т)з(/ — т) с/т = ~'в ~ з (ти — т) з (/ — т) г/т. о о Нетрудно видеть, что максимальное значение Ь,, (/)] „имеет место при / = т„и равно (лвых(/))ыа — -~'-4'ти = ~'вЕ, где Е =- А'ти — энергия сигнала л(/). Вычислим дисперсию шума 1),„„на выходе согласованного филь тра, полагая, что спектральная плотность входного шума ~в(Ф) = й/а/2, — оо < со < оо.
Тогда Ов„=п,*„„=, 5„(~)!Л;(/~)~'с/~ = тгО Фее — ) — (1 — соз Фтв) с/го = ' 2,) ыв 2 Следовательно, максимальное отношение сигнал/шум а = [л,,(1)! „/пвы, = У2Е~И,. 14.8, На вход интегрирующей цепочки ЯС (рис. 14.4) воздействует аддитивная смесь статистически независимых стационарного гауссовского белого шума и (1) со спектральной плотностью Я„(го) = й/е/2, — оо < от < со, 424 и прямоугольного видеоимпульса ( (/, 0</<тв, ) 0 при других/. Под выходным отношением сигнал/шум а понимается отношение максимального значения сигнала на выходе к среднему квадратиче- скому значению выходного шума: а = (Звых(/))ывх/Пвых.
Вывести соотношение, связывающее отношение сигнал/шум на выходе цепочки /тС с длительностью импульса ти и эффективной шумовой полосой Л/, цепи /сС; определить, в каком соотношении должны находиться длительность импульсов и оптимальная эффек- тивная шумовая полоса Л/, „рь при которой на выходе ЯС -цепи имеет место максимальное отношение сигнал/шум. Решение. В соответствии с теоремой Винера — Хинчина дисперсия стационарного шума на выходе цепочки ЯС И,„,=п,'„.= — ' !' З„,„,(Ф)/а= — ' 1" 8„(Ф)~Х(/ )Р/. Подставляя в это выражение дз'(/то) = 1/(1 + /ат/1С), находим пцмх = й/о/4ЯС = й/вЦв/2, где Ь/, = 1/2КС вЂ” эффективная шумовая полоса цепи ЯС. Полезный сигнал на выходе рассматриваемого фильтра лвых (1) ~ "(/ т)з(т)с/т~ о где )' аехр( — а/), 0</, а=!/ЯС, ( 0 при /<О.
В результате несложных вычислений находим з,„,(1) =(/(1 — е — "') 1в(/) — (/(! — е "(' 'и)) 1в(/ — ти), где 1 Ю= !' /~0' О, /<О, — единичная функция. Нетрудно видеть, что значение Ь,ы (/)) ', имеет место при / = т„ т. е. в момент окончания входного ймпульса: (з, (1))тах =за *(ги) = у(1 — е-е,/ас) В соответствии с этим максимальное отношение сигнал/шум на выходе а= [эвых (/)[ыах [" 2 Π— — (! Е ви) — га) г Свых [/.'эо д/э Для определения зависимости между длительностью импульса ти и оптимальной эффективной шумовой полосой Л/,,р, необходимо вычислить производную от а по Л/э: Д(л/э) о ио 2 Приравняв эту производную нулю, получим тиЛ/э рг —— (1/2) 1п [4тиЛ/э орг + 1[, Л[э срг — — 0,628/т„.
откуда При этом максимальное выходное отношение сигнал/шум а ах= О 9)'2(/гти/л/о =О 9)' 2Е/й/о где Е = [/'ти — энергия входного видеоимпульса. 3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ х (1) — взаимно не коррелированный с п(!) стационарный гауссовский случайный процесс со спектральной плотностью А — ', — в,(в(О, вс Ео(в)=( А "с — в 0(в(в„ вс 0 при других в. Найти комплексную частотную характеристику Л', (/в) физически нереализуемого линейного сглаживающего фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибки фильтрации в' = М([у(1) — в(!)[о). Ответ: А (! — [в[/вс)'+ А/о/2 14.1. На вход фильтра поступает аддитивная смесь х (1) =- =- в(1) + п(!), где п(1) — стационарный нормальный белый шум со спектральной плотностью 5„(в) = — А/о/2, — со < в < со; !4.2.
На вход фильтра поступает аддитивная смесь статистически независимых случайного процесса в (!) со спектральной плотностью 5,(в) = 1/(! + в'), — со и ' в ( сс, и стационарного гауссовского белого шума п (!) со спектральной плотностью эв(в) /)/о/2* ос ( в ( сс' Определить комплексную частотную характеристику Л',(/в) оптимального физически реализуемого линейного сглаживающего фильтра и вычислить соответствующий ему минимальный средний квадрат ошибки е' = М([у(!) — в(!)[г) = е';„.
Ответ: о(/в) аия а ЛТо э 1 Г 'тг 1 'те о /ро! 1-)-/вТ 2 ( 1+Т 2Т ! где Ло= Т= 1 УУо+ 2 [Ууэ+ 2+ [//Рэ! Ф' Фа+2 14.3. Случайный сигнал имеет корреляционную функцию Я,(т) = ехр( — и[т[). Найти для такого сигнала импульсную характеристику Ьо(!) линейного физически реализуемого прогнозирующего фильтра, если спектпальная плотность шума Я (в) = 4/(4 -~- вг). Ответ: й,(!) = ' е — а+а>, Ъб 1+ [/2 где Л вЂ” время прогнозирования. 14.4. Решить задачу 14,2 при условии, что спектральные плот- ности сигнала и шума соответственно равны ! 2[)с,', ~в(в) ° ~э(в) 1+ вэ эиэ+во Ответ ([)+1) ([)+/в) /э 2[)сиэ+[)э (2[)со+ 1) (А+1) (А+/в) ' ~эг 2[)во+ ! 14.5. На вход оптимального прогнозирующего линейного фильтра с комплексной частотной характеристикой Л"о(/в), минимизирующей средний квадрат ошибки е' = М([у(!) — в(! + Л)Р), воздействует аддитивная смесь взаимно коррелированных стацио- нарного шума п(1) и сигнала я(1): х(1) = я(1) + п(г).
Определить взаимную спектральную плотность 5ло (в) про- цесса х(г) и выходного процесса у(1) = я(1). Ответ: 5„„(в) = [5.(в) + 5 (в)[ е)ло. 14.6. Найти комплексную частотную характеристику Л"о()в) оптимального физически реализуемого прогнозирующего фильтра, на вход которого поступает адаптивная смесь статистически неза- висимых стационарного гауссовского белого шума л(1) со спектраль- ной плотностью 5„(а) = ]))о/2, — оо < в < оо, и стационарного случайного процесса я (1) со спектральной плот- ностью 2апоо 5о(в) а'+а' Ответ: 4ао,' Š— .а / 4ао' + йо а' Л' (/в) = 7=1/ (а+т) (т+ (в) ' у уо 14.7.
Определить комплексную частотную характеристику Л'о([а) оптимального физически реализуемого линейного сглаживающего фильтра при поступлении на его вход аддитивной смеси взаимно не коррелированных сигнала я(1) и помехи л(1), спектральные плотности которых соответственно равны 2ап,' 2йо~ 5(а)= ', 5„(о)= ", — <в< ао+ оР ]Р+ а' 2ап,'(а+]3) (])+]в) Ответ: тсо()а) = со (а+ у) (т + ]а) где с'=2ао,'+2]]о', 7=1'2и[Ро,'+2ио[)о„'гс. 14.6. При тех же условиях, что и в задаче !4.7, определить комплексную частотную характеристику оптимального прогнозирующего фильтра.
2ап,' (а+Р) ([)+ ]в) Ответ: Л;(]в) = е — па, оо (а+ т) (т + [а) где Л вЂ” время упреждения; с'= 2ио,'+ 2[)оо„, 7 =)/2и[)' ао -[-2ио [)ао)с. 42В 14.9. На вход оптимального линейного фильтра с комплексной частотной характеристикой Л'о()в), минимизирующей средний квадрат ошибки ео = М([у(1) — о[я(1)ыг]2), (14.28) воздействует аддитивная смесь х(1) = я(1) + п(1), где я(1) и л(1) — взаимно коррелированные стационарные случайные процессы со спектральными плотностями 5,(в) и 5„(а). Определить взаимную спектральную плотность 5,„(в) входного процесса х(1) и процесса у(1) иа выходе фильтра. Ответ: 5„„(в) = ]в[5,(а) + 5,„(в)!, где 5,„(а) — взаимная спектральная плотность процессов я(1) и л(1).
14.10. Применительно к условию задачи 14.9 вычислить минимальное значение среднего квадрата ошибки (14.28). Ответ [41: ео ° = — 1 (а'5,(в) — [5.(а)+5 (")+5* (в)+ 2п,) + 5~ (в)) [Л о(!в)]') " . 14.11. На вход физически реализуемого линейного фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибки (14.28), воздействует аддитивная смесь статистически независимых стационарных слу- чайного процесса я(1) со спектральной плотностью 5,(в) == АЛ4ио — ' (2ро — в')'1 — оп < а < по и гауссовского белого шума п (1), для которого 5„(а) = Л(о/2, — со < а < по, Определить оптимальную комплексную частотную характеристику Л"оОа) фильтра и вычислить минимальное значение е'а. Ответ [41: [й [ в+)л а+ п$ — [л о0в)— 2лпуо 1 [т+](и+п,)]' — лг[ (в — т,— )по) (а+пи — )п1) — в+ ]и а — гп — ]л [в — ] (в+по)]' — в[ (в — лч — [лг) (в+пь — ]л1) 1 где т= 1/[]'+1'~'+ и', и= $/)/~~3+ и' — []*, т =~ ~/ ро+ао+ — +[Р, лх ° р'+и'+— 2й'о е' = — ( — — — [) 1 +)гп~ — )]) В т+)л [тс — тсг — (л+лг)с) — 2)т (л-[-л ) 14.12.
Процесс у(1) представляет собой аддитивную смесь взаимно 'пе коррелированных стационарных случайных процессов в(1) и п(1): у(1) = — а[в(1) + п(1)) Определить значение постоянной а, минимизирующей средний квадрат ошибки е' = М([у(1) — в(1+ Л)Р), и вычислить значение е' т. Спектральные плотности процессов н(1) и пЯ соответственно равны 2ао,' 2Р.Д 5,(в) =, 5„(в) =, — оо<в с оо. а'+ оя йс+ оя Ответ: о,' вс а = ело е* = о* 1 ' е-поп лил= с 14.13. На вход оптимального сглаживающего фильтра, миними- зирующего средний квадрат ошибки е' = М([у(1) — в(1)Р), воздействует аддитивная смесь х(1) =- в(1) + п(1), где п(1)— стационарный нормальный белый шум со спектральной плотностью 5„(со) = У„/2, — оо < в < оо; статистически независимый от шума сигнал н(1) образуется про- пусканием стационарного нормального белого шума й(1) со спек- тральной плотностью 51(в) = Уй/2, — оо < в < оо, через интегрирующую цепочку )сС (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
