Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 62
Текст из файла (страница 62)
При этих условиях процесс на выходе фильтра р(!) = заых(!) + пэмз(1), (14.18) где заых(!) н лаых(!) — результаты преобразования сигнала и помехи линейкым фильтром. Сигнальная составляющая определяется соотношением 1 звых(/) = ~ Я(!а)Л(!а)еу (14 ° !9) а дисперсия выходного шума и ык (!) вычисляется по формуле СО 1 )Увых = пвых = ~ Ял(а))Л(!а)!'с)а Введем в рассмотрение отношение (14.20) и =1замх(Т)!/овых (14. 21) представляющее собой отношение мгновенного значения сигнала на выходе фильтра в некоторый момент времени ! = Т к среднему квадратическому зна- чению выходного шума.
В соответствии с (14.19) н (14.20) это отношение равно СО 1 — Я(!а) Л'(!а) е!а с/а 2я — О о (14.22) с ОО 1!2 1 à — Яа(а) )Л (!а)!* с!а 2п,) — ОО Линейный фильтр, максимизирующий отношение (14.22), называется фильтром, оптимальным по критерию максимума отношения сигнал/шум.
Можно показать (89, 901, что комплексная частотная характеристика такого фильтра ЛО(!а)= С е Я*(!а) — аг (14.23) Яа(а) где С вЂ” некоторая постоянная; Я*(!а) — функция, комплексно-сопряженная с амплитудным спектром Я(!а) входного сигнала 2(2). Если входящий в (14.!7) случайный процесс л(!) представляет собой стационарный гауссовский белый шум со спектральной плотностью Я„(а) = Уо/2, — со < а < со, то формула (14.23) приводится к виду ЖО(!а) =кЯ*(!а) е (14.24) Таким образом, в случае приема аддитивной смеси сигнала и белого шума комплексная частотная характеристика фильтра, оптимального по критерию максимального отношения сигнал/шум, полностью определяется амплитудным спектром входного сигнала. В соответствии с этим оптимальные фильтры с комплексными частотными характеристиками (14.24) называют согласованными. Определим импульсную характеристику согласованного фильтра: ао(!) 1 ЛО(!а) е!" с/а.
(14.26) 2п,! — О После подстановки (14.24) в (14.25) получаем йо(!) = кз(Т вЂ” 1), (14.28) где к — некоторая постоянная величина, имеющая смысл коэффициента усиления. 2. ПРИМЕРЫ 14.1. Имеется аддитивная смесь к(!) =- 2(!) + п(!), где и(!)— стационарный нормальный белый шум со спектральной плотностью ЯО(а) = Уо/2* — со "- со ( оо; (14.27) з(!) — статистически независимый от и (!) стационарный случайный процесс со спектральной плотностью 5,(а) = 1/(1 + аз), — оо < о1(оо.
Определить комплексную частотную характеристику Л'о(!а) физически реализуемого прогнозирующего фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибки з м((р(!) (! + /))12) Здесь у(!) — случайный процесс на выходе фильтра. Решение. В соответствии с (14.11) Л;(!СО) Ох ) Е!асС(т ) 'х Е!В !'+З) С((), 2гсг(!а) г"*(!4)) о — СО где Р(!о»Р (!а) =-)Р(!»)('= З.( ) Поскольку по условию задачи з(!) и и(!) статистически независимы, то Явх(а) = ч'О(а) = ( + Я,(а) = З,(а) + З„(а) = (й/о+ 2 + й/оа')/12 (1+ а')). Отсюда следует, что Р(!а) = ' ' ГО(!а) = (схй/О+2+!а )/йэ эО .
')I д/О+2 — !а 1 сто 1/2 (1-1-!а) )/2 (! — !а) Таким образом, искомая комплексная частотная характеристика определяется ссютношением (! )= +! Г ()е ! зйг, и ()/НО+2+!а )хна) 417 14 звк. 12 оз г 416 где Рис. 14.3. Прагназирующнй фильтр Рис.
14.4. Интегрирующая цепочка ЛС вЂ” ур), р<О, хехр [ — (т+Л)]., ,я / айо е =е '"=а* )/ ( й 2,') й!г (а о+ а,) 1с, (т) = а,'е-а<о<сои<нот. 418 419 7(т) = е)п <т+ ю<(ь). (1+ И) ( )Г Л о+ 2 — 1Я )Г йо) Учитывая, что [! 7[ оо ([) +)х) — гн (у )х) — оч е — ! р" <(ив и -<-ч — ! =2п([)+у) и — ( ~) ее<в — и<о [(у ~ ! ( рр Г (2р) где Фмо(г) — функция Уиттекера, находим Р'йо l )гйо+2+)ггйо После подстановки /(т) в Л'о(1<о) и ряда несложных преобра эований окончательно получаем 71'о(1' ) = т<'о1(1 + 1<оТо) где е д 7 т йо Таким образом, искомый прогнозирующнй фильтр может быть представлен в виде последовательного соединения идеального (не- искажающего) усилителя с коэффициентом усиления йо" и интегрирующей цепочки г<С с постоянной времени )сС = Т, (рис.
14.3). 14.2. На вход фильтра воздействует аддитивная смесь х (1) = = з(1) + п(1), где п(1) — стационарный нормальный белый шум со спектральной плотностью (14.27); з(1) — статистически независимый от п(1) стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием т, = О и корреляционной функцией Определить комплексную частотную характеристику йх'о(/<о) физически реализуемого сглаживающего линейного фильтра и вычислить соответствующий ему минимальный средний квадрат ошибки и' = М([у(1) — з(1)[о). Решение: В соответствии с (14.16а) искомая комплексная ча- стотная характеристика имеет вид хо(ю) 3,(<о) + хо(<о) о(1<а) = а спектральная плотность процесса з(1) при т, =- О 1 1 5,(ю)= ~ Я,(т)е — )от<(т=аа,'[ + Е а +<а — ого) ао+(го+ <оо)' Подставляя 5,(<о) в ть"о()ю), получаем 2аа,' 2аа,о 'т< о(1о!) , + 2аао+ а' йо+ йо (о! — ого)' 2аа,'+ а' йо+ йо (<о+ ого)о Значение среднего квадрата ошибки находим из (14.13); 14.3.
На вход )сС-фильтра (рис. 14,4) поступает аддитивная смесь х(1) = з(1) + п(1), где з(1) — стационарный гауссовский случайный процесс со спектральной плотностью 5о(ю) =- 2аао/(ао + <оо), — аа ( <о ( аа; п(1) — статистически независимый от з(1) стационарный гауссовский белый шум, для которого 5„(о!) = Лг 12, — аа ( <о ( аа, Найти оптимальное значение постоянной времени Т =-- КС, минимизирующее средний квадрат ошибки и М([ (1) (1)[Я) где у(1) — процесс на выходе фильтра, и определить значение е*;,.
Решение. Обозначим импульсную характеристику 14С-фильтра через й(1). Тогда разность $(1) = у(1) — з(1) можно представить в виде $(1) = 1 ь(1 — т)х(т)<(т — 1 8(т)б(1 — т) <(т= Б (1) +пт(1) з,(г)= У (й(/ — т) — Ь(г — т))Ф)о(т = У й,(/ — т)Ф)о(т, ! по(/) = ) й(/ — т)п(т)<(т. По условию задачи процессы з(г) и п(!) взаимно не коррелированы, вследствие чего взаимно не коррелированы и процессы з,(!) и п,(1). Таким образом, спектральная плотность процесса $(() 5о(в) = 5„(в) + 5„(в), где 5.,(в) = 5,(в))Л2о(/в)!', 5,,(в) = 5,(в)!~Г(/в))' — спектральные плотности процессов зо(!) и по(!), РО Я'(/в) = ~ й(и) е — /о'Рооп, Л'о(/в) = ~ (/о(и) — Ь(и)) е — /"и!(ш Таким образом, дисперсия процесса $(!) РО о~ =е' = — 1 5Р(в)о(в= 2л РО РЮ Г 15,(вИ '(/в) — 1Р + 5.(в) (Х(/в)!Чо( .
2л — РР По условию задачи, то(/в) = ()/((1 + /в), () = 1/ЯС = 1/Т. Следовательно, 2аоо оР и ло е' — ( Р 1 о 2л,) ) (ао+ оР) (йо+оР) 2 (йо+ оР) ) Для нахождения оптимального значения (1 = 1/Т составим про- изводную от е' по (3: 420 Отсюда следУет, что пРи Оо(4по/а оптимальное значение постоЯнной времени )сС-фильтра )~П/о То Ро 2о,'о'а — а1'Го а соответствующий ему минимальный средний квадрат ошибки сгла- живания ео ы =- и,)/аЛ/, -- иЛ',/4. Если же Л/о ) 2А'/и', то оптимальное значение Т, = 1/ро — по, а средний квадрат ошибки ЕРП!П ! ПР ' 14.4. При тех же условиях, что и в примере 14.3, найти оптимальное значение постоянной времени Т =- т(С, минимизирующее средний квадрат ошибки = М ((а(!) — з(! + Л)Р).
Решение. В данном примере разность $(1) = у(/) — з(1+ Л) = зо(г) + п,((), где а,(/) = ( Щ( — т) — Ь((+ Л вЂ” т))з(т)Ж, 0 по(/) = )" й(( — т)п(т)о(т. РО Поскольку процессы зо(!) и по(/) взаимно пе коррслированы, спек- тральная плотность процесса и(!) 5о(в) 5Р,(о!) + 5п,(о!) где 5,,(в) = 5,(»)( тГо(/в))', 5„,(в) =- 5„(в)1~(/' )('.
Учитывая, что РО ОР .тоо(/в) = ~ 6,(и) е — /"по(и= ~ (/!(и) — Ь(и-(-Л)) е — / по(и= ОР РР = л (/в) — е /ооо, находим 5Р(в) = 5,(оо) ! л'(/в) — е/ о('+ 5 (в) ) л'(/~)(о. 42! Отсюда дисперсия процесса ц(!) о! =па= ( [3 (со) ] Л'(/о)) е/мо]а 5 (,) ]Л.(/„о)]а],(„ 2и ОО 2][ОФ)ОО2/22 — 4паа(1 — е — ао) — ' (1 — 2е — л)+ ]! 2' ! Анализируя зависимость е' от ]1, нетрудно установить, что при Ь ) (1п 2)/а наименьшее значение среднего квадрата ошибки имеет место при ]!а =- 1/Т, = 1/]сС = О и равно ЕОО!и = ПО ° а а Если Ь ( (!п 2)/а и с 4сспа 1)/к — (2е — а'ь — 1)~ — а = О, )ОО то наименьшее значение и' также имеет место при ]!а = О.
В случае Ь ( (!п 2)/и и с 4аоа 1)/и ' (2е — ао — '1)~ — аьО Фа минимальное значение г*)„обеспечивается при Г 4аоа 1)/к ]), = — = — ' (2е-ад — 1) — и. 14.5. На вход линейного фильтра воздействует аддитивная смесь х(!) = з(Г) + и(!). где п(!) — стационарный гауссовский белый шум; Аеа//-т), ~ Т з(/) = О, !(Т, — статистически независимый от шума и (!) экспоненциальный видеоимпульс (рис. !4.5). Рис. !4ть Зкспоиеипивльиый видео? Е импульс 422 Определить комплексную частотную характеристику Л'а(/о)) фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум на выходе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
