Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Рис. 12.40, Синхронный детектор гг вг-вг гвг вгьвг гвг в 12.36. На вход радиотехнического устройства, состоящего из дифференцирующей схемы и перемножителя (рис. 12.38), подается гауссовский случайный процесс $ (1) с нулевым математическим ожиданием т1=0 и корреляционной функцией )тй (т) = ов е — " ' ' ! (соз вс г -( — 3! п го, ~ т ~), вс Определить спектральную плотность 5ч(в) процесса х) (1) на выходе устройства. Ответ: 4о' а (ах+во) вв (в'+20ав+4вв) оч (в) (вв+4ав) Ивв+4ав+4вво)в — 18вв вво) 12.37. На входы перемножителя (рис.
12гб) подаются независимые стационарные случайные процессы $ (1) и )л (1) с мателгатическими ожиданиями тй и т„и корреляционными функциями Я (С),гвс — оа! $ я (т) = о„'е — р!в'. где Определить спектральную плотность Я„(в) процесса т!(1) на выходе перемножителя. Ответ; 2 (а+ 8) овг ов 2бгп~ ов 2алав о! (а+б)в+вв ба+во ав-! Рв а=о!в, 01, вв! вгв!2 сова у сова 7, 12.38. На вход радиотехнического устройства, состоящего из дифференцирующих схем и перемножителя (рис. 12.39), подаются независимые стаЦионаРные слУчайные пРоЦессы йх(1) и $в(1) с нУ- Рис. !2 39.
Дне дифференцируюгцне схемы и перемножнтель Рис. 12.38. Днфференцируюпгап схема и перемножнтель 380 381 2и рг з' о' Уа г Рнс. !2.37. Спектральная плотность процесса на выходе двухполупериодного линейного детекто- ра левыми математическими ожиданиями ты = ты = О и корре- ляционными функциями Яы(т)=о(,е — а !" (созв,т+ — "' 3!пв,~т~); вх а, Йы (т) = 01, е-а» " ' (соз в, т+ — * 3! и вх ~ т !), вв Определить корреляционную функцию Кч(т) и спектральную плотность Юч(в) пРоцесса У) (1) на выходе пеРемножителЯ. Ответ: гти(т)=гт (т)г4 (т)=-огв,ойв,(ав!+вв!)(ав+ввв) Х х е-!а + ! ! " (соз вх т — ' яп в, ! т ! ) соз в, т — — ' ей п в, ~ т !); вг )( вв Г асовб, +(в — вс) в!и 0, асовбх+(в+во) в!оба $ч(в) =и ~' (в — вс)'+ а' (в+во)'+ав а сов ба+(в — вр) в!п бв а с<ибо+(в+во) в!п 0,1 (в — вр)'+ ах (в -1- во)в -(-аа 7х=агс!2 —, 7в=агс!и —, а=ах+а,, ах ав вг вв бх = 7х+ 7в бв = 7х 7в вс =- юг+ вв гор = вх — вв.
12.39. Найти спектральную плотность Яи(в) процесса у (1) на выходе умножителя синхронного детектора (рис. 12.40), если воздействующее на детектор колебание х (1) = в (1) + п (1), где входной шум и (1) представляет собой стационарный гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием т„= О и спектральной плотностью 1,„г ~ с-ы 1,,„, ~ <й-и а полезный сигнал в (1) = Ав сов (в,! + О). Рис. 12.41, оалансныя модулятор Рнс.
12.42, дискретныи накопитель $ (1) = А (() соз [ото( + ср (!)[ Г и 4 — и т»=се — о1, Р»=- о1, 2 2и Рис, 12.43, Система ограничитель— фильтр 383 Здесь А — постоянная амплитуда, 8 — равномерно распределенная в интервале ( — и, и) случайная фаза, не зависящая от шума. Ответ: '5о(() = 5о,(() + 5о„(Т), где 5„,В= ' А„'иЧд)+ — '~ А„и [бд — 2~,)+бд+ж — спектральная плотность сигнала на выходе умножителя; 5оа (г) = " 2 ехр — — -[- ехр ч „[ о+ел)[ — спектральная плотность шума на выходе умножнтеля. 12.40. На входы балансного модулятора (рис. 12.41) поступают стационарные и стационарно связанные случайные процессы кт(1) и $2(1) с нулевыми математическими ожиданиями т~, = ты = = О, корреляционными функциями )сы(т) = )сы(т) = ног (с) и взаимной корреляционной функцией Я3,1,(с) = о'г„(с). Определить корреляционную функцию Ян(т) выходного процесса т!т(1).
Ответ [141: 24« — ч Та(о ! Ц 1;[ (т) — оат ~ [г(т) [ г (т)[2« «-о Г (2«+1) Го ~1 — «+— 2 / 12.41. Случайная величина т) (Т) формируется в результате усреднения квадрата стационарного гауссовского случайного процесса $ (1) на интервале Т: Г!2 Ч(Т)= — ~ Р(1)а 1 Т вЂ” »12 Определить математическое ожидание т„величины т( (Т) и ее дисперсию Р„при условии, что процесс $(!) характеризуется следующими спектральными плотностями: 4ао1 в1 ыо 1) 53 (со) =,,; 2) 53 (со) = ма+[ 1 (ам аа)а 1ыо/ «(В! 4(гу ЧсвРвггелгав Нанпаитель А У д4в Фыдаугггв Ответ Н 4[: о1 аТ 1) щ,=о!, Р„= — (4 — 1-[-е-'р), В=— 4Во 2 2о1 2) тн — о3, Рн= Х п Х 4Оо 1 2 3 0 !ч.
— .ь — — ы 'д»4о' — 11. т 12.42. На вход схемы рис. 12.42, состоящей из линейного детектора огибающей (ЛДО), устройства выборки и накопителя, воздействует стационарный гауссовский квазигармонический шум с нулевым математическим ожиданием т« = О и дисперсиен' Р1 — — о!о.
Выборочные значения А, = А (12) взаимно не коррелированы. Определить математическое ожидание т», дисперсию Р» и плотность распределения вероятностей рт(1') случайной величины )г на выходе накопителя, если 'Ф = — ~' А,, л,'Р 1. Ф Ответ: (у — т»)а [ рс()г) =, ехр ~— "!г2и )г 11» ~ 2Р» 12.43. На систему ограничитель — фильтр (рис. 12.43) воздействует стационарный гауссовский шум $ (1) с корреляционной функцией 141 (т) = о1ехр ( — у [т'[)). Определить корреляционную функцию )тм(т) процесса р (1) на выходе системы в предположении, что амплитудная характеристика ограничителя имеет вид (рис. 12,4) — Ь, $~ — р, т>=~[и[= в$, — Д($(а, а, $>а, импульсная характеристика фильтра й(() = — Е-«т, Š— 1!та, т, та причем тт )) 1<у, то)) 1<у. Ответ [80)11 аа 1 ! 1 !ти(т) =2о„' 1' „~ — е ' + —,е к=! 1 ! / тт+т, где ак = Ф<и-1> Ф<о-1> оч —— М (т>о(<)) — Мо (т>(!)); М(т>(1)) =вой а 1 — Ф а — Ф<'> — — 1 — Ф вЂ” +Ф<'> М(т>о(!)) =а'ой — + а > и 5 Ф 5 + +Ф вЂ” -[-Ф вЂ” — !в Ф(! > а [ ф(1> Ф<">(г) — п-я производная от интеграла вероятности (!2.11).
22.44. На приемное устройство, схема которого изображена на рис. 12.44, воздействует стационарный белый шум $ (1), спект- аао Рис. 12.44. Ролиоприемиое устройство ральная плотность которого 52(о>) == <т'о<2, Комплексная частотная характеристика линейной системы имеет вид <УГ (!о>) = С>2'о 2аот+1 (о>' — о>о) а импульсная характеристика фильтра !тС й(!) = уе — и'.
Определить: 1) плотность распределения вероятностей р„(г) процесса г(1) на выходе двухстороннего квадратичного детектора огибающей; 2) математическое ожидание т, процесса г(1); 3) корреляционную функцию Я,(т) и дисперсию 0„; 4) математическое ожидание т, процесса и (<) на выходе фильтра !4С; 5) корреляционную функцию 14,(т) и дисперсию В„на выходе фильтра !4С. Оитвет: 1 У и 1) р,(г)= — ехр ~ — — [, г О, 2п' ~ 2по / У У где о'„' = аЛ<аЛ'о<2 — дисперсия процесса р(<) на выходе линейной системы; 2) >иа = 2пу а<<[аута 3) )1а(т) = ао<>т'Я'оке-'и!т< Оа = ао<то,М<о>1 4) т„= а<'и'ото"о', 5) Як(т) = т ' ' (уе — та>т! 2ае — т!'!), та — 4а' О = аой>а Юа о о +аа 12.45.
На приемное устройство, схема которого изображена на рис. 12.44, воздействует случайный процесс х(<) = 5 (<) > (!) . ! о(<), где ~(1) — стационарный белый шум со спектральной плотностью Вй(и>) = Щ2; 1о(!) — единичная функция; Ч(<) =.— А (<) соз [о>о < —,' <р (<)] >3 зак. 1тоо заб — стационарный квазигармонический шум с нулевым математическим ожиданием т„= 0 и корреляционной функцией Йч(т) = о„'ехр ( — В (т() соз изот. Комплексная частотная характеристика линейной системы, как и в задаче 12.44, имеет вид ~(/со) =усо— 2аа+ / (аз — азо) Определить плотность распределения вероятностей /11 (г; !) процесса г(1), его математическое ожидание т„(1) и корреляционную функцию )(,(й т) для 1) О.
Ответ: 2вз (1) ~ 2аз (1) з(1) )7 (1, ),~ 4(()тз(1, ) (!, ) )7 (!, )/ з(( Здесь пс(!) = озз + 1тз(1), о1з — — ай/очооо/2, ао„' Ж! [(а В)+(а+())е-таз 2ае — 1а+в>1) ! о 0 аз — (Р 0 Оч (о) аз !~0; Йс(1, т) /(н(ъ)+)ч (!, т), )сн(т)= — 'е-а1 'созозот, 2 ао„' Л", аз — Вз ((ас-В ~11 ВЕ-а11 1) 1 (а+В)Š— аз-та1 а(Е-ае 1 Š— Вз) Е-1а+В11) СОЗ Еоо т 1 С О О, !<О. )сч(! т) = !2.46. Используя условие и результаты задачи 12.45, определить математическое ожидание т„(1) процесса и(1) на выходе фильтра с импульсной характеристикой й(!) = уе-т'. Ответ: аз — Вз 1 т +( ( 2а а — В а+51 — — — — /1е т+ 12 — а — В т 2 †/ -(- а+В е-хм — 2а е-1а+в1 1~, т — 2а т — а — В !2.47.
На радиотехническое устройство, состоящее нз интегрирующей цепочки )сС, двухполупериодного безынерционного квадратичного элемента с характеристикой Ь = ат)з и идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) (рис. 12.45), воздействует стационарный оо йабрсртуичсс В/е) с уЯ устройстбо Де/ фнч и/е/ ч о'уе Риа 12.45. Роднотехннческая схема Ъ 4:. гауссовский белый шум $(!) с нулевым математическим ожиданием тз = 0 и спектральной плотностью 52(оз) = Л'„0 ~ со с.
оо. Определить ковариационную функцию Кт(т) и спектральную плотность 5!(ез) процесса ь (1) на выходе нелинейного элемента. Ответ: Кс(т)= а ' [1+2ехр( — — (т()~; 4(РС)з ( 4+(аЛС)з ~ !2.48, Используя условие и результаты задачи 12.47, определить математическое ожидание т„ и дисперсию Р„ = п3 процесса н (!) на выходе фильтра нижних частот с импульсной характе- ристикой ( ае — "' при 0<1< Т, ~ 0 при других !. 2аВ (аВ)з — 4 !2.49. Используя условие и результаты задачи,!2.47, определить математическое ожидание то и дисперсию Р, процесса ч(!) на выходе фильтра нижних частот с импульсной характеристикой ( 1 при 0 1(Т, 1 0 при других й зт Ответ: т„=а '; Р = — о~ — — 1+с В (.
аУоТ . азиз о1 2Т Ч 2В 4 12.50. На рис. 12.46 приведена упрощенная схема двухканального коррелятора. На один из его входов поступает колеба- ние $1(!) = з1(!) + п1(1) 13' Вычислить при Т вЂ” ~ оо. Ответ: аЛ1о т„= — (1 2В отношение по/т, и его предельное значение е — ат) по о е-зат 1 2В 1 аВ+2 а — 2 (аз+ З1 т Г е ' в ~, 1нп — = ~// —, В =14С. а„1 21,В т о'о аВ+2 идентичных колебаний 4(/) = $а(1), т. е. при А, = А, = А, 0 =- О, /а = 1 и оа = О. Ответ: Рис 12.46. Двухканальный коррелятор с фильтром нижних частот а на другой $с(1) = за(1) -! па(1). Здесь з;(1) — гармонические колебания частоты ы, с различи(ими амплитудами и начальными фазами: з,(1) = А,созвав/* за(1) = Л,соз(оао/+ О); и!(1) — квазигармонические флуктуации: пг(1) = ха(/) соз оаа1 + уа(1) зйп о!о/, па(Г) = [х,(1) + йха(1)! соз о!о( + [у,(1) + йуа(1)[ зап о!о/, Квадратурные составляющие х;(1) и //!(Г) являются независимыми стационарными случайными процессами с нулевыми математи- ческими ожиданиями и дисперсиями Ра = о1 для х,(1), у,(1) и Р, = о3 для ха(1), уа(1).
Коэффициент й определяет степень корре- лированности флуктуаций п,(1) и п,(1): А4(п (1)па(1)) = /с 7. Определить математическое ожидание т„и дисперсию Р„ процесса т)(1) на выходе фильтра нижних частот. Ответ: т„= — Л,Л а соз 0 + 2/еоз„ Р„=4йаоа!+оа!(Аа+/еаАа!+ 2ЬА,А,соз0+Л!оа+2о!оа), 12.51. Применительно к условию задачи !2.50 определить характеристическую функцию О, (/о) процесса г) (1) на выходе фильтра нижних частот. Ответ [81[: 1 !З (/о)= Х оа о, '(ар+ел) ~' А (Ь вЂ” А /г) (аАа[+5 (ба+се)+2[А 6о! оа ~ х ехр /оА, (Ь вЂ” А, /г) 2 (а[) +оа) где Ь = А,созй + Л,й, е = Ааз!п О, а = 1/оа — 2//ао, 5 = 1/оа 12.52. Используя результат задачи 12.50, вычислить плотность распределения вероятностей р,(а)) процесса а)(1) на выходе фильтра нижних частот для частного случая воздействия на коррелятор 888 12.53.
Решить задачу 12.52 для случая отсутствия шума па(/) на втором входе коррелятора. Ответ: 1 (Ч вЂ” тч)а ) Рх(т)) = ехр )/2и о, ~ 2о„' где тч =- А,Аа соз О, о„' = о[Ли 12.54. Решить задачу 12.52 для случая воздействия на коррелятор идентичных сигналов за(1) == за(/) и некоррелированных процессов па(1) и па(Г) с равными дисперсиями, т. е. при А, = А, = Л, оа! — — ох= оа, 0 = 0 й = О. а Ответ [81[: — — а ч е ао* 4оа а) СО, рх(тд = Здесь а =- А'/2о' — отношение сигнал/шум на входе коррелятора, е„, =1+ — а+ — а +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
