Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Нетрудно убедиться, что в данном случае двумерная моментиая функция тдл (1,, 12) определяется формулой 1 ш,л(/ю 12)== —, ~ ~Е((ит) Е(]иэ) Х 4ц' Х 8 (!иг, [из; 12, 12!/(их/(и„ (12.13) где Ва (]и„]из, )ю 1а) — двумерная характерисгнческая1 функция входного воздействия й (г), 34$ (12.16) шч М(2)(1)21= ) ][к] ~ о Из (12.16) следует, что корреляцяонная функция выходного процесса равна )7п (т) шхл (ч) — ш„' ОО э пй' ~ ' ! [[ЦФ1~+ 1 — 1Щ га(т). (12.17) а 1 -ы 343 Применяя к (12.17) интегрирование по частям ч раз и используя известные свойства функции Ф!я! (з) [701, получаем 2, ПРИМЕРЫ Ф а г (т !(ч(т)=о! ~~~ /! 1И Ф!"+' ч! ~ — ~г$ ~ .

(Иц)В) Применительно к различным кусочно-разрывным характеристикам нелинейных элементов следует выполнять янтегрирование па частям такое число ч раз, чтобы ч-я производная /!т! [Е[ превратилась в дельта-функцию или сумму дельта-функций. Формула (12;!В) устанавливает связь мехзду корреляционной функцией выходного процесса и нормированной корреляционной функцией входного процесса и, следовательно, позволяет найти спектральную плотность выходного процесса по известной спектральной плотности процесса на входе нелинейного элемента.

Наличие в (12.13) членов с п > 2 приводит к искажению и расширению спектра выходного процесса по сравнению со спектром входного процесса. В этом, в частности, состоит вторая особенность нелинейных безынерционных преобразований. При вычислении интегралов (12.13) можно продуктивно использовать тот факт, что для характеристической функции стационарного гауссовского процесса $ (!), имеющей вид Вз Ци, !и,) =М (ехр Ци, е,-[-1и,$а))= 1 =ехр ( — — о' [и[+2г! (т) и, яз+лф, (12. 19) справедливо соотношение — =( — 1) ( йз и, и,) 6, (/и,, /и,), ВьЕ, в соответствии с чем (12.13) можно представить в следующем виде: ь" аз д штд(т) ой ( — (/и,) г" (/и,) би, ) (/и,) г" Циз) 8 (/ию /и ) биз. Вгь (т) 4пз ь Подставив сюда исходное определение характеристической функции (12.19) и изменив порядок интегрирования и статистического усреднения, полу- чим [741 ) /' 'Ы/'"[яз)р (5ю $,)б~,жз, (12.20) г ! Ю вЂ” ) (/и) гЦи)е/"чаи=/!М [к)= —.

ба/%1 2я,,ряа При вычислении корреляционной функции процесса на выходе нелинейных элементов с кусочна-разрывными характеристиками по формуле (12.20) нужно брать такое значение йр при котором /!а![31 обращается в сумму дельта-функций. Тогда интеграл в правой части (12.20) всегда вычисляется и, следовательно, находится й-я производная функции т,л (т). Что касается последующего интегрирования по значениям нормированной корреляционной фУикции гй (т) с целью~опРеделении'„тгл(т), та оно.особенно легко выполнЯется в частном случае, когда /!е1 [я[ ~ В (с) и воздействующий нормальный стационарный процесс к (!) имеет нулевое математическое ожидание.

12.1. На безынерционный двухсторонний квадратичный детектор с характеристикой (рнс. 12.3) т) =- / [с[ = паз, а ~ О, воздействует стационарный гауссовский и!ум $ (/) с плотностью распределения вероятностей (12.21) Определить плотность распределения вероятностей Р,(!)) процесса т! (/) на выходЕ детектора. Решение. Нри а) 0 случайная величина т) = т) (/) не может быть отрицательной, поэтому при т! < 0 функция р,(т!) = О. Для т) ) 0 имеем с = !р [т)1 = ~ )7 т)/и, в соответствии с чем модуль якобиана преобразования (12.5) равен [г[$Ят) [ =- 1/2)/ ат~.

Учитывая, что в рассматриваемом примере функция $ = Ф [Ч[ двухзначна, по формуле (12.4) находим Р [ —" +Р[ — —" ° Ч>0 (12.22) О, ч<о. Если математическое ожидание процесса ь(/) равно нулю (пей= =0), то формула (12.22) приводится к виду (см. задачу 2.31). 1 ехр ( — — ), ч)0, ( Рт (т)) = о! [' 2лпц (, 2аойз / О, т) <О. График этой функции приведен в табл.

12.2. Рнс, 12.3, Амплитудная характеристика двух. стороннего квадратичного детектора 347 Все значения $, для которых 5 =за, преобразуются ограничителем в одно значение Ч = а (рис. 12.4). Аналогично, все значения $ ( — р преобразуются в значение Ч = — Ь. Следовательно, вероятность Р(й>а) =Ях=) р1($) ь1$, а преобразуется для ч в дельта-функцию, расположенную в точке т) = а. Множитель при этой дельта-функции 6 (Ч вЂ” а) пропорционален Зы Вероятность Рис. 12.4. Воадействие случайных нроцессов на безынерционный огра- ничитель 12.2.

На вход безынерционного ограничителя с характеристикой (рис. 12.4) — Ь при $» — р, Ч =г" (й) = з$ при — ))($(а„ (12.23) а при $).а воздействует стационарный гауссовский случайный процесс $ (1) с плотностью распределения вероятностей (12.21). Определить плотность распределения вероятностей р,(ч) процесса Ч (1) на выходе ограничителя при з~ О. Решение. На интервале ( — Ь,' а) преобразование Ч =- 1' К) в данном примере является линейным: Ч= ай. Поэтому внутри этого интервала р,(Ч)=р1~ — ~ —, — Ь(т1(а. г ч'1 Вероятность того, что Ч ( — Ь или Ч) а, равна нулю, а вероятность того, что ч заключено в интервале ( — Ь, а), О а Р( — Ь(Ч(а) = ~ р (Ч) (Ч= — ~ р1 ( Ч ) 1Ч. — ь — ь возд ге д з(1) = А сов(етьг+ ~р) — гармонический сигнал с постоянными амплитудой и частотой и случайной начальной фазой ~р, равномерно распределенной на интервале ( — и, и), а и (1) — гауссовский стационарный гпум с нуле.

вым математическим ожиданием и корреляционной функцией И„(т) = М (и (1) и (1+ т) ) = пьг„(т). 351 Р а< — 6)=З,= (р)ад е преобразуется для ч в дельта-функцию, расположенную в точке Ч = — Ь, множитель при этой дельта-функции 6(Ч+ Ь) пропорцио- нален 5 .

Таким образом, искомая плотность распределения ве- роятностей равна — р) ~ — "1+ЛЯх 6(Ч вЂ” а)+ив 6(т)+ Ь), — Ь(Ч(а, ,,(ч)=— О, ч< — ь, ч) Здесь Л вЂ” коэффициент пропорциональности, определяемый из ус- ловия нормировки плотности распределения вероятностей р,(ч): а Л(Я +5~)+ — 1 р1 ( Ч ) ЙЧ=1. г — ь Очевидно при з = 1 коэффициент Л =- 1. График плотности распределения вероятностей р,(Ч) приведен в табл. 12.2. Там же представлены плотности распределения веро- ятностей р,(ч) на выходе некоторых безынерционных нелинейных устройств при воздействии на их вход стационарного гауссовского случайного процесса с (1) с нулевым математическим ожиданием тй=О.

12.3. На нелинейный элемент с параболической характерис- тикой Ч = 1% = аД + песа ействует стационарный случайный процесс ~(1) =з(1)+и(1), Определить математическое ожидание т„и корреляционную функцию Рп(т) процесса т) (1) на выходе элемента при условии статистической независимости сигнала и шума. Для частного случая ги (т) = е-""' определить физическую спектральную плотность 5п,(/) центрированного выходного процесса Чо(1) = Ч (1) — тп. Решение. По условию Ч (1) = аг(з (1) + и (1)) + аг(з (1) + п (1))г = = а,з (1) + а,и (1) + аозг(1) + 2агз (1) и (1) + а,п'(1).

(12.24) Производя статистическое усреднение соотношения (12.24) и учитывая, что в рассматриваемом примере М (3 (1)) = О, М (п (1)) = О, М (з (1) и (1)) = О, получаем следующее выражение для математического ожидания процесса т) (1): / Аг т„=М (т1(1)) =а, ~ — +оД 2 Перемножив равенства (12.24) для моментов времени 1 и 1+ т, выполнив статистическое усреднение результата перемножения, вычислим двумерную моментную (ковариационную) функцию процесса т1 (1) т, (т) ™ (Ч (1) т1 (1+ т) ) = = Кп(т) = а~((АД/2) соз о,т + о„'г„(т)) + + аяг((АД«/4) (1 + 0,5 соз 2о т) + 2АД айги(т) соз о т + АДо„' + + а,' + 2оД пДг(т)).

Отсюда находим корреляционную функцию 1«п(т) =. т,,(т) — т'„= аг«(АД/2) соз «о,т + + аег(А' /8) соз 2о,т + аг«о„'ги(т) + 2аггс4пДг(т) + + 2аагАДа'„ги(т) соз о,т. (12.25) Для вычисления спектральной плотности 5п,(/) следует,воспользоваться формулой (6.21): (12.26) 5п,(/) = 4)" )7п(т) соз 2и/т «(т. а После подстановки в (12.26) корреляционной функции (12.25) при гп(«) = ехр ( — а ) т~ ) находим Аг АД 5ъ(/)=ૠ— 6(/ /о)+аг — 6(/ — 2/о)+4оД(аг«+агап„*) х 2 3 аг+апг/г «" + апг(1 — /е)' х + (12.27) Рнс., 12.3.

Дискретно-сплошная спектральная плотность Рис. 12.6. 11ереннои«и. тель й/„— в, — Л/2<в< — о, + Л/2, 5, (о) = й/и в, — Л/2«='в(о, + Л/2, 0 при других в; ~髄— в, — Л/2(о — в, + Л/2, 5г («о) = ~ й/г, «ог — А/2(в(ог+ Л/2, , 0 при других о. Определить спектральную плотность 5„(о) случайного процесса т) (1) = $,(1) сг(1) на выходе перемножнтеля. Решение. Спектральная плотность 5„(аг) случайного процесса Ч (1) = с,(1) $г(1) в данном случае определяется формулой П! 1 и 5я(о) 5«(о) 5г(о и) «Ь', (12.30) где 5,(») — спектральная плотность процесса $,(1); 5,(о — о)— функция, сдвинутая на частоту о относительно спектральной плот- ности 5,( — о) процесса $ (1), Графическое изображение функций 5,(о) и 5г(о) дано на рис.

12.7. Там же показана спектральная плотность 5,(о — и). Интеграл (12.30) отличен от нуля только в том случае, когда отлична от нуля подынтегральная функция,т.е. когда спектральные плотности 5,(о) и 5,(«о — о) перекрываются. Как следует из рис. 12.8, при изменении о от † до оо, т. е.

при перемещении спектральной (12,28) Из (12.27) следует; что спектральная плотность 5п,(/) является дискретно-сплошной (рис. 12.5), Она состоит из двух дискретных спектральных линий при 1 = /е и 1 =- 2/„обусловленных наличием на входе параболического элемента гармонического сигнала з (1); низкочастотного сплошного спектра, обусловленного только шумом, и сплошного спектра, расположенного в окрестности частоты / = /е. Последний обусловлен взаимодействием сигнала з (1) и шума и (1) в результате нелинейного преобразования. 12.4.

Характеристики

Список файлов книги