Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ответ (68): г (хт+ — ) 2 /(1 „а)хг г ~„)~1 Уп Г (ХТ) (10.50) Рг (Ч) = при друг"их т). Здесь Т = — /сС; Г (х) — гамма-функция. Рнс. !0.38. Схема фнльтра 316 Рнс, 10.40. Интегрирующая пеночка АС (а) н случайный телеграфный снгнал (6) 317 Значение параметра АГ Ананнтнчееиое ныраженне Гребни 1 ! 1 р (г) == ехр ~ — — ге) Р2 (, 2 "аТ » 1 г=т! (г'2АТ+1 3 ре(ч)= (1 ч) !ч! ч' 1 4 ХТ= 2 г р (11.2) 3 АТ=— 2 2 рз(Ч)= — У1 — Ч' (Ч! <1 1 2 где ХТ=1 (.)-гчпее,*( ).
1й у (т) = ге('г)(ге (т) (11.4) «е пйе ге (о) ) 34 ((о+я) соз 2пттоЬ, -Ь (1!.6) р, (ч) =хт(1 — Ч" — ' !ч! <1 ХТ„« 1 ! г а1 г, (т) ) 31 (!о+я) з!п 2пнто(н, — !е -г ог г.л причем ге(0) 1, га(0) 1, у (О) = 1; (11.6) 319 Таблица 10.3 Плотность распределения вероятностей р,(о)) при различных значениях АТ 10.55. Получить из (10.50) асимптотические выражения и построить графики плотностей распределения вероятностей р,(Ч) для следующих частных случаев: 1) ХТ )) 1, 2) ).Т = 2, 3) ) Т = = 3/2, 4) ЛТ = 1, 5) ХТ <<' 1.
Ответ приведен в табл. 10.3 !681. 11. УЗКОПОЛОСНЪ|Е СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ !. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Стационарный случайный процесс $(!) с нулевым математическим ожиданием называется узкополосным, если ширина полосы Ь! той области частот, где спектральная плотность 34(Д практически отлична от нуля, мала по сравнению с некоторой центральной частотой уо этой области (рис. !1.1), т. е.
31 0) Ф 0 при 1о — М12 ж 1 < )о+ 31!2, М « 1о (1! 1) где 31(1) — односторонняя спектральная плотносттб 31 — ширина полосы, которая может быть определена по-разному. Если односторонняя спектральная плотность 33(!) симметрична относительно некоторой частоты !е, то естественно за уо принять это значение часто- менее произвольно. рмированной спект- ты. В других случаях уо можно выбрать более или Часто в качестве !оберут «математическое ожидание» но ральной плотности: ое — 1 ее юо н и= () е1ем) (1ечяо. 2п о о Корреляционная функция узкополосного случайного процесса всегда может быть представлена в виде (П )11(т) =п1 (и (т) соево с+ге(т) з!п ыет]=п1 г(т) сон(мат+у(т)1, (11,3) п1 — дисперсия узкополосного процесса 5 (!).
Рис. !1.1. Спектральная плотность узкополосного процесса так как а(С) = аз+а(С), (1!ПО) где (з У (С) > О, — л < зр (С) ж л, (11. 18) где л в з гг 7 11 Зан. 1203 321 В том частном случае, когда спектральная плотность 33(С) симметрична относительно центральной частоты Св, корреляционная функция узковолосного процесса имеет вид Р (т) =о~ г (г) соз ав ~чепэ ав г ] 54 (]з+т) соэ 2лттз(т, (11.7) г, (т) = О, у (т) = О. (! 1.8) Поскольку в правые части формул (1!.Б) и (! 1.7) входит спектральная плотность процесса 4 (С), смещенная в область нижних частот (иначе — низкочастотный спектр), то функции г, (т), г,(т), как и г (т), у (т), являются медленно изменяющимися по сравнению с соз авт. Реализации узкополосного процесса 4 (С) имеют вид модулированного гармонического колебания. Поэтому часто используют представление узкополосного процесса в следующем виде: $(С) = А (С) соз [авС+ зр (С)], А (С) > О, — л < ф (С) с л, (11.9) где А (С) и ф (С) — медленно изменяющиеся по сравнению с соз авт функции времени, называемые соответственно огибающей и фазой узкополосного процесса 4 (С).
Можно также ввести понятие мгновенной частоты, определив ее равен- ством где точкой сверху обозначена производная по времени. Представление узкополосного процесса (!1.9) можно записать иначе: 9 (С) = Аз(С) соз го,С вЂ” А, (С) з!и а,С, (11.11) Ае(С) = А (С) соз вр (С), А, (С) = А (С) жп зр (С). (1!.12) Отсюда следует, что А(С)=УАз (С)+4з (С), ф(С)=агс!3[Аз(С)САв(С)], (11,13) Аз (С) Аз (С) — Ав (С) Ав (С) а П) = ав+ + Формулы (11.9) и (11.! 1) позволяют интерпретировать огибающую А (С) как длину вектора, проекции которого на оси прямоугольной системы координат равны А,(С) и А, (С).
Фазовый угол между осью абсцисс и направлением вектора равен ф (С) (рис. !1.2), причем возможные значения ф (С) ограничены интервалом ( — л, л), Ванна вектора А (С) и его фазовый угол зр (С) изменяются во времени случайным образом, так что конец вектора совершает случайные блуждания на плоскости. При такой интерпретации про- Рис, 11.2 Геометрическое представление узкополосного процесса екции Аз(С) и А,(С) естественно назнать квадратурными компонентами процесса $ (С).
Исходя из различных математических определений огибающей А (С) н фазы ф (С), можно показать, что если исходный процесс $ (С) гауссовский, . то квадратурные компоненты А,(С) и А,(С) являются совместно нормальными. Если в дополнение к этому процесс 4 (С) стзционарен, имеет нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию (11.3), то процессы Ав(С) и Аз(С) являются стационарными и стационарно связанными. Их математические ожидания равны нулю: М(А,(С]1 = М(А,(С)4 = О, (11. 14) а корреляционные и взаимные корреляционные функции определяются формулами Ра(г)=М(Аз(С)Аз(С+т)] Рв(т)=М(Аз(С)Аз(С+т)1 ой ге(г), (11 16) Раз (г) =М (Аз(С) Аз (С+т)~= — Рве(г) = = — М (А, (С) Аз (С +т)] = п$ г, (т) . Отметим, что согласно (11.6) значения квадратурных компонент Аз(С) и А,(С), взятые в один н тот же момент времени, всегда не коррелированы и, следовательно, для гауссовского стационарного процесса $ (С] независимы.
Лисперсии компонент, как следует из первой формулы (11.15), одинаковы н равны дисперсии процесса 9(С) па =М(Аз Щ=пз=М СА'. (С)]=о~, (11.16) если спектральная плотность 84(с) гауссовского стационарного процесса 4(С) симметРична относительно частоты гв, то совместно ноРмальные пРоцессы А,(Сз) н А,(Сз) согласно (1!.8) независимы ие только в совпадающие (при С, = Сз), но и в Разные (пРн С, ~ Сз) моменты вРеменн, тан как Рзв (т) Рзз(т) — О. (!1.17) В дальнейшем принято, что исходный узкополосный случайный процесс $ (С) является гауссовским стационарным с нулевым математнчесхим ожида- нием.
При этих условиях формулы (!1.14), (1!.17) позволяют сравнительно просто находить различные совместные плотности вероятности огибающей А (С), фазы ф (С) и их производных. Лля этого нужно предварительно записать соответствующую совместную нормальную плотность вероятности стацио- нарно связанных процессов А,(С), Аз(С) и их производных, а затем в ней по известяым правилам перейти к огибающей, фазе и нх производным согласно равенствам, следующим из выражений (11.13) (см. (11.26) и пример 11.1).
Если имеется сумма узкополосного гауссовского стационарного про- цесса (шума) 4(С) = А (С) соз [аз!+ ф (С)] с нулевым математическим ожи- данием и детерминированного гармонического сигнала„з(С) = Аа соз авС, то можно определить огибающую, фазу и случайную частоту такой суммы при помощи соотношений! з) (С) = з (С] + 4 (С) = У (С) соз [а,С + ф (С)], У (С) соэ ф (С) = Ат + Аз (С), У (С) з[п ф (С) = Аз (С), (11.!9) т, е.
У(С)=]/[А,„+А (С)]в+Аз(С) !йф(С)=Аз(С)/[А,„+А (С)], (П 26) [Аж + Аз (С)] А', (С) — Ав (С) А, (С) [А +А (С)]в+Аз'(С) А,=Аз(пф, А„= А,з!и ф„ получим 2. ПРИМЕРЫ ! 2) 4 О г, (т) г, (т) 1 — г, (и) г, (т) — г (т) 1 О г, (т) О 1 1 О г, (т) г, (т) 324 Положив в формулах (11.23) ы (11.29), Аю = О, получым плотности вероятности огибающей и фазы узкополосного нормального стационарного процесса 5(!) с симметрычной спектральной плотностью: рл (А) = (А/аз!) ехр ( — Аз/2аз!), А > О, (11.32) р (ф) = !!2п, — и «р и. Ф (11.33) Корреляционная функция огибающей А (!) узкополосного процесса в (!) и квадрата огибающей Аз(!) соответственно равны )7л (т) = — аз! [( †) г' (т) + ~ †) га (т) + 7 !.3 + — г' (т) + ... =аз г (т) (1!.34) 'т2 4 6)' алз=(2 — и!2) айз, гл (т) =0,915г'(т)+0,057г'(т)+..., )7л, (т) =.
4о з ге (т) . (!1.35) Аналогичные формулы для огибавшей !г (!) суммы детерминырованного гармонического сигнала и узкополосного шума имеют вид — от [гз (т) + ~ — ~ аз г ( г)], а сС 1, 3 Я (т) см (11.30) а1 (т) [1+ —,г ( )1, » 1, )7~,(т) 4ай ! з(т) аз (. В (11.
37) Укажем, что в дальнейшем, пры формулировке отдельных задач, предполагается, что огибающие А (!) и Р (!) 'с некоторым козффициентом пропорциональыости воспроизводятся на выходе линейного амплитудного детектора огибающей, квадраты огнбающнх А' (!) и 1/з (!) — на выходе квадратичного амплитудного детектора огибающей, случайные фазы ф (!) и ф (!). — на выхо де фазового детектора и случайные частоты ф (!) и ф (;) — на выходе частотного детектора. 11.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
