Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(10.44) Аналогично можно найти, что при т ( 0 ая РВ [> 1>н(< т) ~ ! (1 е — тю) е л+ [е — <а+в> с е-тас) еат рс — аг < а [! е — <а+а> с)еаф - -'0 (10.45) Объединяя (10.44) и (10.45), получаем следуоощее выражение .для корреляционной функции случайного процесса т[ (1): а' Ра >З (С . ) 4 Р (! Š— ваС) Е-а<я< +[Š— <а+а> С Е вЂ” гаС) Š— а>Ч [Р— ав а — [1 — е — <а+о> с ) е — з г >).
(10. 46) Полагая в (10.46) 1- оо, находим корреляционную функцию для стационарного режима: аР2 )<Вч(т)= (ре '"с — ае — зс'с), Вв — а* С оо(гт о/гг Рнс. 1О!О. Цепочка 1сС прн 0(/т((а, (10 47) прн (т(0, (т)1,. ( (А/о/2) й ((а — (ь) )т1п ((м /д (о Поэтому )рп(т) = л'О (й(х) й((т(+х)с(х. 2,1 о (10.48) 3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ Дисперсия Р„в стационарном режиме равна а Р1. а+ р 10.7.
На линейную систему с импульсной характеристикой й (1) воздействует стационарный гауссовский белый шум $ (1) с корреляционной функцией )с1 (т) = (А/о/2) 6 (т), ОпРеДелить взаимнУю коРРелационнУю фУнкцию )тыл(т) пРоцесса $ (1) на входе системы и выходного процесса т((1) и дисперсию Р„процесса т) (1) на выходе. Решение. Подставляя в (10.14) значение корреляционной функции )(1 (т), находим Из (10.47) следует, что с точностью до постоянного множителя импульсная характеристика линейной системы совпадает с взаимной корреляционной функцией между входным стационарным белым шумом, воздействующим на систему, и выходным случайным процессом. Этим результатом часто пользуются для экспериментального определения й (1) неизвестной линейной системы при помощи коррелометров.
Значение дисперсии Рп в стационарном режиме можно определить при помощй формулы (10.12, б). Подставляя в нее заданную функцию Р1 (т), имеем: Полагая в (10.48) т = О, находим ОО Р йа (х) с(х. 2,1 о 10.8. Найти спектральную плотность 51()) напряжения собственного теплового шума на параллельной цепочке КС (рис: 10.10) и построить график зависимости 51 (/)/4йТ от величины К для трех частот: / = 100 Гц, 1,8 и 16 кГц при С = 100 пФ. Вычислить дисперсию напряжения шума в полосе частот ((мЯ и показать, что при /, = О, / — оо она равна йТ/С. Решение.
Известно, что спектральная плотность напряжения' собственного теплового шума любой пассивной линейной электрической цепи определяется формулой Найквиста: 5а (1) = 4ЙТ)т' )ее (2т), 0 «= / ( оо, Рнс. !0.1!. Спектральная плотность Хр теплового шума ~в ~п 4 г//е я/м А(ач где йТ = 4 10™ Вт/Гц, йе(2) — действительная часть комплексного сопротивления цепи У.
Для параллельной цепочки ЯС имеем /! /! Вояс У— / 1+/м/1С 1+(оз/(С)о 1+ (сойС)е 51(/)лл 4йТ, О(/~ оо. ! + (2пЯС)а Графики зависимости 51 Я/4йТ от К для трех частот при С = 100 пФ представлены на рис. 10.11. Дисперсию шума в полосе частот 1/„ /а! находим по формуле Ес Р1=4йТК ( с(/= 1 -1- (2п/йС)а Ь~ = — (агс1я (2п)а )1С) — агс1я (2п/т )сС)).
2МТ пС Полагая здесь /т = О, /а-ь оо, получим Р, = йт/С. 10.1. На вход линейной системы с постоянными параметрами, описываемой дифференциальным уравнением дл о а„— т) (1) +... + а, — т1 (1) + а, т) (1) = лел Е1 =Ь„~' Р(1)+ ...+ Ь,— "Е(1)+Ь,й(1), воздействует стационарный случайный процесс $ (1) с математическим ожиданием, равным ть. .Найти математическое ожидание т„реакция системы т! (!). Ответ; тч — — (3 чае) тй.
10.2. На вход идеальной дифференцирующей цепи воздействует стационарный гауссовский случайный процесс 5 (!) с нулевым математическим ожиданием тй =- О и корреляционной функцией Яй (т) = Рйе — а ! т ! (1 + а [т[ ). Определить корреляционную функцию процесса т! (!) = с[5 (!)/с[! на выходе. Ответ: [рч (т) =- аяРсе- ''' (! — а[т[). 10.3. Решить задачу !0.2 при условии, что 1) Яй(т) =Рйе — !" [созва с + — а 3!и в, [т[); Яе 2) Яй(т)=Рйе — "* *. Ответ: 1) Я„(т)= (а'+ во)Рйе~!'!(созв,т — — "3!пв,[т!); ве 2) ссч (т) = 2аяРйе — и*т' (1 — 2а'т') = 2а'(1 — 2аягя) )71 (т).
10.4. На вход радиотехнического устройства, состоящего из линии задержки на время с„д — — !а и дифференцирующей схемы (рис. 10.12), воздействует стационарный случайный процесс с (С) с нулевым математическим ожиданием тй = О и корреляционной функцией )7 (т) = Р1 е и ы' (1 + а [ т ! ). ОпРеделить взаимнУю коРРелЯционнУю фУнкцию ссйч (т) пРоцессов $ (! — 1,) и т! (!) = $ (1) =- сЦ (!)ссй. Ответ[4!: сс „(т)= — аяР1(т — Се)е ип сп. 10.5. Корреляционная функция процесса $ (!) имеет вид Я (т) е — и'т* Найти корреляционную функцию процесса т! (1) = 5 (С) + с1"й Я!й.. Ответ: [7ч (т) = [1 + 2а'(! — 2ааг')[ е — с'* '.
10,6. Корреляционная функция Дй (т) случайного процесса $ (1) имеет вид Я1(т) = Рс е — '" " с (! + а [ с [+ — а' та). ! 3 Найти взаимную корреляционную функцию процессов с (1) н т! (1) = с[Я5(1)М(Я. Ответ: Кйч (т) = — — Рйаае — '""!(1+а[т[ — а'та), ! 3 Р„= 2 ~(С вЂ” с) Кй(т) с(т=Рч(С), д с Яйч (См !я) = ~ Яй(1,— х)с[х. о 10.8. Вычислить коРРелЯционнУю фУнкцию Яй(с„са) и диспеР- сию Рй(!) случайного процесса Винера $(!) = ) и (!) И, где и(с)— о стационарный белый шум с нулевым математическим ожиданием т = О и корреляционной функцией сс„(т) = (сьсе!2) 8 (т). Ответ: Ю, !'()!Со/2) (м сс( 1а, ~1(сс ') =~ ',. Рй(!) =(йсос2) с. ( оl )!в !я((д! 10.9.
На вход интегрирунхцего устройства воздействует стационарный случайный процесс 5 (С) с нулевым математическим ожиданием тй = О и корреляционной функцией Я1 (т). Определить дисперсию Р„и корреляционную функцию [7ч(т) процесса 10.7. На вход интегрирующего устройства (рис. 10.13) воздействует стационарный случайный процесс 5 (!) с корреляционной функцией Я1 (т). Определить дисперсию Р„процесса т! (!) на выходе интегратора и взаимную корреляционную функцию )71ч ((„Са) для входного н выходного процессов.
Ответ [4[: Рнс со сй ДиффеРессниРУгощан сне- Рис. со.!3. Идеальный интегРатоР ма и линия аадержин с+ т т) (с) = — ~ $ (х) с[х с-г на выходе интегратора. Ответ: г т ) 1 (') ( т ) — т д„(т)= ' ~ /1,(! т)~1 — — '~)/Е. — г 1О.!О. Случайный процесс ф (1) задан уравнением с(ф(1)/с(с = пв(!), где пт(1) — стационарный гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Я„ч (т) = (Л/,р/2) 6 (т).
Определить дисперсию Рат (Г, т) приращения Лф (1, т) = = ф (1+ т) — ср (1) в стационарном состоянии. Ответ: Ф Рьч(е,т)!с =М((ф(!+т) — ф(1))*)!с 10.1!. Вычислить дисперсию Рад(1, т) приращения сд)с (й т) = )с (с + т) — )с (с), где сс (!) — случайный процесс, заданный уравнением сбс(1)/с/1.+ аХ (1) = пл (1). (10.49) Здесь пл (!) — стационарный гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией сс„л (т) = (Мл/2) б (т) .
Ответ: Ул Р„(Г т)~с =~И(() (!+ ) — ) (1))*Н- = — '(1 — ""с)- 10.12. Определить дисперсию Р„(1, с) процесса С+С и (!) = )" Х (х) с(х С при 1 -д- аа. Здесь Л (1) — случайный процесс, заданный уравнением (10.49). а/Л Ответ д Р»(!, т))с. = — (сс 3 т3 — (1 — е-сдс тс)]. 10.13. Пусть случайные процессы 5 (!) и 0 (!) на' входе и выходе линейной системы с импульсной характеристикой /с (с) связаны соотношением П (1) = ) й (à — ) 2 ( ) !т, 00 где функция й (с) абсолютно интегрируема на положительной полу- , оси.
Доказать, что Я1» (й ед) = ) /д (с, — т) /с1 (1, с) с(с, где са$» (1 (д) — взаимная корреляционная функция процессов в (с) " ч (с); сст (1,!д) — корреляционная функция процесса ~ (с) Предполагая, что процесс $ (1) стационарен, доказать, что функция )с1» (1, !д) зависит только от разности аргументов, и выразить взаимную спектральную плотность 51» (ад) процессов $ (!) и д! (/) через спектральную плотность 51 (са) процесса $ (!).
ФО Ответ: Ят» (са) = 31(са) ) й(т) е/">'с(т. а 10.14. Пусть $ (!) и $д(1) — случайные процессы и с д) (!) = ~ /д (1 — т) $ (т) с!с, т) (М) = ~ Ьд (à — т) Вд (т) с( с. а (О Доказать, что сс»»1 (с' /д) ) /д(~ т) с(т ~ /дд(!д тд) )д!$ (т' тд) сстд. СО СО где )с»», (с, сд) — взаимная корреляционная функция процессов д) (1) и д),(1); )сы, (й сд) — взаимная корреляционная функция процессов $ (1) и $,(1). 10.15. На конденсатор емкостью С начиная с момента времени ! = 0 воздействует флуктуационный ток с (!), представляющий собой белый шум с нулевым математическим ожиданием т, = 0 и корреляционной функцией )1с (т) = (й/а/2) б (с).
Найти дисперсию Р» (1) напряжения д! (!) на конденсаторе (рис. 10.14). О Р(!) а! 2О - 1ОЛО, Решить задачу 10.15 для случая, когда корреляционная функция тока с (!) имеет вид Яс(т) = Рсе-вт . Ответ 1441: Р» (!) = — с(! — — (1 — е-Вс) ~ . 20С Г 1 йс 1 где И1 (т) =- Рйе а!т21.
тсч(т) = 02 Рнс. 10.16. Схема !2С рнс. 10.16, Днфференцнрующан цепочка РсС Рнс. 10.14. Воздействие случайного тока на емкость 1 0.17. На вход дифференцирующей цепочки (рис. 10.15) воздействует случайное напряжение $ (1), представляющее собой ограниченный по частоте белый шум, спектральная плотность которого ]' Лго, 0<в < в„ < О, в<0, в>вз.
Найти дисперию Р„напряжения т) (1) на.выходе цепочки. Ответ: Р = — <вт — — агс(йазз)(С). йго ДС 10.18. На вход схемы 14С (рис. 10.16) воздействует ограниченное по полосе случайное напряжение $ (1) со спектральной плотностью Уо, о'о — бв(2- 'в ~~во+сзв(2, О2 О, - О 0 для всех других в. Найти спектральную плотность 5„(в) напряжения т) (1) на выходе.
Оп!вега: Я (в) = !УФ ' ' ' ° во — — ~в~во+ —. И + (вйзйоС)о Ьв ав 2\ о(д +й)2+( ~~)(СФ' 10.19. На вход пропорционально-интегрирующего фильтра (рис. 10.5) поступает стационарное случайное напряжения й (1) с математическим ожиданием вга и корреляционной функцией )Р (т) = Р е — "!т1. Определить математическое ожидание вг„, спектральную 'плот ность 5„(в) и дисперсию Р„напряжения т) (1) на выходе фильтра. Ответ: 2а 1+(вТ,)о Тз Т,а тлч — — лт1, 5„(~) = 1~ 10.20.
Напряжение на входе фильтра, изображенного на рис. 10.1, представляет собой случайный стационарный процесс. Определить отношение дисперсии Р„выходного напряжения т! (1) к дисперсии Ра входного напряжения й (1), если спектральная плотность входного процесса равна: 1) 51 (в) =- Я,е-а"'! 2) 51(В) = ЯОЕ-а!в!. ЗДЕСЬ ЯО) О, р- 0 — ПОСтсяННЫЕ дЕтЕр- минированные величины. Ответ: 2! — "=2 2~ 5[2 — Ф< )2' 2]], 2 а= —, Ф(г) = — ] е 2 2(х; гс ' -рЫ а!3 аа Р2! . ! созх ЫПХ 2) — =ар гйпа<) ] — с(х — созар ] — с(х Р Х х СФ 2Ю !0.21. Напряжение я (1) на входе )4С-фильтра, изображенного на рис. 1О.!6, представляет собой случайный стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием взй —— 0 и корреляционной функцией ' Определить корреляционную функцию 1(„(с), дисперсию Р„ и спектральную плотность 5„(в) выходного напряжения т( (1). Как следует выбрать параметры )с и С, чтобы отношение дисперсии выходного процесса т( (1) к дисперсии входного процесса $ (1) было меньше заданного числа 67 Оп! вет: аР1 — [()Е-"! т ! — аЕ-а!'!), Хо~~, (12 ао — Рй е — а-'! ' ! (1 + Р < 51<), а = 6 2 а 2ао ()Р1 Р'! Р$ Яч (в) = а —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
