Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 44
Текст из файла (страница 44)
<Е,)[[[И,) — т, ссз)[[ Вводя оператор р ЕЕ!се! и операторы А (р, с) и В(р, !), определяемые равен- ствами и и» А <р, !) = ~ а; <П р*, В(р, !) = ч', Ь; (!) р', =а =о дифференциальное уравнение (10.1) можно привести к следующему торному соотношению [64[: А (р,!) Е) (С) = В (р,!) 5 (С). Из (10.3) формально следует равенство, определяющее сигнал на системы в явном виде: т)<С) = — '5И» В<р, 05<!). В(р, !) А (р, Е) Оператор Е-<Р Е) = в<р, с) (10.5) А<р, !) называется линейным однородным оператором системы.
Динамическая система с оператором (10.5) линейна, так как при решении дифференциального уравнения (10.1) применим принцип суперпозиции. Линенным неоднородным оператором ь»(р, С) называется сумма линейного однородного оператора и некоторой заданной функции [(!) [5,(р, !) = й<р, !)+[<с). (10.6) Путем вычитания из (10.6) функции ЕИ) любой неоднородный оператор может быть приведен к однородному. Из (10.4) можно получить следующие соотношения, определяющие математические ожидания и корреляционные функции процессов на выходе линейных систем через их операторы и статистические характеристики входных процессов [64]: Неоднородность оператора системы на значении корреляционной функции не отражается, а при нахождении математического ожидании она должна быть учтена добавочным слагаемым. При заданном операторе линейной системы принцип суперпозиция позволяет свести исследование реакции системы на пронзвольное воздействие к исследованию реакции системы на типовое воздействие.
В качестве типового обычно используется импульсное воздействие в виде дельта-функции нли гармоническое колебание. Реакция предварительно не возбужденной линейной системы на воздействие в виде дезьта-функции называется импульсной характеристикой системы й (с). Если оператор системы определяется формулой (!0.5), то зта реакция может быть установлена в результате решения линейного дифференциального уравнения ,Еп ап (Е) — Ее И) +... +а,(Е) — й(С) [-а»И) й (!) и зсп " ! Л! цт Ьт(!) — 6(С)+... + ЬС(!) — 6(!)+Ьз(Е) 6(Е) (!0.9) прн пулевых начальных условиях. При атом процесс из выходе линейной системы определяется интегралом Дюамеля: с ( е) (П ] й(е — т) 5 <к)»<т ] !!<к) К (! — х) тх ° (10.!О! а о Используя (10.10), получаем следующие формулы для математического ожидания и корреляционной функции на выходе системы [1]: тч И) =~й(! — т) т! (т) е<т, (10. 1 В Егз ИЕ, !») "~ й(!» — те) й (Сз — т») )7 <тс, тз\»Ст, лт,.
<!0.12) йа Для высших корреляционных функций (т. е. и-мерных центральных момент ных функций и-го порядка) имеем: С,С,О етзп(с! Ез сз) ] ] [ йи! — т»)й <с» — т»)й(сз — тз) х пай Х Ссз» (тс, тз тз) дт» С<т» Фтз, (1О.!3) с »„„и, ....ь -~ ...'[ и-~~ п-*н... н.— н о Х С<ай <тт, тз, ° ", тп)»<т! дтз ". "тп анарным ходи процессам 6 (Е) фа (10,11) —.(10.13) принимают вид т (П т [ йИ т) е<т тй~й(х) Лхз. (!0.1! а! ~е <с Е,И, т,)! <С,— г,) )72(т,— тПбт е(тз» (!О 12а) а а Е„О !. (! ! Ез) ] ] 1 й(с! — те) й(сз — тз) й (ез тз)х оаЬ х Е<з» < тз — тс, тз — т!) Е<т» "т»»<тз. <10.
13 а) В случае линейных пассивных систем с затуханием но истечении достаточно большого времени от момента С 0 случайный процесс з)И) будет приближаться к стационарному. Для етаннонарного процесса формулы (10.11) — (10. 13) преобразуются к виду [1,14[ тв т1~ й(х)»сх, я+х Р„(т) ]г й (х)»сх ]г й <т+х — е) )7! (Е) Ах <10.126) о »» т»+х т,+» Е<зп <ТЕ, т,) ]Г й(Х)ЕЕХ ~ ]Г й<т,+Х вЂ” У)й(тз+Х вЂ” г) Х о Ю Х Е<ЗЬ (У, г)»ЕУ »СЕ.
(1О.!Зб) э 3 з Ю з и ч > й й й х о й б И з п Ф Ф ж М т И $ о о Р й в Зй Ф О $" К Ф. Ф М Ю О. 4 и з М В Ф 3 С й о 8* ъ~ ~! ъ з ! Ф В~ ъс з С~! 3 а!.4 ! к~-~ ! ~сз ! ~ ~з ъ з х 8 ч о Ч ~/ о ! СЧ з «3 х 8 1 !м э ! ,э о 1 з ! з ! х о 3 3 С х х х х о х о о о х э х ы $ 88! э з 1 8' —:о в з 1! б ~3 з 1, з а ! з Й' ;~в 4 ! з~ э~ з з э Д)сч ~)ОЗ ! э 4 э О 4 ,э О Ы о х Х ! л У о э о -1= ! -!" ъ 1 э + з + В заключение укажем, что взаимная корреляционная функция для процесса $(1) на входе линейной системы и выходного процесса ч(1) равна с )! „(1, С ) = ) й (1 — ~) >!с (О.
~) д~. о Если процесс Е (1) стационарен, то с, С!й, (сс, сз) = ) Л (1з — т) /! х (!с — т) дт. о Подавая на вход линейной системы гармоническое колебание х (С, ы) ехр (!ы1) и решая уравнение !ыс чт ) ' „!ыс А (р,с) (!0.>5) определяющее работу системы, находим, что решение (>О. >5) представляет собой в общем случае комплексную функцию действительных аргументов 1, ы.
Выделим нз функции тсс(1, /ы) множитель ехр (/ыс), т. е. представим решение в виде (! О. >4) >УС'с (1 /о>) Ус (1 /е,) е!м> ! я О /са) ! е! Аге >Ус' >с, сею снс (>0 наглядно показывающем изменение амплитуды и фазы воздействия х (1, ы) = ехр (/ыс) при его прохождении через линейную систему. Функцию ус" (1, !ы) называют комплексной частотной характеристикой системы, в общем случае она зависит не только от частоты ы, но и от времени 1. Прн помощи атой функции легко вычисляется спектральная плотность о (ы) процесса ч (1) на выходе линейной системы: ~р(ы) ~й(ы)!'у' (1 /")! ~р(ы (>О.
!7) Здесь 31 (са) — спектральная плотность воздействующего на систему случай. наго процесса а (1). Комплексная частотная характеристика системы с постоянными параметрамн и ее импульсная характеристика связаны друг с другом преобразованием Фурье: ! !' О).
~ тг'(/ь>) есм ды, Зп (ю, >в) А'(сы)=)Г 6 (Ое !гы Ж. о Выражения Х (!ы) н д(1) для некоторых простейших линейных систем с постоянными парамеграмн приведены в табл. !О.!. й. ПРИМЕРЫ 1О.!. На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс $(1) с математическим ожиданием т> (1) = з)пр1 и корреляционной функцией /( (1„1)=0 е 'чс,-с,>' Определить математическое ожидание т„(1) и дисперсию 0„(1) процесса т)(1) иа выходе системы. Рис. >О.), Интегрирующая цепочки ЛС Решение. Случайный процесс т) (1) на выходе системы (реакция) связан с воздействием 5(1) оператором дифференцирования: . П (1) = й (Р, 1) В (1) = бВ(1)/б1. Применяя формулы (10.7) и (10.8), имеем п>р (1) = — т! (1) = р соз р1, си )с„(1„1з) = — /хсд(1„1) =20йае-"! г-' >'11 — 2а(1з — 1,)з). дсс д/с Полагая 1, = 1, = 1, находим /ср (1, 1) = 0„(1) = 2а0> = 0„.
10.2. На цепочку з(С (рис. 1О.!), начиная с момента 1 = О, воздействует -случайное напряжение $ (1), представляющее собой стационарный белый шум с математическим ожиданием тй и корре- ляционной функцией й>й (т) = (й/„/2) 6 (т). (10.20) Определить математическое ожидание т„(1) и корреляционную функцию /ср(1„1,) напряжения т) (1) на емкости С. Решение. дифференциальное уравнение для исследуемой схемы имеет вид с(>) (1)/с(1 + а>1 (1) = ай (1), а = 1//сС. (10.21) Будем считать, что в начальный момент времени емкость С разряжена, т. е. т! (0) = О.
В общем случае т) (0) может быть отличным от нуля и носить как детерминированный, так и случайный характер, При нулевых начальных условиях рещение уравнения(10.21) имеет следующий вид: с >1(1) =ае — "' ~е '5(х)с(х, о в соответствии с чем математическое ожидание случайного процесса В (1) на выходе цепочки ЯС равно с тр(1)= М(т)(1))=ае — ' ~е "М(й(х))с(х= о =ае — с~е™тйс(х=т>е '(е ' — 1). о Рис 10.4.
Нарастаиие дисперсии 2»»/»/ йао —,о (10.23) еа е / (7) 6 (70 — 7) Г(7 =1 (70) е,— е лг» Ы) ит» Рд»ог» »г а оз д/ г»=ж Рис. !0.3 Области иитегрироааиия Рис, 10.2, Нарастание математияесиого ожиааиия 2В4 Таким образом, ти (/) = ига (! — е -"'), График этой зависимости приведен на рис. !0.2. Корреляционная функция случайного колебания т! (1) на выходе цепочки /7С согласно определению равна: /(и (!,!г) =аа е ' 1!я ' > ~ ) е'" '*+и! )7! (у — х) ах»(у.
оо Учитывая, что по условию задачи /77(т) = (6/о/2) 6(т), находим )7и (/, (т) =иа е —" !'+ ' > ~ ) е'" <" +и 6 (у — х) г(хну. (10 22) оо При вычислении интеграла / = ~ ~ е" '"+ю 6 (у — х) г(хг(у оо необходимо иметь в виду, что формула справедлива лишь при о) О, т. е. когда особая точка 7 = 7, лежит внутри пределов интегрирования. Области интегрирования в (10.23) при т О и т 0 изображены соответственно на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
