Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть случайнан величина т — промежуток временн между двумя пронзвольнымн соседними заявкамн в простейшем потоке. Тогда функцвн распределення Р,(1), плотность вероятности рл(!), математическое ожнданне шг и днсперсняп,' величины т определяютсн формуламн: Рл(() = Р(т ~ () 1 — е Ь«, р,(() )л т, 1()», и', 1/)лэ В случае нестаци.нарного пуассоновского потока выраження (9.35) н (9.36) соответственно принимают вид; — ч Р(», т, Га) = — е И (9.38) «а+ х Рл (П г,) =1 — ехр — ) )» (() «(г (9.39) «а+э ,», а»-»».а» «~ — 1.»«»а~.
а. Здесь Га+ ),(г) «(г [(9.40) — математическое ожидание чнсла заявок на участке от (а до !э + т, где Х(() — мгновенная плотность потока. (йь 9 Зач «тэз 237 заявок (требований), пРоизводительностью отдельного канала (обслуживающего аппарата), числом каналов н эффективностью обслуживания Система массового обслуживання включает в себя трн элемента: входной поток, обслуживающую снстему с одним нлн несколькнми обслужнвающимв аппаратами н выходной поток.
Снстемы массового обслуживания делятся на системы с отказами (СМО с потерями), системы с ожнданнем и системы смешанного типа. В системе первого тнпа заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает снстему н в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (происходит потеря заявки). В СМО с ожнданнем заявка, поступнвшан в систему, когда все каналы заняты, ставится на очередь н ожидает, когда все поступавшие ранее заявки будут обслужены. В системах смешанного типа накладываются ограничення на время ожндання заявки в очереди, общее время пребывания заявка в системе, чнсло заявок в очередн н т, д, Наиболее хорошо разработаны системы первых двух типов. В зависимостн от условнй задачи н целей исследования количественными оценками качества работы СМО могут быть: средний процент заявок, получивших отказ н покидающих систему необслуженнымн; среднее времв ожнданик обслуживания; средняя длнна очереди н ее распределение и др.
Входной поток (поток заявок) — основной элемент, определяющнй про. цессы в СМО. Часто его считают простейшим нлн стационарным пуассонош скнм потоком, прн этом в большинстве случаев удается получнть удовлетво. рнтельные по точности решения. ' Для простейшего потока число заявок э промежутке времени т распределено по закону Пуассона ()»х)» Р(»,т)= — е хл, » 0.1,2, (9.35) «0 ' Выходные потоки СМО часто представляют собой потоки с ограннченнь|н последействием (потоки Пальма). Ординарный поток однородных событий является потоком с ограниченным последействием, если промежутки времени между последовательными событиями Т„Т„..., есть независимые слу.
чайные величины. Простейший поток, в котором независимые величины Т.„ Т,, .. распределены по показательному закону, — частный случай потока Пальма. Если все функции распределения Р,(!!), за исключением, быть пожег, Р,((,), совпадают, то поток Пальма образует поток восстановления (59 — 61). Примером потоков с ограниченным последействием являются потоки Эрланга, образуемые гпросеиваннем» простейшего потока (3). Плотность вероятности закона Эрланга й-го порядка имеет вид Р,(!)= гье- .
Г>0, Ль+' (9. 41) Г(а+ Ц ь -;-! где Т = 2 Т, — интервал времени между соседнимн событиями в потоке г=1 Эрланга й-го порядка; 7,, Тз, ..., Та 1 — независимые случайные величины с одинаковыми плотностями вероятностей р,(!з) = Хе ~, (г ) О, ! 1, 2, — хг ...,а+1. Математическое ожидание и дисперсия величины Тс плотностью вероятности (9.41) равны (9.42) т, = (й+ 1)/) о) = (й+ !)Фз, где Х вЂ” плотность простейшего потока. Для упрощения иногда удобно заменить реальный поток заявок с последействием так называемым нормированным потоком Эрланга й-го порядка с примерно теми же математическим ожиданием и дисперсией промежутка между заявками (3). Плотность вероятности, математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины Т 7!(й+ 1) имеют внд де+ 3 Р,(!) = (5+1) +' Гае Х ! +'!', С) О, (9.43) ! (й р!) т! = )гл, огз = !7Лз (й+ П, (9.44) где Х вЂ” плотность потока, совпадающая прн любом й с плотностью исходного простейшего потока заявок.
Функционирование СМО во многом определяется временем обслуживания одной заявки 7еб, которое характеризует пропускную способность системы. В общем случае Т б — случайная величина. Прн теоретических нсследова. пнях и практических расчетах чаще всего предполагает. я, что величина Т г распределена по показательному закону, когда функция распределении и плотность вероятности определяются соответственно выражениями Р,(!)=1 — е нг, р (!) Ре (9.45) где параметр р — величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки: Р= 1/тгоб тгоб=М (7 об) (9.46) При показательном распределении времени обслуживания задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точностью описывает ход процесса в СМО, Пусть имеется СМО с и обслуживающими аппаратами (и-канальная система), на вход которой поступает простейший поток заявок с плотностью Х.
Время обслуживания одной заявки одним аппаратом подчинено показательному закону с параметром р. В ятом случае основные характеристики эффективности функционирования СМО с отказами (потерями) определяются следующими выражениями. 1. Вероитность того, что в системе занято й обслуживающих аппара. тов (в обслуживающей системе находится точно й заявок): Рь (Х~ь Р, Рь=рн(я)= — ( — ~ = — а', й! (Р) й! (9.47) где (9.48) — вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны; "= агр = ьт~ об (9.49) — среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки (приведевная плотность потока заявок (3)).
Подставив (9.48) в (9.47), получим формулу Эрланга~ (9.53) 2. Вероитноеть отказа в обслуживании очередной заявки ( — ) '(Х вЂ” ( — ) 1 — ~~ — ~ .ы.йч 3. Среднее число занятых обслуживающях аппаратов (9 52) аз Рь= Рз 0 < й < и. И 2. Вероятность того, что все и аппаратов заняты, з заявок стоят в очереди: -з е+ Р„е — — — Р„П (п-~-тб), з~) ьт (9.84) 3. Вероятность того, что все аппараты свободны: и Оч т 1 Система массового обслуживания с ожиданием при ограниченном времени ожндання Т, распределенном по показательному закону с параметром у, в установившемся режиме обслуживания описывается следующими характеристиками (3).
1 Вероятность того, что занято точно й обслуживающих аппаратов (очередн нет): 4, Средняя длина очереди 5а5 и (. + 5! 55= ! !9.63) а5 (л+шр) 5 ;)7 — "„, + (9. 56) ач 5а' П (л+тр) »5 ! 5 [ 2. ПРИМЕРЫ Х вЂ”;,5 —:,Л, (9.57) = — =0,0286 ч ', 70 .(9.59) 3 ~~ Х ь 7 (9.61) Рнс. 9.3. Распределение време. нн работы до отказа невосстанавлнваемых экземпляров рздноэлектронных систем ! го гг 75 гз ~ггз 75' лх (9.62) 2 36 Г+ЛГ 557 261 266 5.
Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной: В формулах (9.53) — (9.57) и — число обслужнвающнх аппаратов в снс° еме, 51 кур = ).гл! оо Р = 7)Н уш! оо, (9.56) где )5 — плотность простейшего потока заявок; Р—. параметр показательного времени обслужнвання;7 1!т!ож — параметр показательного вре. менн ожндання (велнчнна, обратная среднему сроку ожидания).
Прн () со система переходит в СМО с отказами, а прн 5 0 — в »чнс-, тую» систему с ожндан нем, когда заявки вообще не уходят нз очереди (каждая нз заявок рано нлн поздно будет обслужена). В последней системе предельный стационарный режим существует только прн а « п. Прн а > и число заявок в очереди с течением времени неограниченно возрастает. Для СМО с неограниченным временем ожндання (частая система с ожнданнем) прн а «и справедливы формулы: Г" -1 а" Г чэ5 а" а" Ч-1 1, .=..., «1 ~ Л»а «1 п)(п — а) ~ «-о л -1 аз+1 ~ а« ал+! Ш» У вЂ” + и п) 1 — — Ь=о — ) ~=- и ) Если имеется СМО с ожиданием н число заявок в очереди ограничено, то прн простейшем потоке заявок н показательном распределении времени обслуживания формулы для Р«н Р„, соответственно имеют внд: ~л ) 2и „, + —, ),'"( — ) ° 1960 «О '5=! где гл — чнсло заявок, которыми ограничена очередь.
9.1. Семь невосстанавливаемых радиоэлектронных систем по- ставлены на испытания. Реализации времени работы этих систем представлены на рис. 9.3. Вычислить статистические показатели надежности Р*(7), Дв(7), р! (1), 75*(1), пг) при ( = 30 ч и гтг = 1О ч. Решение. В соответствии о определением по формулам (9.6)— (9.10) имеем: Р" (1= 30) = = — = 0,714 (не отказали системы с но- 61(! = 30) 5 д'» мерами 2, 6, 1, 4, 7), л(1=30) 2 Я* (1 = 30) = = — = О, 286 (отказали системы с номерай!» 7 ми 6,3), р",(7-30) п(г+б!) — п(0 п(1=40) — п(1=30) Л (1=30)— л !с+а!) — л(с) л(1=40) — л(!=30) 4 — 2 м (с) ас З!1=30) 1О 6.10 с -1-с +...+с, 35+32-1-21+33+36+!2+96 7 7 с=с =48 ч. Точность результатов невелика.
Она увеличивается с увеличением числа Мо. Для определения точности и надежности оценок следует воспользоваться методами математической статистики (см. гл.4). 9.2. Интенсивность отказов элемента определяется выражением ! 1Д!00 — с), 0(1(!00 ч, Л(с) =! (О, О, У ) 100 ч. Определить: !) вероятность безотказной работы элемента в интервале времени 0 — 1О ч; 2) среднее время безотказной работы элемента; 3) плотность вероятности отказов. Решение. Для вычисления требуемых показателей надежности воспользуемся формулами, приведенными в табл. 9 1, и выражением (9.5). с с лесе= х[ — !хс се*)=-х( — С вЂ” 'с*)= .С 100 — с о о 100 — С) 100 — С При ! = 10 ч имеем Р (! = 10) = (100 — 10)!100 = 0,9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
