Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 36
Текст из файла (страница 36)
8.8. Получить выражение спектральной плотности стационарной последовательности неперекрывающихся импульсов постоянной амплитуды А = А, и постоянной длительности т = т„если временной интервал между началами соседних импульсов д ) т, изменяется случайно и независимо от импульса к импульсу. Рассмотреть частный случай прямоугольных импульсов. Решение. Применительно к данному примеру формула (8.42) принимает вид 8 (в) = — '1Рт (в. то)!' Ао я ! — ! соо )в) [я Аоя + —," Р[ (О, т,) 2пй (в).
(8.71) иое 1) вс (в) 1' яос Для прямоугольного импульса здесь нужно положить Р,(в, т,)= — (1 — е — ( "), ) (со 4 . я(вто) 1 Р, (в, со) 1 = —, з) п )1 — (), Рл (О, то) = се . Тогда получим Я(в)= о з!пя' о' — ! ' о о' 2„8(в) (872) 4А', . я( сото ) ! — 16(в)!о ( Аото Л' в'иоа )Л В () )1 — В!в)!' ~ ва 8.9. Из нормального стационарного процесса $(!) с нулевым средним значением и корреляционной функцией В;тт(т) берутся периодически (с периодом до) отсчеты $ « — (4) ), с = О, 1, 2, ... Эти отсчеты при помощи нелинейной ступенчатой функции ь«) =' = й[$«)1 подвергаются квантованию на четыре уровня = 1, 2, 3, 4, причем пороги квантования равны $т, $я = О, са (рис.
8.10). Функция д($) предполагается нечетной, т. е, дД) = = — д( — $). Получающаяся случайная последовательность значений Ь" превращается (кодируется) в последовательность прямоугольных импульсов фиксированной длительности т, (до со случайными амплитудами ь . Вычислить спектральную плотность импульсной последовательности Ч«), полученной из случайного процесса 8«) при помощи квантования по времени и по уровням. Рнс.' 8,9, Периодическая функ- и цня () т т 23! «/г/-~Фу/) г/г/ Рис. 8.10. Квантование случайного процесса $ (!) по времени н по уровням 0 8ч(в)= — )Р„(в, т,)«*Рг ~~~~ гс(ай,)е/ 'оо= а.
о [аю(вто/~11 Х Н (пб )е/олог !г, г вте/2 (8.73) где йй(т) — корреляционная функция процесса ь(1). Здесь учтено, что для прямоугольного импульса единичной высоты и длительо"=ги то «Р,(,;И*= ~~ ""'"'"' ]'. вто/2 Решение «1!. К данноагу примеру применима формула (8.46). При этом получение импульсного процесса 21(!) целесообразно рассматривать в обратном порядке, а именно, как периодическое (с периодом Юо) временное стробирование прямоугольными импульсами длнтелЬ- ностью т, процесса Ь(!), полученного из исходного процесса $(!) при помощи нелинейного преобразования д($(1)). Так как среднее значение процесса $(!) равно нулю и функция йг($) нечетная, то среднее значение процесса ь(1), очевидно, тоже равно нулю, т. е. тр = О.
Поэтому формула (8.46) упрощается: (8.75) Лля определения спектральной плотности 5и (в) остается вычи. слить корреляционную функцию процесса ь(!). Анализируя нели- нейное безынерционное преобразование дЯ) известными методами, можно помазать (см.
пример 12.6), что а 12 Ф г (т)= ! '))~~ ~ У Л„с)!'" [с" )~ '! 1, (8.74) а=- ! в=,! где Ф!"г(х) — производные от интеграла вероятности; Ь =Ь+ — Ь, п2=1,2,3. Подставив (8.74) в (8 37), получим окончательно 5ч(го) =- О!— т', Г мп(вто/2! е' оХ до [ вто/2 "2 [х"-""( — '.")] 8.10. Вычислить спектральную плотность стационарной после- довательности неперекрывающихся импульсов при односторонней модуляции их по длительности (рис. 8.4, в).
Амплитуда импульсов фиксирована (А, = А, = соп51), импульсы следуют периодически через интервал 0„а длительности импульсов случайны и независи- мы. Рассмотреть случай прямоугольных импульсов в равномерным распределением длительностей ~1/2то «т — то)~(то(бег (8.76) 2Ь0 «т — го «) то. Решение. Следует воспользоваться формулой (8.53). Лля прямо- угольного импульса с учетом (8.76) можем написать Рг(в, т)= — (1 — е !ог), ! /в яч ! Г 1 М(Рг(в.
т))= — ) Рг( т) г/ = (1 — 2/ожо е — Мог.) 2 го 2в' то о [ готе М ««Рг(в, т) «) — 1 — сов вто~ . вто ,Подставив эти выражения в (8.53), получим 2плее Г а!и' вс, вц вте (вне) (вто) вто ЗЗЗ 8.11. Найти спектральную плотность стационарной последовательности неперекрывающихся импульсов при двухсторонней модуляции их по длительности (рис. 8.4, г). Будем считать, что амплитуда импульсов постоянна (А, = Ао = соп51), интервал времени между срединами любых двух соседних импульсов постоянен и равен бв а длительности импульсов случайны и независимы.
Выполнить вычисления для импульсов прямоугольной формы, когда их длительности распределены по нормальному закону: р (т) ехр ! !т — т»1 ), о (( — » (8 77) Решение. В данном случае нужно воспользоваться формулами (8.54). Для прямоугольного импульса находим Р, (в, т) =- — (1 — е-/в'), Р,(в, т) е/"'/о = — мп 1 2 вт /в в 2 !Ре(в, т) !о = — (1 — Спзвт). 2 Воспользовавшись при статистическом осреднении с плотностью вероятности (8.77) известным интегралом »» ) е-В"'соз Голе(х = — р — ехр ~ — — ), Йе(3) О, 2 !»/ в '1 45 ) получим М(Р,(в т)е/о»Го) 51п ' ехр ( ново) в 2 1, а М(1Р,(в, т) ! ) = — ~! — соз втеехр~ — — о в /!!.
2 Г / ! е о»1 » Подстановка этих соотношений в формулы (8.54) дает выражение для спектральной плотности независимых прямоугольных импульсов при двухсторонней модуляции их по длительности 5,(в)=2пАо(' —,' )'[ ""'."" ~' хр(- —,' " ') 8,(а)= ~1 — ехр~ — — о в) — 2ехр~ — — и а)5!п — 11. 2А~ »Г / ! вт, 1 а' 41„~ 4 ) 2 1 Результаты вычислений для прямоугольных и гауссовских импульсов при разных распределениях длительностей приведены в табл. 8.6 (51!.
8.12. Найти спектральную плотность стационарной последовательности модулирующих импульсов постоянной амплитуды (Ае = = А, = соп»1) при двусторонней модуляции длительности импульсов (рис. 8.4, д). Предполагается, что длительности импульсов те и смещения е, моментов их появления относительно тактового интервала б, независимы для любых пар импульсов, причем 0 ( т, + + е, ( б, (отсутствие перекрывания). Рассмотреть частный случай прямоугольных импульсов, у которых смещения и длительности независимы и распределены равномерно в интервале (О, бо/2), т.е. р,(т) = 1/т„, р,(е) = 1/ео, т, = е, = бо/2. (8 78) Решение. Применительно к сформулированному примеру спектральная плотность определяется формулой ~а Я(в) = — ' ~М (! Р (в, т) !5) — ! М (Р (в, т) е/в ) !о -1- в» »» +!М(Р;(а т)е/в.)!е ~~ б(в — — ), (8.79) и» о ~ бо)' где Ро(х) — функция, комплексно-сопряженная Р(х).
Если длительности т, и смещения ед независимы не только для любых разных (1' Ф й) импульсов, но и для одного и того же импульса (т. е. при 1 = й), то формула (8.79) упрощается: л1 ~ В (а) =- — ~М (! Ре (в, т) !5) — ! М (Р! (в, т)) Ве (оо) ! + Во »» ->~м!»(ь,.не.~ ~~ — '" т»1, '~ф (»»»> где Ве !и) = М(ехр(/ве)) — характеристическая функция смеще- ния е.
Для прямоугольного импульса с учетом (8.78) можем написать Р» (в т) (е/и» 1) !в е» М(Р;(в, т)) = — ~ Р! (а, т) е(т = — (1+/вто — е'"Ч, 1 1' * ! то в' т» о е 2 Г ! 1М(Р»(в,т))! = — ~ 1 + — (вто) — со5 вто — вто 5!п ато 2 2 М (! Р, (в, т) ! ) = — (вто — 5гп вто) ° в'т, Зная плотность вероятности (8.78) для смещения, находим ха- рактеристическую функцию е ~е(в) ) е»/в= . (е/ ~ — 1) ! В~(в) ! = — (1 — со5во~) . 1 !» ! 2 "о /ве» (вео1 о Известно, что квадрат модуля произведения двух комплексных величин равен произведению квадратов модулей сомножителей, Если учесть, что т, = е, = Оо/2, и подставить записанные соотношения в 8.7.
Для прог!о!о !!улссоновского процесса У1О при !! ) 1, и целых положительных числах А и и получить выражение для вероягпости Р(У(/!) = й + п, У(/а) = /г). Ответ: Р(У(/!) =й+л, У(/а)=/с) =е-"' ъа+л 1' л!ы 8.8. Доказать, что математическое ожидание т,„и дисперсия О, времени !а появления й-го события в простом пуассоновском 'А потоке выражаются через математическое ожидание т, и дисперсию О, интервалов та между соседними событиями формулами т!а = = йт„Ог„—— йО,.
Ответ: /а — — ~ т„где (т!) — последовательность взаимно неза! ! вмсимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями т, и дисперсиями О,. 8.9. Вычислить вероятность наличия Л событий в полуинтервале (!, ! + т) для неоднородного пуассоновского потока с интенсивностью»(!) = то(1 + а 5!п а!) Ответ: Рь(т) = (чоТ)ке- вг/Л1, где г+« Т= "(1+аапа!)!(Г= т+ — "мпа('!+ — «151п — ат. а,~ 2 / 2 В частности, 2и»» ° / ! Х . ! Ро(т) =ехр ~ — »о т — — 5!п го~/ + — «~ 5!и — ат~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
