Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Частица совершает блуждания между точками, расположенными на одинаковых расстояниях друг от друга на окружности (общее число точек равно и). При этом в дискретные моменты времени 1= 1, 2, 3, ... с вероятностью р частица переходит в соседнюю точку в направлении по часовой стрелке и с вероятностью д — против часовой стрелки (р + д = 1). Если частица в начальный момент / = 0 находится в некотором состоянии д; (/ = 1, п) и на первом шаге по. падает в состояние дом (или д;,), то говорят, что она совершает полный цикл блужданий, если в состояние д! она впервые вернется иэ состояния до, (или дыи). Очевидно, что за полный цикл блужданий частица побывает во всех промежуточных состояниях, Требуется определить вероятность Р, совершения полного цикла блужданий.

Ответ [481: Ро = (р д)(ро + длИрл дл) У к а з а н и е. Можно воспользоваться известными результа. тами решения задачи о случайных блужданиях между поглошающими экранами [451. 7.7. Вычислить корреляционную функцию и спектральную плоФ- ность квазислучайного телеграфного сигнала 9(/), принимающего два значения д, = до и д, = — д, с одинаковыми вероятностями р, †.

— р, =- !/2, причем смена значений с вероятностями перехода п„ = пм = д возможна только в фиксированные моменты времени /„= Л ~ пТ„где Т, = сопз1, и = О, 1, 2, ..., Л вЂ” случайная величина, не зависящая от 9(/) и равномерно распределенная на отрезке [О, Т,1 (рис. 7.7). Рассмотреть частный случай д = 0,5. Ответ [451: Яи (т)= до (п ~(р д)о + до о~ ! ! (п 1)) (р д)„ 7.8: Вычислить корреляционную функцию и спектральную плот- ность радиосигнала со случайной начальной фазой при наличии до. полнительной фазовой манипуляции квазислучайным телеграфным сигналом 0(1): з (/) = Аосоз[еоо1+ 9(/) + ф,!.

Здесь 0 (1) — ква. зислучайный телеграфный сигнал, описанный в задаче 7.7, фо— случайная начальная фаза, не зависящая от 0 (/) н равномерно рас. пределенная на отрезке ! — и, п[. Выяснить отличие в характере спектров при д, = и/2 и д, = и. Оигвет [451: /7,(т) = (Аоо/2)[созодо + / (!т!) э[подо[сои о!от, где /~(!т!) = (р — д)"'~1+29(т — — ~], тТ,~<с<(т+1)То, 7о / т=0,1,2,..., 3о(со) =(и/2)Ао до [6(оу — о!о)+ 6(со+!по)!+(А[/4) Т, з)подох Х [ — .'о ( /'' 1 — (Р— д) /Мну )о 1 — 2!р — д) сои(ы — соо) То+(р — д)о ~ т / + (р д) / о!п т.!.

! — 2(Р— д)соо(ы+ооо) То+(р — д)' 1 у+ /1 у,=( ~- ц,)то/2. При до = и/2 спектр является сплошным, а при д, = и — чисто дискретным. 7.9.,1айти безусловную вероятность р/(т), т = / — 1„, числа появлений / некоторого случайною события в полуинтервале [/„1). Случайный процесс 9(/) является дискретным, однородным, прини- мает только целочисленные значения О, 1, 2, ..., /, ... и может лишь 197 р=1 — д, (п — 1)То<[т[<пТ, п=1, 2, 3...,; Юв (оу) = 2 ~ /7е (т) соз оотг/т = о до То ! ! — (Р— д)'1 /а)п ыТо/2)о 1 — 2(р — д)сооооТо+(р — д)'1 ыТо/2 / -г)г Рис 7.7 Киааислучайный теле. графныи сипгал Рис.

7.8. Пуассоноиский процесс возрастать (рис. 7.8). Начальная вероятность и вероятности перехода заданы: ~ 1 при /=О, Ро =Р,(/о) = [0 при/=1, 2, .-, [о при 1)/, и, (/, 1+ЛГ)= ~ [ )ОЛС+о(Л/) при с=/ — 1. 1+ Л1) = ! — ) Л1 — о (Л/) Рассмотреть также случай неоднородного процесса, когда интенсивность перехода из состояния / — 1 в / зависит от времени, т.е. и, 2, (й 1 + Л/) = )с(1)Л/ + о(Л!). Ответ [461: вероятности р, определяются законом Пуассона: р (.1) е — 2 (Лс) — 2.2 1! /=О, 1, 2, ..., т=с го 2 1 О ( — ) ОООО ), 2'-О, 1, 2.... 1! 7А2.

Пусть 0 (1) — марковский процесс рождения, для которо- го справедливы следующие соотношения: Р (событие наступит в (й 1+ Л/)[0(1) нечетно) =- ХОЛ(+ о(Л(), Р (событие наступит в (й Е+ Л/)[8(/) четно) = [соЛ1+ о(Л/). Найти следующие вероятности: р,(!) = Р(0(1) иечетно), Р,Я = Р(0(1) четно). Отвело [47): рс(/) = ' (1 — е-1л +л2и), л,+л ро(/) = л' + ' е-сл +2'и. Л,+Л, Лс+Ло 7.10. Вычислить вероятность р1(1), а также математическое ожидание и дисперсию для линейного процесса рождения 8(1), заданного следующими условиями: 0 (0) = 1, п1 ) ы (й 1+ Л/) = = л/Л/ + о (Л!), / = 1, 2, 3, ..., 1) О, где )с = сопз[. Ответ: Р1(/) = е-"'(1 — е — м)1 ', / = 1, 2, 3, ..., то (1) = = ем, Ое = ел2(елс — 1).

У к а з а н н е: Такой ответ можно получить из результатов,- (7.70) — (7.72) примера 7.4, положив )с = О. 7.11. Вычислить вероятность р„(1), если начальное значение процесса рождения 0 (1), заданного в задаче 7.10, равно 0(0) = = т(а. (л — 1)! Ответ [35[; Ро(/) = ' е — м(1 — е — ы)"— (л2- 1)1 (л — лс)1 У к и з а н и е: Вывести и решить дифференциальные уравнения 2(Р (1)/2(1 = — Л Рс(1) + )Ооро(/), ЛР2(1)ы/ = Лср (1) — л .(!).

7.13. При тех же условиях, что и в задаче 7.12, найти математическое ожидание процесса 0(1). Ответ: М(0(1))= ' ' /+ ( ' ') ' (ехр[ — (Х,+Х,)/[ — 1). 7.14. Найти вероятность р„(1), а также математическое ожидание и дисперсию для линейного процесса гибели, заданного следующими условиями: р)2 = Р (О (0) = Л/) = 1, р/ = 0 при /'< Л/, ...(й 1+ Л/) = [с/Л( + (Л/), / = Л/, Л/ — 1„..., О. ОтВЕт: р (/) = Š— лт (1 — Е-ис) 22 — о М л1(Ф вЂ” л)! то (/) = Л/е — л2 Оо (/) = Лсе - лс ( 1 е2 2) 7.15.

Используя тот факт, что марковский процесс остается марковским и в обратном направлении, показать, что вероятностные характеристики процесса гибели можно получить из соответствующих свойств процесса рождения. У к а з а н и е. Следует воспользоваться равенством Р(0(/+ )= с[0(1) =/)Р(0(/) =/) = = Р(0(1) =/[6(!+с) = 2)Р(8 (1+ т) = 1).

7.16. Требуется вычислить корреляционную функцию н спектральную плотность радиосигнала со случайной начальной фазой при наличии дополнительной фазовой манипуляции случайным телеграфным сигналом: в(!) = А,со~[~ 1 + О(1) + со [. Здесь соо — случайная начальная фаза, равномерно распределенная в интервале ( — и, и), 8(!) — не зависящий от2ро стационарный симметричный телеграфный сигнал (см.

рис. 7.5), принимающий лишь два значения ~6о, 0 л Фо(п с вероятностями р, = р = 1/2; вероятности перехода заданы выражениями п22(т) = поо(т) = (1 + е 2"')/2, псо (т) = Осм (т) = (1 е-олс)/2 Ответ: /7.(т) = (Ао/2)[соз'6, + ехр( — а[с[)сбп'6,) созо2 в о.(со) = (аА1/2) [6 (со — осо)+ 6(ос+ соо)) соз'Фо +Аоо)сз!и'6, Х х [ 1 1 4ЛО+(О2 — ООО)2 4ЛО+(и+ОООВ 1 ' Рнс. 7,9. Импульсный случайный пронес« с тремя знзченнямн ФЮ >йг»«е |й а, = Л |Ля| + Ъ,Л в + Л»,Л„«, сев = Лч«Ъзв + Ъ,зЛзз + ЪиЪ»„ сев = ЪиЪи + Ъ|зЪ|з + Лв>Ъ|в Хе — з«>с> Х 200 В общем случае спектр является дискретно-сплошным.

В частном случае Ое = и/2 спектр будет сплошным, а при О, = и — дискретным. 7.17. Импульсный случайный процесс 0(1) принимает три значения: О, = 0|ь О, = — О, и Юз = О (рис. 7.9). Заданы одношаговые вероятности перехода за малое время >[1: Ъ|в>~~( | Ов)' Л|з|Л[[0| 03)«Ъ«вс.~~(бз ь 0»)« Лв>МО«-»О|). Лз>И (Оз — » д,), Лзз«Л((0» — «О,). Нужно найти: 1) вероятности стационарных значений, 2) корреляционную функцию процесса 0(1) в стационарном состоянии.

Ответ [49[: 1) р, = ас[йсй„рв = ав[й>й„рз = аз[йсйв, где й| з = (1/2)(Ъ~» + Ъы + Лз| + Л|з + Лвз + 1'зв) |Р ~ [(1/4)(Ъ|в + 1"ы + "з| + Лчз + Лез+ Лзв)'— (Ъ Л -[- Л |Л + Ъ Л + Л Л в + Ъ| Лвз +Л|«Л»|+Л »Л|. + + Л„Л|з + Л|»Лы)!'"; йсйв = ЪыЪ«>+Ля>Ъ«в+Ля>Л»з+Ъ|зйзз+Л|зЪ.»+1||«Лы+ЪыЪи + + Лв»Ъи + Ъ|»Ъг|' , (а, — ав)в — й, Ав (а,+ав)ЧФ» [сс| (2Л |в+ Ли)+ ав (2Л«г|- Лвз)1 2) )с«(т) =Ос Х й| й', (й,— й«) Х 1 Гг (а,— а,)в — й| йв(а, +ав)+й| [ас (2Л|в+Ли)+ав [2Л«|+ Ли)1 Х (сс,— ав)в — Ас Ав (а, + аз) +аз [а, (2Л|, +Л|з) + ав (2Лы+ Лвз)1 Хе |"' з'» с>) 7.18.

Из ответа к задаче 7.17 получить результаты примера 7.3. Ответ: нужно положить рй = Р(0(1,) = 0») = О, Ли = Л =-О, Л,+Л„=1,0,= — О,= 1. При этом й, =!,й,=Л„+Лы, 4Л,»Л«, а, = Л|ы а, = Лз,, а, = О и )7 (т) = +' ",ехр ! — (Л„+ Лы) [т[!. ( |в в| ' 7.19. Рассмотреть следующие три частных случая задачи 7.17: 1) Ъи=Ъы=Ъ«Лы="зз=р" Ли=Ли=р' 2)Л|«=Л«|=Л, Лв»=Лев=[с, Лз>=Ъ|з=р; 3) Ли = Лы = О, Л„ = Ли = р, Ъ„ = Ъ„ = [. Ответ: 1) р,= р, =[с((2[с+ р), р,= р/(2[| +р), )ч(т) =Оо —" ехр [ — (2Л+р)! в[1; 2>с -[-р 2) р,=р,= рв=![3, )ч(т) = Оо [(2Ъ+р— з[й — й> — й)е-з "| — (2Л+р — й,) е-" |'|[; 3) р|= рв рз, )7(т) =Оо — е — о|«| 2>с р в 2 2>с-[-р 2р+р 2>с+р 7.20.

Получить выражения плотности вероятности и ковариа- ционной функции стационарного импульсного случайного процесса 0 (1), заданного следующим образом. Процесс 0(1) представляет со- бой стационарную последовательность прямоугольных импульсов, амплитуды которых взаимно независимы и одинаково распределены с плотностью вероятности р(0) (рис. 7.10). «Интенсивность» пере- хода из нулевого состояния в любое отличное от нуля состояние рав- на [с, а интенсивность обратного перехода равна Л. Ответ: ре(0) = 6(0) + р(0), Л+и >с+ Л где 6(х) — дельта-функция; йн(т)=- Ое и е — ""с>+тн! Р 1 [ е-сл+н>|ч ~ где |пз =- ) Ор(0)с(0, Ое = ) (Π— тз)'р(0)с[0 У к а з а н и е: Следует учесть, что вероятности переходов про- цесса 0 (1) совпадают с вероятностями переходов дискретного мар- Рнс, 7,10, Импульсный случайный про- песс °овского процесса с двумя состояниями, а длительности импульсов я интервалов между ними распределены по экспоиеициальному закону с параметрами )в и р соответственно.

7 21 Пусть последовательность случайных величин ()1„) предсгавляет собой временные отсчеты гауссовского стационарного про. цесса $(1) с зкспоненциальной ковариациониой функцией й(ч) =Е7ехр( — а[т[), а)0, т. е. )а„=$(1,+1„),п=1,2, ..., где 1,— произвольно взятый начальный момент времени. Убедиться, по полученная последовательность (2,„) является марковской. Ответ дает следующая теорема [5): гауссовский случайный процесс будет одновременно и марковским тогда и только тогда, когда при з < 1 - т коэффициент корреляции процесса г(1„1,) удовлетворяет функциональному соотношению г(з, 1)г(1, т) = г(в, т).

Лля гауссовского стационарного процесса с экспоненциальной ковариациоиной функцией это соотношение выполняется. 7.22. Независимые случайные величины 3„) „..., )а„, ... имеют соответственно плотности вероятности р (2.„) = р„()а). Г(оказать, что случайные величины Х, = )о Хв = Хв + )1„..., Х„= )вв + + 2.4 + ... + Х„, ... образуют марковскую последовательность. Ответ: п„(х„[х„х„..., х„в)= ' ' "'' = р(х„- х„,).

р(х„х„.... х„! р !хв, х„..., х„в) 7.23. Из независимых случайных величин )вв, Х„..., )в„, ... образованы новые случайные величины Х, = )4„Х„+ сХ„, = = )в„, и ) 2, с = сопз1. Показать, что последовательность (Х„) является марковской. Ответ: п„(х„[х„хв, ..., х„,) = р (х„— сх, 4). 7.24. Вычислить корреляционную функцию и спектральную плотность радиосигнала с разрывной фазой вида в (1) = = А, соз [аваЕ + 8(1) + 42а). Вотличие от задачи 7.8 здесь значения б! есть непрерывные случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [ — и, и), причем 0; и 6!при!~(независимы.

Характеристики

Список файлов книги