Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 28
Текст из файла (страница 28)
сительно 86 т. е. 1)гп!а (ДО/Д![ О [45[. э! о Так как вероятности перехода нз одного значения в другое неатрица. тельны (пьс(1) > 0) и для иих должно выполнятьси уоновие норинровкя (7.!9), то йз (7.22) получаем пьь(1) — ~~~', пьс(1) ~ О, аз! (1) > О. (7.23) ! (!оою 181 Подставив(7.22) в правую часть уравнения (7.21) н перейдя к пределу при 61 О, получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений: д лссссо. 1) = ~у пьс(1)пса(со, с' 1 ° ! ! К д! (7.24) ь=! где аьс(1) удовлетворяют соотношению (7.23). Решение втой системы при на.
чальнйх условиях (7.20) дает зависимость вероятностей перехода от времени у. 17. 25) нлв, иначе, д д — Р (Л, С)+ — 6(Л, 1) =О, дс дЛ (7.34) ~р„р, = О, ~'„р,=1 о о (7. 30) (7.31! Дискретный марковский процесс остается марковским н в обратном на правлении, т. е. наряду с уравнениями (7.24), часта нззываемыми «прямы мн», справедливы также «обратные» уравнения — с«)с(сю 1)= — 'у~ асано)2«ос Но 1) с) со ° дсо о=! Уравнениям (7.24) удовлетноряют ие толька вероятности перехода, на н безусловные вероятнастн значений рс (1)с Р;(1) ~~' пюви) Рь И). (7.26) о Этн дифференциальные уравнения нужна ннтегриравать прн начальных условиях Рс(1) РС(1») Р[ ПРн С = Со.
(7.27) Дискретный марковский процесс называется однородным, если вераятнастн перехода псс (сю, с) зависят только от разности т = с — со: псс (со 0 = псс(т) т с — 1». (7.28) Нз (7.22) следует, что для однороднога процесса аь)(1) = аь) постоянные величины н дифференциальные уравнення (7.24) упрощаютсяс д пш(т) = Тпь)пс т) ° (7.29) дт Если при т -» оо существуют предельные значения вероятностей перехода р) = )пп пы(т), которые не завнсят от начального состояния, та март-~ ковский процесс можно назвать стационарным.
Вероятности стационарных значений определяются системой алгебраических уравнений З..Марковские последовательности. Пусть случайные величины Л„ = Л(1„) В НЕКОтарЫЕ дНСКротНЫЕ МОМЕНТЫ ВрЕМЕНН 12 < 1, « ... 1ч « ... СМ принимают непрерывное множество возможны» значений (см. табл, 7.1). Определяющее свойство марковской последовательности (Л„, л = 1, Лс) состоит в том, что совместнан плотность вероятностн рассматриваемых слу. чайных величин выражается через плотность вероятности начального состояния р»(Л») н плотности вероятности перехода л„(Л„! Л„»), л=2, ЛС: л Р()"1 )'2 ' Ло) Р«(Л1) П и( и] и 2)' Укажем некоторые свойства марковских последовательностей: 1) если точна известно значение марковской последовательности в настоящий момент времени, то ее будущее значение не зависит ог предыдущего значения; 2) лю.
бая последовательность, взятая нз марковской, является также марковской; 3) марковская последовательность остается марковской и в обратном направлении; 4) плотность нероятностн перехода удовлетворяет уравнению ц [Ло [ Лм) с) л (Лл) Ло») 22 (Лоъ]Л )дЛ»», л ~ сл ) Р (7'32) Марковская последовательность называется однородной, если плотности вероятности перехода л„(Л„[ Лл ,) не зависят от л. Марковская поспелова. тельность называется стационарной, если она однородно н все случайные величины Л(л) нмеют одну н ту же плоткость вероятности: р (Л„) = сапа!(л). 4.
Непрерывноэначный марковский процесс. Область значений непре. гывнозначного процесса л (1) н область его определении[О, 7'] есть непрерывные множества. Лля непрерывнозначнога марковского процесса днффузненного типа плотность вероятности перехода л (Л, 1 [ Ло, 1») Р )Л(1)] Л (Со)) н безусловная плотность вероятности р (Л, 1) удовлетворяют уравненйю в частных производных Фоккера — Планка — Колмогорова, которое применительно к плотности вероятности р (Л, 1) имеет вид д д 1 ов д) ' дЛ ' ' 2 дЛ» — Р (Л, С) - — — [а (Л, 1) Р (Л, С)]+ — — [Ь (Л, С) Р (Л, 1)] П.ЗЗ! 1 д 6(Л, 1)=а(Л НР(Л, С) — — — [Ь(Л, 1)р(Л, С)], (7,35) 2 дЛ «Коэффнцненты» сноса а (Л, 1) н диффузия Ь (Л, 1) определяются по исход ному стохастнческому дифференциальному уравнению, опнсывающему по.
ведение рассматриваемой системы, фармуламн 1 а(Л, С) = 1!п) — М([Л (1+бс) — Л(1)] ! Л (1)!» (7.3б) зс о С)1 Ь(Л,С)- Пш — МОЛ[1+С)1) — Л(1)[2[Л 1)3>О. (737) 1 ЭС.»О С!С Если стахастнческае дифференциальное уравненне имеет внд дЛСЗС-)(Л, 1)+ й(Л. 1) л(1), Л(1,)= Лю П.ЗЗ) где с(л,с) н я (Л,1) — детерминированные функцнн своих аргументов, и (1) — гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием н корреляционной функцией Мсл(12) л(12)) = (!/2)дсоб(12 — 12) (7.39) то коэффициенты сноса н диффузии раины дЬ(Л, 1) а(Л, 1)=](Л, 1)+ — ° Ь(Л 0 Лгояо(Л 1) (7 40) 4 дЛ ' ' 2 Коэффициент сноса а (Л, 1) характеризует среднее значение локальной скоростн марковского процесса Л (1), а коэффициент диффузии Ь (Л, 1) — локальную скорость изменения днсперснн прнращення.
Если плотность вероятности перехода зависит лншь от разности временных аргументов т 1 — 1», а коэффициенты а и Ь не зависят от 1 и 1», то рассматряваемый про. цесс Л (1) называется однородным во времени.. Прн начальном условии р(Л, со) = рю (Л) 6(Л вЂ” Лю) безусловная платность вероятности р(Л,С)- совпадает с плотностью вероятности перехода м (Л, 1] Ло, со). Прн этом решение уравнения (7.33) называется фундаментальным ешением. Е ля отыскания решения уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова [7.33) необходима задать начальное условне Р(Л 1«! Ро(Л) (7.41) 182 А (г) Ю' др <? Рис, 7.2. Поглошающие границы <»! <+ -1 <"> «<х , (7 .48) ч <»> (х+ -1 <»' «<х, (7.49) где Г а(х) ф <х) = 2 ) — «<х 3 ь(х) (7.50) (7.43) 6 (с, <) = 6 («<, <) = О. — ) — вч<з! «<у Г 1 3 ьу) (7.51) (7.44] р (с, <) = р (к<, <) = О ! «<2 Т, «<Т> — Л<Л ) +п(лл' +1=0.
2 «<Л>>> «0„, (7.45) (7. 46) с 1 4 1' 7(х) ры <Л) = — ехр — — пх 8(Л) ~ Л>2 ~ уз(х) (7.53) 185 184 и указать граничные условия. Граничные условия могут быть весьма равно- образными н определяются существом физической задачи. Приведем здесь три вида граничных условий. Если случайный процесс Х(0 может принимать всевозможные значения от — о> до +со, та обычно выполняются нулевые граничные условия 6 ( — ко, Г) б (со, <) О, р ( — са, <) р (оа, <) О.
(?.42) Пусть случайный процесс Л (<) может принимать значения лишь в ограниченном интервале (с, «<), причем в точках с и «( помещены отражающие границы (экраны): траектория процесса, достигшая этих экранов, зеркально отражается ат них. В этом случае должны выполняться условия отражающих границ: Предположим теперь, что в граничных точках с, «< расположены поглощающие экраны: траектория, достигшая границы, поглощается ею и исключается из дальнейшего рассмотрения. Условие поглощающих границ (экранов) имеет вид При наличии поглощающих границ можно интересоваться вероятностыб поглощения па одной илн обеих границах за некоторое время <.
Поскольку аналитическое решение такой задачи оказывается сложным, то при отражающих или поглошающих границах часто ограничиваются вычислением характеристик (моментов) случайного времени Т, по истечении которого траектория процесса, исходящая прн < = 0 из некоторой точки Лз, заключенной внутри границ (с ~ Л, ~ «О, впервые достигнет границ с, «< (рис. 7.2). Лля однородного во времени диффузионного процесса математическое о>кндание Т> = 84 <Т! и дисперсия 0 = 0 <Т! случайного времени Т первого достижения гранвц определяютсн обыкновенными дифференциальными уравненнямн Понтрягвна 1 «Г>0 80 / «<Т !2 (Л«) +и Лз) + Ь <Л~) ~ ) — О ЛЛ>, ',й, '~ЛЛ„)- Решении этих уравнений должны быть неотрицательными: Т,(с, Лз, «<) м О, 0 (с, Лз, «<) > 0 н при поглошающих границах с, «< должны удовлетворять условиям Т,<с, с, «О =- Т, <с, «<, «0 = О, 0 (с, с, «О = 0 (с, «<, «0 О.
(7.47) При таких граничных условиях решения уравнений (7.45) н (7.46) даются выражениями л к Л 1 к, >,. к,. «, = [) .— * «.) — л * л ~; ° Л (2) Л. о с к л л ! ~ ""' — "-.~ ""Р" ,'ь(.) > с с л >., 0(с,лл, «(> 2 [ е есюлх [~ Г? ЛТ><з> .) ев '*> «<т ) К<2 Л « с « л в<к>«<Х~~ 2 ) 9<2) у — 2<»> < ) -Е >.« Хк л л — > и к = 2е в<к) ) е в<ко«<х ) е в < ) «<х ) — ее<") «<у— к « л В заключение укажем, чта для одномерного л>арковскога процесса во многих случаях просто находится стационарная плотность вероятности р,> (Л) = !пп р (Л, <), если она существует.
Поскольку она не зависит от времени, то из (7.34) следует что у (ь (л) р„<л)) к<Л вЂ” 2а(Л) р«, (Л) = — 26. Общее решение этого уравнения известно !45!. При нулевых граничных условиях (б = 0) оно дается выражением С ! Г а(х) р,< <Л) — ехр 2 ) — «<х (7.52> ь(Л) ~ ь(х) где С вЂ” произвольная постоянная, определнемая нз условия нормировки плотности вероятности, Х« — произиольнан точка интервала, в котором определен процесс Л (<). Применительно к стохастическому дифференциальному уравнению (7.38), для которого коэффициенты сноса и диффузии определены формулой (7.40)„ решение принимает вид 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
