Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 25
Текст из файла (страница 25)
л Отвегл: ес (т) = ччч — ' А,"„, сов!о т, '=- ! а 5(о!) — — и ~' — А ![6(се+(о,) +6(а! — е!!)) != ! 6.13. Определить корреляционную функцию )с(т) и спектральную плотность 5 (со) случайного сигнала з(1) = ~' А,тйп(а!!1+ср,), — — оо<1(оо, = ! гле «!! — постоянная угловая частота; А„„ ..., А „„ !р„ ..., ср„— взаимно независимые случайные амплитуды и начальные фазы. Пред. полагается, что средние квадраты М(А'!) случайных амплитуд А, известны, а начальные фазь! !р, распределены равномерно на интервале ( — л, и) и Ответ: )с (т) = ра — М (А;;„) соз а!, т, ~ч ! 2 и 5(ы) = и з' — М (А";) [6 (а! +о!!) + 6(га — е!,.)), лы 2 6.14.
Найти спектральную плотность 51,(а!) стационарного случайного процесса $(1), корреляционная функция которого равна (сй(т) = а)ехр( — !хата). о( р л а)! Ответ: 5-„„(са) —. ' ' ехр ( —— Я !ае !' 6.16. Определить спектральную плотность стационарного слу чайного процесса $ (1) с корреляционной функцией 6.16. Решить задачу 6.16 для процесса $(1) с корреляционной функцией и )Сй (т) =- ~ П!а СОЗ а! т. Ответ: 5.„(м) = и ~ и! [6(а!+ се!) +6(ы -са,)). '= ! 6.17. Показать, что физическая спектральная плотность 5([) сигнала у которого случайны лишь фазы грь причем у, и Ч~«при ! Ф й независимы и равномерно распределены на интервале ( — и, и).
равна » 5 Д) = — ~~' А';6(г' — Ц. »= ! 6.18. Найти физическую спектральную плотность случайного процесса $(!) = А проз(га»1 + ср), где п(г) — стационарный белый шум с корреляционной функцией ВЛт) = (л(»/2)6(т); А — постоянная амплитуда; р — случайная начальная фаза. равномерно распределенная на интервале ( — н, и). Ответ: 5ф) = й(»Ая(2.
6.19. Пусть стационарный гауссовский шум $ (1) имеет равномер- ную спектральную плотность в полосе шириной Р: (й( при 0(1( Р, 51(г) = ~ (О при Г(0, ~) Р. Доказать, что значения шума $(1) в моменты времени, отстоящие друг от друга ча величину Ы„= а/2Р, и = 1, 2, 3, ..., статистичес- ки независимы. Ответ: Корреляционная функция шума $(() равна г«4(т) = =й(Р (з(п 2пРт)/2пРт и обращается в нуль в точках т= ог„=п/2Р. 6.20. Показать, что для гауссовского стационарного шума $(!) с ограниченным, но неравномерным спектром вида 0 Ссоз 2п1С при 0(1(Р=- !!4С, 54()! = при )(О, )~Р, значения $ (1) в моменты времени, отстоящие друг от лруга на величину Л(„=2пС,. и =- 1, 2, 3, ..., зависимы.
Ответ: Из выражения для корреляционной функции Р»(т) = е еа» (пт/2С) = ~ 5» (!'') соз 2п)тгЦ следует, что !41 (Ы„) ~ О. 2п 1 — (пС!» 6.21. Случайный процесс г((1) представляет собой последовательность случайно чередующихся отрезков «элементарных» сигналов 5,(1) и $»(1), т.е. имеет вид «! (!) = (!(2)!! + з(г)!Б,(г) + (!(2)П вЂ” я(г)В,(1) Здесь $,(1) и $»(!) — стационарные и стационарно связанные случайные процессы, не зависящие от $(г); $(Г) — случайный двоичный сигнал, который в любой момент времени г может принимать одно из двух значений $ = 1 или $ = — 1 с одинаковыми вероятностями РД = 1) = Р($ = — 1) = 1/2, причем моменты скач- ков (перемен знака) распрелелены по закону Пуассона, т.
е. вероятностьь получения и скачков на временном интервале длительностью т определяется формулой р»(п)= (эт)" — ', п=О, 1, 2, ... ш Вычислить корреляционную функцию процесса г((г) при условии, что математические ожидания процессов $»(1) и з»(!) равны нулю, а их корреляционные и взаимные корреляпнонные функции известны и имеют вид )ГЫ (т) = А4 а (Г) В, ((+ т)), )~:, ( ) = М (~, (() ~, (1+.)), !«мь (г) = М ($, (1) й» (г' -1- т) ).
/ Ответ: Яч (т! = ( — ) ! 1 + !э (т) ! ! х(„(т) ! х» + (1!2) 11 — Р4 (т) ! й»,, и (т), где /Га(т) = е-«»~ 6.22. Определить корреляционную функцию й»(т) и одностороннюю спектральную плотность 5 Д) случайного сигнала в(г), отраженного от обьекта, движущегося с относительной скоростью У. Сигнал имеет вид »(!) = А соз!2пф, + 2УГХ„)! +»У), тле А„, Г» и )» — постоянные амплитуда, несущая частота и соответствующая этой частоте длина волны электромагнитных колебаний; ~р — случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале ( — и, и).
Относительно скорости У делается предположение, что она представляет собой случайную величину, равномерно распределенную на интервале ( — У„, У»), в соответствии с чем ее плотность распрелеления вероятностей имеет вид р,(У) = 1~2У», ! У((1~». Ответ: )г(т) =— А«»»!и (4пУ» «гх»! соз 2пго г' 2 4нк»«ГХ« 5а = — — ', !г — )о!( —. лл х» ау~ 2 4У» Хц 6.23. Решить задачу 6.22 для случая, котла $» У' Р~ (У) = —, ехр ~ Узая«(, зв(, » !62 б« !63 Ответ: Ао Г ! /4-,.~' 2 2 ~ Х, о(о- — луг —" * [- """ '" 1 - — ( —,) 6.24. Найти корреляционную функцию й (О т) колебания в(1) = А Е(Осов [оло/+(Р(О+ (Ро! где А и (оо — постоянные амплитуда и частота; (оо — случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале( — и, и); Е(/) и ф (/) — стационарные гауссовские случайные функции, медленно меняющиеся по сравнению с колебанием частоты (о и отображающие законы амплитудной и угловой модуляции процесса $ (/).
Ответ [14]: Ао /о(( т) м ре [М (Е (!) Е (г„(„. т) е /(о и+ч»» (и!) е (о»о] 2 6.25, Решить задачу 6.24 для случая амплитудной модуляции, т. е, при условии, что ([((/! = — 0 и Е (!) ! 0»п хм л 01, г. (О -» — ! (гп л м. О. л <О: — 1(тло( Клм !т) =- — тлоо( с[) ~~» — ! / ( ( ' ) ! (л (т) сов (оо т ~ т„ол )] где /(х! = = ехр ( — — х'), /(о( (х! = — /(х).
Г 2п При тлмсл<<! (отгутствие амплитудной перемодуляции) /л»лм (т) = (А„'/2)сов(оот + (Ал»/2)п(лмп]гл (т) сов (оот. При томах )) ! (сильная перемодуляция) Йло((т! = — "' тлл(сл х гл (т) = (ЛГ»((- ' ') о сов (оо т. (во Здесь тлм — постоянный коэффициент амплитудной модуляции, 1(/) — стационарный гауссовский случайный процесс с нуле-' вым математическим ожиданием и корреляционной функпией /(л (т)= = олгл(т).
Ответ (14]: 6.26. Решить задачу 6.24 для случая фазовой модуляции, т.е при условии, что Е(() = ! и ф(/) = МфмЦО, где Мом — по. стоянный коэффициент фазовой модуляции, Х (!) — стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функпией Ял(г) = п(гл(т). Ао„ Ответ !141: /л»ом (т) = — м ехр ( — Мфо( пл ! ! — гл (т)Ц сов(оо т.
6.27. Решить задачу 6.26 при условии, что ф(/) = М(Х(О + М»Хо(/). Ответ [!41: /тфм (т) = (А„'/2)(! + 4М»о~[! — гй (г)]) — ((о лг м ехр( — М*,о([! — гл(т)1(! + 4М'ол[! — г~(т)]))сов м,т. 6.28. Показать, что корреляционная функция У( (т) случайного сигнала в(/) = А,„сов [(о»/ + М омв!п О! + Ф (1)1, где А, го„Мфм и Я вЂ” постоянные величины; Ф(1) — стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функш(ей /тф(т) = поги(т), имеет вид й (т) = — А о 1о (2Мфм в!и — ) х (, / 0т Л 2 2 ) мехр( -офо[г.ь(0)- го (т)]) сов(о,т. Здесь 1,(х) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. 6.29.
Решить задачу 6.24 для случая частотной модуляции, т.е. при условии, что Е(1) = ! и '~'(/) =Мчм ) 1 (О([/ ° о Здесь Мчм — постоянная величина; Х(Π— стационарный гауссовский случайный пропесс с нулевым математическим ожиданием н корреляционной функцией /гл(т) = олгл(т). Ответ [14]: 6.30.
Решить задачу 6.29 для случая, когда корреляционная функпия /тл(т) модулирующего стационарного гауссовского шума равна: 1) /Ьь(т) = пхе-о(т(, 2) /[л(т) = плое-""*, 1йв Ответ % 1) Йчм(т) = — ехр 2 ,4 2) Ечм(т) = — ехр 2 +со[т[р'и <Ф (2х ! т1+ е-" гп — 1) соз во т: Лвчм в( ао М' О'2 чмл'! [е а*, 222 2 о' 2 ~ ~! — — <)< ! 6.31. Предположим, что задан узкополосный стационарный случайный процесс $(!) = Е4(() сов[во! + 2о4(Г)1, где Е!(!) и ч2!(!) — функции, медленно изменяющиеся но сравнению с колебанием частоты в, представляющие собой огибающую и мгновенную случайную фазу колебания $(!). КорреляГГионная функция процесса $(() имеет вид Щт) = о!г!(т) = о(рь(т)созвот.
Этот процесс подвергается смешанной амплитудно-угловой модуляции, в результате чего формируется колебание з(() = Е4(!)Е(!)соя[в,! + 2Р (!) + Ч24(!) !.. Здесь Е(!) нор(!) — медленно изменяющиеся функции, отображаю- щие законы амплитудной и угловой модуляции, статистически неза- висимые от $ (!). Определить корреляционную функцию (г(й т) колебания в(Г). Ответ [!41: Е(Г, т)=-оле [М(Е4(ОЕз((+т)е ~!о!о ьп '!~о!)х 2 х М [ Е (Г) Е (Г + т) е — ! ! о 22+2> — о ео!1 е-!" '1.
6,32. Решить задачу 6.31 для случая амплитудной модуляции, т.е. при условии, что 2[2(Г)= — О, а колебание Е(!), отображающее закон амплитудной модуляции, имеет вил Е(Г) =- 1 +гллм Л(!) Л(!) ) - 1/тлм, О, Л (Г) ~ 12тлм. Здесь Л(!) — стационарный гауссовский случайный процесс 'с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Ех(т) = о(гл(т). ПРеДполагаетсЯ, что начальнаЯ фаза Ч2о = 2(о(0) колебания $(Г) случайна и равномерно распределена на интервале ( — и, и). Ответ ]141: Елм (т) = )24(т)М(Е(!)Е(! + т)) При тлмол (( 1 (отсутствие перемодуляцни) Йлм (т) = [о(Р4(т) + тЛмо[о(Р4(т)гл(т)]сов вот.
Гве При тлмол )) 1 (сильная перемодуляция) ! ГГ и йлм (т) = — тлм о( ол ро (т) 41 ! — +агс з! и гл (т) ~ х 4 1,! 2 х ел (т) +[2' 1 — г((т)~ сов в, т. 6.33. Решить задачу 6.31 для случая фазовой модуляции, т. е. при условии, что Е(!) = 1, а колебание ф(!), отображающее закон фазовой модуляции, имеет вид ф(!) = МфмЛ(!) где Мфм — детерминированный коэффициент фазовой модуляции; Л(!) — стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией (сл(т) = = о(гх(т). Начальная фаза 42о = 2(о (0), как и в задаче 5.32, предполагается случайной и равномерно распределенной на интервале ( — и, и). Ответ [!4]: Яфм (т) — о! ро (т) ехр ( — МЪма( [1 — гх (т)]1 соя во т.
6.34. Решить задачу 6.3! для случая частотной модуляции, т.е. при условии, гго Е(() =— 1, а колебание ф(!), отображающее закон частотной модуляции, имеет вид ф(!) =Мчи ~Л(Г) Ж. о Здесь Мчм — постоянная величина, Л (!) — стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Ял(т) = о(гл(т). Предполагается, как и ранее, что начальная фаза Ч2о = — 2(о (0) колебания $(!) является случайной величиной, равномерно распределенной нз интервале ( — и, и). Ответ [!41: И Йчм(т) = о! Р! (т)ехр ~ — — Мчом о( ""гл (и — о)2(о2(и сов в, т. 6.35.
Определить корреляционную функцию ]глм(т) и одностороннюю (в ~ 0) спектральную плотность Ялм(в) амплитудно-модулированного сигнала з(!) = !А,„+ МлмЛ(!)!соз [во! + ч2(!)12 где А, Млм и в, — постоянные величины. Предполагается, что Л(Ф) и Ч2(!) — случайные процессы, заданные уравнениями: Г[Л(!)Ы( + аЛ(!) = п2(!), Г(2(2(Г'ГГ[! = по(Г). (6.55) Гвт Рис 6.10 Спектральная плопсость амплитулно - модулнроаанного сигнала с подааленной несущей Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
