Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 22
Текст из файла (страница 22)
5.23. Вычислить трехмерную момеитную функцию т,',,т,х (т,, т,) = М($и (С)й~(( + тг)с»о(! + т,)) для стационарного гауссовского случайного процесса $о (г) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией )71(т) = о.'г(т). Ответ [26): М (йп (С) й'(С-[- тт) Еол(с'+тт)) = г«(тс) гс (т ) 1'И (т — т ) =ОП ! ~ Ь ' ~„~ ~ ))Сп, «ЧС Д г.
«Ь о АС», С О1ч « = о с =. о ~о =о 11 11 ':.!. сп 5.24. Определить, при каких условиях случайный процесс с(С) = А,„сон(юо( + гр), где А, юо — неслучайные, стационарен и нестацпонарен. Ответ: Процесс $(!) стационарен, если случайная фаза гр равномерно распределена на интервале ( — и, ст).
В противном случае процесс $(!) иестационарен. 5.25. Случайные величины А и Ф независимы. Математическое ожидание и дисперсия первой из них равны соответственно тд = О и Од = о', вторая подчиняется закону равномерного распределения на интервале ( — и, и). Доказать, что случайный процесс 0(1) = Асов(юо ( + Ф) стационарен (юо — неслучайная величина). Ответ: Процесс с(!) стационарен в широком смысле, так как его математическое ожидание постоянно (тй — — 0),а корреляционная функция зависи~ только от разности т =- Са — (,: 1 Д1((1, Со)= — — о'сонма((т — 11) =Я1(т).
2 5.26. Показать, что случайный процесо является стационарным в широком смысле только в том случае, когда случайные величины Х и У взаимно не коррелированы и имеют нулевые математические ожидания т» = ту = О и равные дисперсии Р» = Оу = О. 5.27. Определить, при каких условиях случайный процесс где А„, юо — постоянные, п (1) — шум, стационарен в узком смысле Ответ: Процесс с(С) стапионарен, если стационарен шум и (() и случайная начальная фаза ср распределена равномерно в интервале ( — и, и). 6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ 1. ТКОРКТИИ5СКИИ СВИДКИИЯ Особа важную роль в теории случайных процессов $ (С) играют математическое ожидание (одначернан моментная функция первого порядка) [1, 6„14, 26, 27, 34 — 36, 41, 42) .,(О =,(с) = м($(с)) = ) 5р,(Н с)в5 н корреляционная функция (двумерная центральная моментная функция второго порядка) )сдлс,, с,)=пс",, (с,, с,)=и До(сг) то(с«))= [5 (с,) — ос . (с, ) ) [ - (со) — пс, (са)) Р, (йы 5,; 'к,, с,) ВЬ Л4 Ю = Кй (11, со) — ось (сг) тй (с«) .
Здесь К (с„с ) — ковариацианная функция, представляющая собой дву- 1 « мерную начальную моментную функпию: Кй (11, с«) = тс и (с., с.) = й((4 Ри 5 (с !)- (6.7) (6. 5) <сз (<1 гз) гй (<т гз) го,смб;а (6.9) (6.2а) (6.!0) (6 ба) (6.6а) а ! т„= — ~ ]р (т) !4<т ~<р(т)<ат. а [[6.11) <)7„<т) «<71 <О) = О,. 145 144 Для стационарных случайных процессов формулы (6.1) — (6.3) принимают внд; т,(О=М[й(<Ц= ]" ~Р,(4)Л4= ,.; <(. <г,, г,)=М(йч<а,) („К,), =- а а ] Б [<!) — тй] Б «з) — т(! Рз (ты, Ьз) 4з г<;.зК., (г,— г,) — шз = <<а <<,— <,); К: 03 гз) = М [В<<т) т <<з)] = ] ~ : <<,) т П,) М вЂ” а — а Хлт <Ь, йт) зл лсз=(71(<з — <В+тй К= <г,— г,).
<6.6) Формулы (6.!) — (6.6) справедливы для действительных случайных процессов 4(<). При представлении случайного процесса в виде комплексной функции ]14! ть (<) = з) (<) + [ч <О, где т< (<) и т (<) — действительные случайные процессы, отображающие реальную н мнимую составляющие пропесса 4 (<), формулы (6.1) — (6.3) принимают следующий вид: т <г) =М Я<<)]= М [з) [<)]+(М <гт (<)] тч (<1+ ~т, (П; (6.<а) Кс <Г,, г,) = М [[й (< — т (Гт)] [1' <<з) -Й'. <Гз)]] = з й = К- (<,, г,) — Й (<х) ш ° [<,); К <<1 <2) М ть(<х) ь (<з)) $ (7-(г,, <,)+тк (<т) т' <<з). <6 Ла) Здесь звездочкой отмечены комплексно-сопряженные функции. Для стацнопарных комплексных случайных процессов 4 00 имеем тя (<) = т„+ Р ч= .т; (6.4а) )7 «„<,)=К (<,— <,) — ]щи]з=)7.
<гВ й $ Г К-(<ы <з) <7- (<з — <~)+1ш- !'=К-(т), $ з $ $ т = Корреляционные функции <<1 (т) стационарных случайных процессов $ (<) обладают следующими свойствами: 1, Функции <7 (т) являются четнымн: <74 (т) = )<4 ( — т). 2. Абсолютные значения корреляционной функции <74 [т) стационарного случайного процесса 4 (<) прн любом т не могут превышать ее значения при т= О: 3, При неограниченном увеличении т функции <<4(т), как правило, стремятся к нулю, т.
е. 1нп )тй (г) О. т-та Помимо корреляционных, весьма часто используются взаимные корреляционные функции, характеризующие статистическую зависимость между значениями двух случайных процессов я два совпадающих илн различных мо. мента времени. Так, к примеру, для двух стационарных случайных процессов 4 (<) и г< (<) с математическими ожиДаниЯми тй и тч взаимные коРРелЯЦионные функции имеют вид Я(н (<, Да) = М ([й (<,) — тй] [т< <Гз) — лг„!].
<<„й (<,, <,) =т [[з) (<т) — т„] [4 <<,) — Л]]. Если взаимные корреляционные функции (6.7) аависят лишь от разности т = г, — <,, то процессы 4(0 и т)(0 называютсн стационарно связанными и для пих справедливо соотношение <'$ <" '<') <' вп <т) ~чй < (6 .8) Для количественной характеристики степени линейной зависимости случайных процессов часто используют нормированные корреляционные и взаимные корреляционные функции, которые определяются соответственно формулами )<йч (<ы <з) та< г' з) ] о «)о (<)' Здесь Оз<<) <<з(<, <) — дисперсия случайного процесса й (<), 0„(О— дисперсия процесса и(<).
Если эти процессы стационарны и стационарно связаны, то <). <Г)=<<, (0) =<7. =ой <) <<)=<7 <О)=Р =оз 4 а ч ч и формулы (6.9) принимают вид й, (т) (<4 <т) г,<т<= <) о) й <<тч (т) й~„(т) г н(т) — — ° „ $и — г ], О. О,. о)от В большинстве радиотехнических задач нормированные корреляционные функпии имеют вид либо монотонно убывающих функций г (т] = <х (т) (рис.
6.1, а), либо затухающих осциллируюших функций, например типа г(т) = р(т)созюат (рис. 6.1, б). При этом степень коррелированностн случайного процесса можно характеризовать так называемым интервалом кор- реляции Геометрически интервал корреляции равен основанию прямоугольника с вы. сотой р (0) = 1, плошадь которого равна площади, заключенной между кривой 1<э(т) ! при т ~ 0 и осью абсцисс (рис. 6.1).
Величина т„дает ориентировоч- Рнс 6 1. Нормированные корреляционные функции а ! (' Кй (т) = — 1 5 (оз) соз атпа, о (6. 17) 5. (а) =2) )71 (т) соз ат«(т, о (6.!8) а « 1 Г (7» (т) = — ) 5 (а) соз ат«(ом — „) й. о (6.!9) гбб( 5 д) = [5 («о) -(- 5 ( — а)] 2 5 (а), (6 20) ! к. !т1= ~ 8 (азе1М» ла.
(6,!8) К (т)=~ Яй(7) соз 2п(тб), о (6.22) СО у)= 4) )7. (т) со»2п)т«(т, о (6.23) (6. 16) М )7 (т)=~ Яй ()) сов йп)т«(). о (6.24) !43 147 нее представление о том, на какам интервале времени в среднем имеет место коррелированность между значениями случайного процесса. Весьма распространенной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность 51(а), связанная с ковариацнонной функцией (6.6) преобразованием Фурье: 5-!»!= — ) К (т) е 1«ю ит (6.12) диалогично связаны между собой корреляционная функция )7» (т) и спектральная плотность 5. (а) центрнрованиого стационарного случайного процесса йо(() = Б(1) — т-: 5- (а) = ) )7» (т) е (а~ дт = — 5.
(а) — 2лзп~» 6 (а), (6 .14) Используя свойство четности ковариационной К, (т) и корреляционной )7 (т) « ,рункций, соотношения (6.12) — (6.16) можно прквести к виду 54 (а) =2 ) К. (т) соз а«8т, (6.16) о Соотношения (6. !2] — (6.19) называются формулами Винера — Хинчнна. Как следует из (6.14), спектральная плотность Яй (а) стационарного слу. чайного процесса ~(В с математическим ожиданием пзй и ковариационной функцией Кй(т), определяемая соотношением (6. 12)„отличается от спектральной плотности Яй (а) стационарного случайного процесса $(В с нулевым математическим ожиданием пзй = 0 н корреляционной функцией )7а(т), вычисляемой по формуле (6.
!4), лишь наличием дополнительного члена 2пт(6(а). При тй = 0 оба представлеаия спектральной плотности совпадают, поэтому в дальнейшем различие в этих характеристиках будем отмечать лишь в случае необходимости. Отметим основные свойства спектральной плотности стационарного слу. чайного процесса. 1. Спектральная плотность не может иметь отрицательных значений, т. е. Я (а)>0 при любых а. 2, Для вещественных случайных процессов спектральная плотность является четной функцией, т. е. 5(а) 5( — а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
