Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 17
Текст из файла (страница 17)
д ыборочные среднее, дисперсия, начальный и центральный моменты й-го порядка олрсделяются соответственно формулами: году моментов, приравняем первый теоретический момент тз (Л) т . (Л) пери вому выборочному моменту ш,' = т» — ~ х;: и (4 !6! ш„(Л) = т„', Решив зто уравнение относительно Л, найдем оценку л, которая является функцией от выборочной средней и, следовательно, функцией выборочных значений; «р(х« х» хп). При оценке й неизвестных параметров Л„Л„..., Ль следует найти первый, второй..., й-й моменты распределения Р, (х; Лз, Лз, ..., Ла): О т/ (Л„Л,, ..., Лг,) ) х/ Р, (х; Л,, Лю „., Лз) дх, / = 1, 2, ..., йч Ю а затем соответствующие выборочные моменты; ! жч и н приравнять их.
Тогда получим систему й уравнений с й неизвестными.' т/(Лч, Лз, ..., Лл) = т! (х„ха, ..., х„). <4.17) Решив систему (4.17), определим оценки неизвестных параметров. Достоинством метода является его простота. Однако он содержит элемент произвола, так как, кроме моментов, можно рассматривать и другие характеристики (моду, медиану и т. д.). Оценки по методу моментов в смысле эффективности не являются «наилучшими» вЂ” в больших выборках они имеют не наименьшую дисперсию.
Метод максимального правдоподобия, как и два других метода, базируется на рассмотрении апостериорной (послеопытной) плотности верояч ности: Рп, (Л)=Р (Л ! хг, х«, ..., »„1= — ЛР„,. (Л) (. (Л), 14.16! где й = Р ' (х,, х«, ..., х„) — коэффициент, зависящий от результатов выборки, но не зависящий от параметра Л; РР,(Л) — априорная (доопытная) плот. ность вероятности параметра Л; /. (Л) = Р (х,, »„..., хп)Л) — функция правдоподобия. Если плотность вероятности Р,(»; Л) случайной величины Х содержит один, подлежащий оценке параметр Л, то функции правдоподобия для этого параметра прн независимой выборке объема и имеет внд (4.19) » /.(Л = И Р,/х;; Л) За оценку максимального правдоподобия параметра Л принимается такое его значение Л, при котором Л (Л) достигает максил~уыа, т.
е. такая оценка является решением уравнения правдоподобия: д)п 1, (Л) д!и (. (Л) =О. (4.20) дЛ ь Л дЛ При оценке й пеиаяестиых параметров Л, л, ..., Лз распределения Р«(х; Лг, Ла, ..., Ль! опенки определяются как решении системы уравнений а)пЛ(Л,, Л,, ..., ЛЛ)/дл, - О, / - 1,2, ..., й. (4.21) 112 Оценки, полученные по этому методу, при довольно общих условиях являются состоятельными, асимптотически несл~ещенны»«и, асичптотнчески нормальными и аснчптотнчески эффективны ш На практике этот метод иногда приводит к сложным системач уравнении.
Точечные оценки применяются прежде вссго тогда, когда с их помощью нужно провести еще н другие расчеты. Такие оценки не несут информации о точности кочкретной оценки. При малых выборках они случайны, а поэтому малонадежны. Точность и надежность оценки позволяют определить интервальные оценки.
Пусть нз опыта получена несмс ценная оценка Л = д(х,, х« ..., х„) параметра Л. Для разумного использования этой оценки на практике нужно знать вероятность того, что прн данном объеме выборки и отклонение оценки Л от оцениваемого параметра Л не превысит границы 6 ) 0: Р(!Л Л! < 6) = Р/ — 6 «Л — Л «6) = Р (Л вЂ” 6 < Л < Л+ 6) =. (1 (4.22) где 6 — точность оценки, () — доверительная вероятность (надежность) того, что при данном и оценка Л будет иметь точность 6; (Л вЂ” 61 Л + 6) — доверительный интервал. Величива р определяется конкретными условиямн задачи и обычно выбирается равной 0,95, 0,99, 0,999.
Задаваясь любыми двумя из величии 6, Р, п, связанных соотношением (4.22), можно найти третью Для этого нужно знать закон распределения оценкнЛ, который вой. щем случае зависит от самих неизвестных параметров. Однако иногда удает. ся перейтн в (4.22) отл к таким функциям выборочных значений, закон распределения которых зависит только от объема выборки и и закона распределения случайной величины Х и не зависит от неизвестных параметров. Если выборка объема и произведена из гауссовской генеральной совокупности с параметрами тх н о„то доверительные интервалы для оценок па раметров с вероятностью р рассчитываются по следующим формулам 1.
Доверительный интервал для математического ожидания т„при известной дисперсии и» строится на основе выборочной функции 2 = (и'— в т„)/о», имеющей стандартное нормальное распределение с параметрами 6( (2) = О, О, =- 1, В этом случае от формулы (4.22) приходим к выражен во т'„— гбо,/) и < т„<и',+гйо»/)/и, (ч.'26! где гб = — 66)/и/о» определяется из равенства Ф (гч) =(1+ ())/2 по таблице приложения П. 2. Доверительный интервал для математического ожидания и„ прн неизвестной дисперсии о» строится с использованием выборочной функпии Т = (т» — т„))lп/з, кмеющей /-распределение Стьюдента с й= и — ! степенями свободы.
В этом случае формула (4.22) приводит к выражению т„" — »я о,, »/)»п < т» < т'+«л г /ф и, л=-л — 1, 14.24 где «» = 7 (х! — 'ш')з, и — 1 «= ! /« „— а — процентная точка Г-распределения Стьюдента с э=п — ! степеня ми свободы, определяемая по таблицам приложения 1»/ из условия Р(/ )», ) ~ Рг(г) дг=ц=! — 01 гэ ! „гг= — гл „/з.
»х,х 113 где » Ре = р ) р<,(х) <(х + д ~ р, (х) <гх . » (4 32) а = ) р, (х) <(х. ц — — — ) р (х) <1х, ()=-~ р< (х) дх, Г Г, (4 .28) Р„=Р ! Р»(х) <(х, Ря — — 4 ~ Р, (х) <(х. Г, Г, 2. ПРИМЕРЫ Номер изме- рении 8 9 12 14 15 если 1(х) > й, то принимается На <слп )ОВ ж 1<, то принимается Не, — 15 — 15 б Ошибка хг, м — 1О (4.29! 1!4 115 3. Доверительный интервал для дисперсии аэ< строится с использованием выборочной функции Х' = (и — 1) ь-'<аэ, нмеюшей уз-распредеяение Пирсона с й = и — 1 степенями свободы, в соответствии с формулой йэ 1Х»; аГг < а.' <»гд Х»; ! — а «ь <4 25) где Х»; а — а — процентнвя точка Х'-распределения Пирсона с й = и — 1 степенями свободы, определяемая равенством Р(Х»> Хй,4= )' р (Х')цХ'=~=1 — () х» а Процентные точки Хэ-распределения приведены в пряложении 111.
Х'-распре. деление асимметрично, уз О. На практике обычна выбирают .<', и Хэ так, чтобы Р(Х» ) Х1)=Р (Хг < Х",) = а<2. Статистические гипотезы могут формулироваться цли относительно неизвестных параметров известного распределения (параметрические.гипотезы), нлн относительно неизвестного закона распределения (непараметр<шеские гипотезы). Возможны н другие варианты гипотез. При двухальтернативной ситуации, когда происходит одно из двух событий, расснатринают две гипотезы: исходную (нулевую или основную) Н, н конкурирую<кую (альтернативную) Н,, которая противоречит Н . Задача состоит в том, чтобы по результатам наблюдений принять одну из них. Изза случайного характера явлений любое решение (выбор одной из гипотез) сопровождается ошибнамн двух видов Ошибка первого раде возникает тогда, когда отвергается правнльнан гипотеза а ошибка второго рода — когда при.
нимается неправильная гипотеза Пусть наблюдаемое событие обусловлено одной из двух причин: Лэ (гипотеза Нэ) или Л, (гипотеза Н,); à — пространство всех возможных значсннй наблюдаемой величины Х; Г» — область принятия гипотезы Н;, Гт— об часть отклонения гипотезы Нэ (критическан область); ре (х) Р (х! Лэ), Р,(х) = р(х1Л,) — усяовные плотности вероятности точки х пространства 1'гг ( <о) = Р Ррг (Л,) =- <) =- ! — р — априорные вероятности Лэ и Л,; а — условная вероятность ошибки первого рода (уровень значиэюстн, нритерня); 8 — условная вероятность ошибки второго рода; (1 — ()) — мощность критерия; р„и рв — безусловные вероны<ости ошибок первого и второго рода; Р, — суммарная вероятность ошибки.
тогда справедливы следу<ошие сотношения: Рг-— -ра+рр — — р~ р» (х) Цх+Е ( р, (х) Цх, <) = 1 — р. (4.28) Г< Г, В радиотехнических приложениях наиболее часто применяются два оптимальных правила решения: нритерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова — Зигерта) и критерий Неймана — Пирсона.
Критерий идеального наблюдателя применяется тогда, когда нет различия в значимости ошибок первого и второго рода и когда известны априорные вероятности каждой из гипотез, что характерно для радиосвязи. При этом критерии правило решения состоит в следуюшем: 1(х) = р, (х)<рэ (х), (4.30) — отношение правдоподобия; й = р<«) — постоянный порог, который являет. ся решением уравнении Р< (ЛУР» (й) = Р(0. (4.31) Критерий идеаяьного наблюдателя минимизирует вероятность полной ошибки Критерий Неймана — Пирсона применяется в случаях, когда значимость ошибок а н )) различна, а априорные вероятности гипотез неизвестны (характерно для задач радиолокации).
При этом критерии оптимальным считается такое решение, когда при заданной ошибне первого рода минимнзируется ошибка второго рода. Решение выносится на основании сравнения отношения правдоподобия 1(х) с порогом 6; 1 (х) = р, (х)(р, (х) гь й. (4 33) Порог 6 определяется па наперед заданной ошибке первого рода Для проверки гипотезы Нэ о законе распределения генеральной совок< п ности обычно используют критерий согласия х', при котором за меру расхон.
денни теоретического и статистического распределений принимается ве. и чина (4.3), которая прн и <о асимптотически распредеяена по закону у< с » =г — 1 степенями свободы, независимо от распределения случайной ве личины Х. Критерий Хэ для гипотезы и, с уровнем значимости ц отвергает Н„, если вычисленное по выборке значение у' ) у' „. и принимает Н, сот:«; ( У». а. Величина Х<., а опРсделЯетса из УсловиЯ р (Хз) "((з)=ц » т-»; а по таблицам приложения П1, прн заданных й и а. Уровень значимости а нанбояее часто выбирается равным 0,05 или 0,01.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
