Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Случайная величина У = аХ, + ЬХ„где а и Ь вЂ” постоянные коэффициенты, а Х, и Х, — независимые случайные величины с параметрами Хл и )., соответственно. Г1оказать, что распределение У не подчиняется закону Пуассона. 3.34. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 2 = 2Х вЂ” 31', если М(Х) = О, М(1') = 2, 0(Х) = 2, 0 (1') = 1, )с ха = — 1>')> 2. Ответ: М (сч) = — 6, Р (Л) = 29. 3.35.
В системе радиосвязи с разнесенным приемом (рис. 3.6) приемники находятся на таком расстоянии друг от друга, что снг. налы Х, 1', и 2 статистически независимы. Опредечнть коэффициент корреляции )1„, для напряжений У и )г, если Х, 1' и 2 распределены по закону Гаусса, причем их сред- ние значения равны нулю, а дисперсии о,' = о' = 3, о,' 12.
Ответ: )7„= 0,8. 3.36. Производится и независимых измерений некоторой фи- зической величины, рассматривая результат каждого измерения случайной вели- чиной Х; с математическим ожиданием т н дисперсией о', вычислить: 1) математическое ожидание тл и дисперсию о„' среднего арифме- тического и измерений; 2) относительную ошибку Л = о„lтз в оп- ределении среднего арифметического. Ответ; 1) тл = т, о„' = о'га, 2) Л = о>ггг )>'и. 3.37. Определить математическое ожидание и дисперсию слу- чайной величины 2 = Х)к, если независимые величины Х и К имеют равномерные распределения соответственно на интервалах (а, Ь) и (с, с(). Ответ: т, = (а + Ь) (с -)- г))'4, о,' =- (аа + аЬ -!- Ь') >г )с(сз + сг! -г- г(а)'9 — (а — ' Е)х (с + сХ)з/16 3.38.
Для определения плошади квадрата измеря>от две его стороны с помощью одного инструмента и результаты измерения перемножают. С какой относительной средней квадратической ошибкой Л = =- о!>п нужно измерять стороны квадрата для того, чтобы средняя квадратическая ошибка определения плошади была не более 1 %7 Ответ: Л =- 0,7!%. 3.39. В индикаторе кругового обзора радиолокационной станции применена электронно-лучевая трубка, экран которой представляет собой круг радиуса а. Из-за наличия помех на экране может появить- ся пятно с центром в любой точке экрана.
Рис. 3.0, Система радиосвязи с разнесенным приемом 1ОЗ Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния центра пятна от центра круга. Ответ: т, = 2а>3, о,' = ае>'18. 3.40. Случайные величины Х, У, 2 имеют равные математические ожидания М(Х) =- М(1') -- >И(2) = 10, дисперсии 0 (Х) = = 1, Р(1') = 4, 0(2) = 9 н коэффициенты корреляции )гкч = = О, )х>„, = 1>'4, )7„, = 112. Вычислит>с а) М(Х --', К); б) 0(Х вЂ” ' )г); в) М(Х+ 2); г) О(Х + 2); д) М(Х вЂ” 2); с) 0(Х вЂ” 2); ж) М(Х вЂ” ' )к — 22); з) 0(Х + 1' — 22); и) М(М(Х)1; к) 0(М(Х)1; л) М 10(Х)1; м) 0 10 (Х)1, Ответ: а) 20; б) 5; в) 20; г) ! 1,5; д) 0; е) 8,5; ж) 0; з) 26; и) 10; к)0;л) 1; м)0.
4. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Математическая статистика — раздел математики, посвященный установленшо закономсрностеи случайных явлений илн процессов на основанив обработки статистических данных — результатов наблюдений или измерений. Наиболее важными в прикладном плане излиютсв три задачи математической статистики !б, т, 13, 20 — 25!. 1. Оценка неизвестной функции распределения или плотности вероятностей, когда по конкретным значениям к,, х„ ...
х„, полученным в результате независимых измерений случайной величины Х, требуется оценить неизвестную функцию распределении г>(к) величины Х или ее плотность верояности р,(х), если Х вЂ” непрерывная случайная величина. 2. Оценка неизвестных параметров. В атой задаче предполагается, что на основании фи >ических илн общетеоретических соображений можно заключитьч что случайная вели пша Х имеет функцию распределении определенного вида, зависящую от несколькич плрачетров, значения которых неизвестны.
По результатач наблюдения величины Х нужно оценить значения зтих параметров Задачу можно ставить вие связи с функцией распределения. Например, требуется оценить: математическое ожидание, дисперсию или моменты случайной величины Х; амплитуду, частоту или фазу радиоимпульса, наблюдаемого иа фоне шуца; коррелнциониую функцию или спектральную плотность стационарного случайного процесса и т. д. 3. Статистическая проверка гипотез.
Обычно зта задача формулируется так. Пусть на основании некоторых соображений мо.кио считать, что функция распределения исследуемой случайной величины Х есть г> (х). Необходимо выяснить, совместимы лн опытные данные с гипотезой, что случайная величина Х действительно имеет распределение г> (к).
Задачу можно сформулировать иначе. Предположим, нзблюдаемые значения случайной величины Х обусловлены двумя или несколькими различными причинами (гипотезами). В результате наблюдения величины Х нужно ре>пить, с какой из гипотез слелует связывать полученные значения величины Х. Например, пусть на вход радиоприемиого устройства поступает случайное колебание Х (1), которое в каждый момент времени является либо суммой сигнала з(0 н помехи л93 (гипотеза Н,), либо одной помехи (гипотеза Н,).
В некоторый фиксированный момент времени произведено измерение величины Х. По полученному число. ному значению к нужно решить нанлучшич образом, присутствовал ли иа входе сигнал з(0, т. е. вь>брать олпу из двух гипотез Н, (х = з + л) нли Нч (х = л). 101 Исходными данными, подлежащими обработке, служат результаты наблюдений над случайной величиной Х. Множество всех возможных значений случайной величины Х называется генеральной совокупностью, а множество опытных значений х„хз, ..., к„— выборочными значениями, число л — объемом выборки. Если известны функция распределенив Р,(к) или платность вероятности р> (к) случайной величины Х, то говорят, что выборка к>, кз, ..., кл принадлежит распределению р>(х) или р,(х).
Расположив числа х>, кх ..., х„ в возрастающем порядке, так что х; » к) при ! ) !Х получим упорядоченную выборку, называемую вариационным или статистическим рядом. По выборке объема л определяются ее статистические характеристики"— приближенные значения соответствующих вероятностных характеристик совокупности.
Приближение тем лучше, чем больше л. Аналогом функции распределения Г! (к) случайной величины Х слу. жнт статистическая (эмпирическая) функция распределения Г> (х) выборки, которая представляет собой частоту события Х ( к! Г! (к) Р* (Х ~ х) = «(л. (4.!) где « — числа членов выборки, меньших к. Когда выбор осуществляется из непрерывного распределения и числа выборочных значений велико (порядка сотен), целесообразно строить гистограмму, которая является статистической аппроксимацией плотности вероятности р,(х).
Лля этого область экспериментальных значений случайной величины разбивают на г обычно одинаковых интервалов й и вычисляют относительную плотность точек в каждом интеервале: (4,2) р>/6 = «>улй, ! = 1, 2, ..., г, Р (Х >Ха а) — ) рс(Х )с(Х вЂ” ! Р! (Ха,и) ха: а (4.4) критерию за меру расхождения результатов наблюдений и теоретического распределения принимают величину ч;.! (Р> р>)2 жз !«; — Лр;)' жл р; лр, жа лр; '=- ! '= ! >= ! где л — объем выборки; г — число интервалов разбиения экспериментальных ! данных; «, — число значений а >-м интервале; р, — относительная частота; р; — вероятность попадания случайнон величины Х в >-и интервал.
Случайная величина Х"', независима ат распределения величины Х, при л-»аэ асимптотически распределена па закону Хз с й =. г — з — ! степенями свободы, где з — число параметров теаретйческога распределения, оцени. ваемых по результатам наблюдений. Можно рекомендовать следующую методику применения критерия для оценки расхождения теоретического и статистического распределений, !.
По формуле (4.3) подсчитать значение Х'. 2. Определить число степеней свободы Ь = г — з — ! 3. Исходя из характера задачи, выбрать достаточно малую (обычно рав.ную 0,05 или 0,0!) вероятность а, называемую уровнем значимости 4 С помощью таблицы приложения П) по известным Ь и а найти значение величины у'., определяемой равенством где «! — число эиспериментадьных точек в (-м интервале; р> = «сул — относительная частота. Подсчитанные таким образом значения изображают графически в аиде ступенчатой кривой: по оси абсцисс откладывают соответствующие интервалы и иа каждом из ннх как иа основании строят прямоугольник высотой р! 'Ь, Полученная ступенчатая кривая называется гистограммой. На практике часто возникает необходимость аппроксимацин гистограммы подходящим аналитическим выражением какой-либо теоретической плотности вероятности (выравнивание статистических данных). Прн этоы аппроксимация должна быть в определенном сыысле наилучшей.
Подб>ар аппроксимации обычно иашшается с качественного сопоставле. иия гистограцчы с графиками различных теоретических плотностей вероятностей и с выбора наиболее близкой к гистограмме. Болыцой набор плотностей вероятностей р, (х) дает система нр ивы х Пирсона, задаваемая дифференциальным уравнением >!р, (к! кй-а — р,(х). и Ьк-; Лй Параметры а, в, с, а определяются из условия сохранения первых четырех моментов статистического распределения.
По методу моментов параметры а, Ь, с, ..., подбирают так, чтобы первые (иизшие) моменты распределения р, (к) равнялись бы соответствующим статистическим моментам. Число приравниваемых низших моментов определяется количеством неизвестных параметров а, Ь, с, ... Чтобы оценитьл насколько хорошо выбранный теоретический закон распределения согласуется с результатами наблюдений, используют критерии согласия, среди которых наиболее часто применяется критерий Хз. По этому л! Статистические харак>еристики всюду отмечены индексам л.
103 ! ш'= — р к! .= „Л '= ! (4.5) л л Д -2 ("> и>л) К> ( л) '= > =! 1 0* =.— л (4.6) л и (х)=— (4. 7) л ! ш;)2) = — У «.с-л>„.)л. (4.8) !ОУ 5. Если значение Хз, вычисленное по формуле (4.3), больше Хаз, „. то теоре с етическое распределение считают плохо согласующимся с результвтамн на. блюдений при уровне значимости с!; если Х' ( Хгг „, то полагают, что вы р 2 2 твбанное теоретическое распределение согласуе>ся с экспериментальными данными. Свойства выборки описываются также более простыми характеристиками — выборочными (статистическими) моментами: выборочным средним шк> выбо очной дисперсией 02 и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
