Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Определить функцию распределения Р, (х,у) системы случайных величин (Х, У). Ответ: 0 х(у+ 1)/2 Р2 (х У) х (у+ 1)12 ! при х .О, при 0<х<1, прн 0<х<1, при х) 1, при х) 1, 3,9. Плотность вероятности личин (Х, !') имеет вид р, (х, у) = А/(! р,(х, у) системы двух случайных не- + х' + у' -»- х'у'). 3.3. Доказать, что для независимых случайных величин Х и У справедливо равенство Рв(х, у) = Р» (х) Р' (У). 3,8. Система независимых случайных величин (Х,, Х„..., Х„) задана плотностями вероятностей р, (х,), р, (х.), ", р. (х.) Вычислить функцию распределения Р„(х», х„..., х„) этой системы случайных величин. л '1 Ответ: Р„(х,, х„..., хл)= П < р»(у»)»(у».
— »в Н айти: 1) коэффициент А; 2) вероятность Р попадания величины Х, У) в квадрат: — 1 ( х ( 1, — 1 ( у < 1; 3) функции распредеения Р»(х, д), Р,(х), Р,(у); 4) плотности вероятностей р,(х) и ,(у) и зависимость случайных величин Х и У. Ответ: 1) А =1,'л', 2) Р =-0,125; 1 3) Р, (х, у) = — <агс13 х + — )<агс13У + — ' 1 / Р,(х) = — <агс1йх + — ), Р,(у) = — <агс13У+ — ' л 2 ) и 4) р, (х) =- 1(л (1 + х'), р, (у) = 1»л (1 + у') Случайные величины Х и У независимы. 3.!О. Функция распределения Р,(х, у) двумерной случайной величины (Х, У) задана выражением: Р (х,у) = 1 е — вх е — ах ! е-~»х — вх х)0 у)0 Определить: 1) плотность вероятности р,(х, у) системы (Х, У); 2) плотности вероятностей р,(х) и р,(у) и зависимость случайных величин Х и У; 3) вероятность попадания величины (Х, У) в квадрат с вершинами: А (1,1) В (0,1); С (0,0) Р (1,0). Ответ: 1) р,(х, у) =аре "— ву; 2) р,(х) =ае ", р,(у) = =ре — в", случайные величины Х и У независимы; 3) Р= (1 — е-") х х (1 — е — а).
3.!1, Плотность вероятности р,(х, у) системы двух случайных величин (Х, 1') задана выражением р,(х, у) = (АЪ) ехр( — х' + бх — у' — 2У вЂ” 12). Определить: 1) коэффициент А; 2) плотности вероятностей р,(х) и р,(у) соответственно величин Х и У; 3) являются ли слу чайные величины Х и У зависимыми. Отвевп !) А =е'2) р (х) =-(!1' л)е — 1' — '»', р (д) =(11)»л)е — »у+'»', 3) случайные величины Х и У независимы. 3.12. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет плотност» вероятности р,(х, у) =- А яп(х + у), 0( х( л»2, 0 < у < л'2 Определить: 1) постоянную А, функции распределения Р, (х, у) Р,(х).
Р,(у); 2) вероятность Р выполнения неравенств х -' л!4. Ответ: 1) А = 0,5, Р,(х, у) = 0,5!япк + яп у — з(п (х + у)1 Р,(х) = 0,5(! — созх + э(п х), Р,(у) = 0,5(1 — сову — ' яп у). 2) Р = 0,207 3.13. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет равномерную плотность вероятности внутри круга С радиуса»с': !(лй» прн х'+дэ (К', рэ(х, у) —— 0 при х'-»- у') )7'.
Доказать, что случайные величины Х и У являются завнси мыми ю» 3.14. Плотность вероятности двумерной случайной величины (Х, ?') имеет вид Вычислить плотность вероятности случайной величины Х. Ответ: р,(х) == . е — " ! ? 2. 3.16. Плотность вероятности р,(х, д) двумерной случайной ветичииы (Х, ?') имеет вид (1«бп внутри эллипса (х'(9+у«14 < 1), р,(х, д) = (О вне этого эллипса. Локазать, что Х и 1' — зависимые величины. 3.16.
Лвумерная случайная величина (Х, 1') распределена по нормальному закону с плотностью вероятности ла рл(х, у) = — е-л' !'*+ "'!. Требуется: 1) найти значение величины й, если известно, что вероятность попадания в круг (х'+ у' < )7«) равна р; 2) определить, при каком значении г! вероятность попадания в кольцо (г'<хе + + у' < )хл) будет наибольшей Ответ; 1) й = — лГ?п —; 2) й=л«« 3.17. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, ?') задан таблицей «о «,=! «,=О «,= — ! 4!!5 !!15 О 4«!5 !!!5 о У«= у,=о !з= ! 2! !5 2115 Требуется: !) определить математические ожидания т„и т„ случайных величин Х и У; 2) установить некоррелированность й зависимость случайных величин Х и ?к.
Ответ: 1) т„= О, тв = — 7(15; 2) Х и 1' не коррелированы, так как К„, = 0; однако Х и ?' зависимы, потому что необходимое для независимости условие р(хл, у;) = р(х!) р(у;) ие выполняется. 3.18. По одной и той же стартовой позиции противника производится три независимых пуска ракет, причем вероятность попадания в цель одной ракетой равна р. Пусть случайная величина Х— число попаланий в цель, а случай ая величина !' — число промахов. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин Х и ?к, а также корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Ответ: т„= Зр, т„= Зу, о« = а„' = 3 ру, К„„= — Зрд, )7„„= — 1, д=1 — р ' 3.19. Написать выра>кение для нормальной плотности вероятности р,(х, у) двумерной случайной величины (Х, !') если ~~ 16 !2!! т„=- О, т„= 6, !! К к, «! ', =,'! Км )' = )! !2 25(! От ее!ха 3.20. Плотность вероятности двумерной случайной величины (Х, ?к) определяется формулой р,(х,у) =Оба?п(х+д), 0<х<п/2, 0<у<и/2. Определить: !) математические ожидания т„и т„, дисперсии Р (Х), Р (?') случайных величин Х и ?'! 2) корреляционную и нормированную корреляционную матрипы.
Ответ: 1) «и„— -т„== О 785, Р (Х) = Р (У) =0 188' 2) !! К ! !! = 0,188 — 0,046 ! ! — 0,245 — 0,046 О, ! 88 ! — 0,245 ! 3.21. Лвумлерная случайная величина (Х, ?') распределена по люрмальному закону с параметрами т, = т,=О, о,=а„= а, (7„е=О, Вычислить вероятности событили а) ! У! < Х; б) ?« «Х; в)?' !Х! Ответ ! !8!. а) 0.25; и) 0,5; е) 0,75.
3.22. Определить говместиуло плотность вероятности р,(ль у) случайных величин Х --= з)п Ф н ?' = озФ при известной плотности вероятности р, («р) случайной величины Ф в иихервале ( — и, и). Ответ(!91: рл(х, у) = ',— «'(У~ ! ! — к! 3.23. Лвумерная случайная величина (Х, 1') имее! ноРмальиую совместную плотность вероятности / х'+д«? р, (х, у) =- — ехр ~— 2па« ~ 2а« Вычислить совместную плотность вероятности р,(г, «р) вели.
чины ((7, Ф), если Х = )х соз Ф, ?« = )7 з!п Ф Ответ: р, (г, лр) = (г/2пал) ехр ( — гл(2ал), г .=» О. !оз Слу.айные величины И н Ф вЂ” независимы, так как р,(», гр) = := р,(») р, (ур), где величина /л' распределена по закону Релея ( ал) ехр ( — »",2 а'), а величина Ф вЂ” по равномерному закону р, (~() = 1/2 и. 3.24. Совместная плотность вероятности р,(х,, х,) системы (Х„Х,) имеет вид е — —" прях,)Оих,)0, рэ(х,, хэ)= 0 в остальных случаях.
Найти плотность вероятности р,,(у„ у,) двумерной случайной величины (У„ !',), если У, = Х, + Х, !', = Х,/Х,. Ответ 171; е у ', приу)0 у)0, р,(у,, у,) = ((+у р 0 при других у, и уга 3.25. Заказать, что целочисленная случайная величина У = = )Х, — Х,<, где Х, и Х, — независимые случайные величины, распределенные по закову Пуассона с параметрами )у, и Х, соответ- ственно, имеет закон распределения вида е-'л +ла /, <2)» Л,, ),э ), л =О, е — <л,+л,><( ~~ )"~У 1( ~ )""1/ <2)/), л ) л =1,2,... У к а з а н и е.
Следует воспользоваться методикой и резуль- татами примера 3.!2. 3.26. Получить функцию распределения Г, (у) и плотность ве- роятности р, (у) случайной величины У = »пах (Х„Х,) при заданной совместной плотности вероятности р, (х,, х,) случайных величин Х,иХ,. От ее»л: г,(у) = ~ ~ р,(х,, х,)е(х,»/х,=»,(у, у), рл(у) = < рэ(у, хе) е(хе+ < р,(х,, у)у(хо У к а з а н и е.
Следует воспользоваться методикой решения примера 3.8. 3.27. Определить плотность вероятности р, (у) случайной величины У = ппп (Х, Х') по известной плотности вероятности р, (х) случайной величины Х. Ответ 1! 81 , ) .. <ру(у!/2) У при О« /»(1, < р (у) при уб 0 и у)!. 104 3.28. Производится однократное измерение частоты колебаний автогенератора, распределенной по равномерному закону в интер.
вале от/ ыдо/ „. Найти плотность вероятности р, (у) результата измерения У = г" + Х, где погрешность измерения Х не зависит от г" и распределена по закону Гаусса р, (х) = (1/а )» 2п) ехр ( — х'/2 а'). Ответ: р,(у) = <Ф(~ "'" ) — Ф( » '" )~. 3.29.
Локаэать с помощью аппарата характеристических функций, что сумма двух независимых случайных величины Л = Х + У с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями а', и а„' распределена по закону Гаусса с характеристической функцией вида ауу + ауу В,(/а)=ехр ( — ", "а'). 3.30. На вычитающее устройство воздействуют независимые сигналы Х (/) и У(г) с нулевыми математическими ожиданиями, ди- сперсиями а'„и а„' соответственно и гауссовскими одномерными плотностями вероятности. Определить плотность вероятности р,(г) величины Л = Х вЂ” У на выходе вычитающего устройства, О»пвет: р,(г) = (1/а,)»'2л) ехр( — г'/2а,'), где а', = а'„+ а'„.
3.3!. Найти плотность вероятности случайной величины У = = АХ, где А и Х вЂ” взаимно независимые случайные величины с плотностями вероятности р, (А) = (А/о,') ехр ( — А'/2 о',), А ) О, р, (х) = (1/а„)»»2я) ехр ( — хе/2а,'), — аа ( х ( аа. — М)»а а О»лве»л р, (у) = — е эа, а„ 3.32. Вычислить плотность вероятности случайной величины Е = Х/У, если Х и !' — независимые случайные величины, распре. деленные по закону Релея: х —,М за* у) у — у*/за* а" а' Ответ: р, (г) = 2г/(1 + г')'. 3.33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
