Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Рт(д) = ~ Р,(х) с1х — ~ Рт(х)т(х= — х 1 а+а рггу/ «о 27 ег «г „ б/у/ йр г(ю Р2 р ег Используя формулы (2.44) и (2.45), получаем и и т„= ~чр д(х«) р„= ~яр у„р„(й) = ~ е'«С„р д" = (д+ ре')", а п а« ~» 2 Р (/г) т« ~чр С!» (Реги)«ул — «тв (у ! 2е2а)л «=о «-о (д + рса)2л Рис. 2.!Ь, Плотность ве. роятиости величины У=Х' Рис, 2.!4 Функция рис. црецелеяия случайной величииы У=Х' На интервале (а, Ь) обратная функция х, =- Ьг(у) = )гу олнозначна.
Поэтому Рг (у) = Р ( !' < у) = Р ( — а < Х < а) + Р ( а < Х = )/ у) = ту 2а е 2а , ! = — +1 р,(х)2(х = + — х Ь+а ,) Ь+а Ь+а а (/у+а Ь-Ра Таким образом, 0 2)/ у/(Ь + а) ()/у+а!/(Ь+ а) 1 при у<0, при 0< у< ав, при а'<у < Ь', при у) Ь'. Р (у) = Воспользовавшись формулой (2.3), получим 0 при у~О, !/(Ь+а))г у при 0<у<а', ! /2 (Ь -(- а) )/ у при ав < у < Ь', 0 при у) Ь«. р (у) = Графики функций Р,(у) и р,(у) представлены на рис.2.14 и 2.!5. Отметим, что такое преобразование имеет место, например, в двухполупернодном квадратичном детекторе.
2.14. Случайная величина Х описывается биномиальным законом распределения вероятностей. Найти математическое ожидание тв и дисперсию а, *случайной величины у = е'т. Решение. Случайная величина Х может принимать значения О, 1, 2, , п. Вероятность Р„(/2) того, что она примет значение й, определяется выражением (! .22): Р„(У) = С„'р«д -«, д = 1 — р. 2.15. Случайная величина Х подчинена равномерному закону в интервале от 0 до 2. Определить математическое ожидание и дисперсию величины У' = 6Х-'. Решение. На основании (2.43) имеем тч —— ( д(х) р,(х) !(х = ~бхв — е(х= 3 — =8, о о о 2 а„' =- ~ (у(х) — т„)' р, (х) г(х = ~(бхв)2 — с(х — т„'= 2 о о = 18 — ~ — 64 = 51,2.
о !о 3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ 2.1. По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры. 1 и О. Априорные вероятности передачи этих цифр равны р(!) = Р(0) =- 1/2. Из-за наличия помех возможны искажения. Вероятности перехода единицы в единицу и нуля в нуль соответственно равны: р(1/!) = р, р(0/О) = д. Определить закон распределения вероятностей случайной величины Х вЂ” однозначного числа, которое будет получено на приемном конце в некоторый момент времени.
Ответ: 22 (! — р+ 4)/2 (! — о+ р)/2 2.2. Из десяти транзисторов, среди которых два бракованных, случайным образом выбраны два транзистора для проверки их параметров. Определить и построить: а) ряд распределения случайного числа Х бракованных транзисторов в выборке; б) функцию распре. деления Р, (х) случайной величины Х. 67 Ответ: а) 0 при х<0, ! 145 при О < х < 1, 17145 при ! < х < 2, ! при х>2. б) Ря(х) = 2.3. Вероятность получения отметки цели на экране обзорного радиолокатора при одном обороте антенны равна р. Цель считается обнаруженной, если получено п отметок. Найти закон распределения случайной величины Х вЂ” числа оборотов антенны радиолокатора. Ответ: Р(й) = Р(Х = й) = СГ)р (1 — р) — ", д=п,и+1,п+2.
2.4. Последовательные ускоренные испытания приборов на надежность производятся до первого отказа, после чего они прекращаются. Пользуясь понятием плотности вероятности для дискретной случайной величины, найти плотность вероятности р,(х) случайной величины Х вЂ” числа испытанных приборов, если вероятность отказа для каждого прибора равна 0,5. Ответ !41: р,(х)= ~Ч«2 — 'б(х — х,). 2.5. Функция распределения Р,(х) случайной и * ины Х задана графиком (рис. 2.16, а). Требуется: 1) найти аналитическое выражение для Р;(х); 2) построи~ь график плотности вероятности р,(х); 3) определить вероятность того, что величина Х примет значение, заключенное на интервале от 0,2 до 0,8. Р гав 1,ВВ и12зл Л Ю 1 2 а1 Рис 2 !6.
Фьньиия распределения (а) и плотность вероятности (б) Ответ: 0 при х <«О, х 2 при 0<хс 1, 1 Р~ (х)=1 112 при ! <х<2, х (х — 1)12 при 2<х 3, ! при х)3. 2. График плотности вероятности р, (х) приведен на рис. 2.16, б. 3. 0,3. 2.6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами т = 3, о„= 2. Как изменится плотность вероятности р,(х), если параметры примут значения т« = — 3, о« =- 47 2.7. Сообщение передается последовательностью амплитудно- модулированных импульсов с заданным шагом квантования Л (Л— наименьшая разность между двумя импульсами). На сообщение на- : кладываются шумы, распределенные по нормальному закону :с плотностью вероятности Š— «*1иа' а Г'2н ' Если мгновенное значение шумов превышаег половину шага кванто.вания, то при передаче сообщения возникает ошибка.
Определить, при каком минимально допустимом шаге кванто,'вания вероятность ошибки из-за шумов не превысит О,!. Ответ: Л = 3,4 а. 2.8. Случайная величина Х вЂ” ошибка измерительного прибора распределена по нормальному закону с дисперсией 16 мВ'. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Вычислить вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка Х; а) превзойдет по модулю 6 мВ не более трех раз; б) хотя бы один раз окажется в интервале 0,5 м — 3,5 мВ. Ответ: а) 0,999; б) 0,776. 2.9.
На электронное реле воздействует случайное напряжение с релеевской плотностью вероятности р,(х)= — е «мяа' х)0 о« Какова вероятность Р срабатывания схемы, если электронное ::реле срабатывает всякий раз, когда напряжение на его входе 'превышает 2 Вй Ответ: Р =е Я1о*. 2.10. Определить математическое ожидание т„и дисперсию о,' числа приборов Х, имевших отказы за время испытаний на падеж. : ность, если испытанию подвергается один прибор, а вероятность 'его отказа равна д.
Ответ: т = д, о„' = д(1 — с)). 2.11. Стрельба ведется по наблюдаемой цели. Вероятность по- падания при одном выстреле равна 0,5 и от выстрела к выстрелу не меняется. Вычислить математическое ожидание т„ и дисперсию а„' слу- чайной величины Х вЂ” числа попаданий в цель при пяти выст- релах. Ответ: т, = 2,5; а,' = 1,25. 2.12. На вход ограничителя воздействует видеоимпульс со слу- чайной амплитудой. Вероятность превышения импульсом уровня ограничения равна р. Рассматривая событие превышения уровня ограничения импульсом как случайную величину Х, принимающую значения 1 (превышение) и 0 (непревышение), определить среднее значение и дисперсшо величины Х. Найти среднее значение и дис- персию числа !' импульсов, превысивших порог, при подаче на вход ограничителя и импульсов.
Ответ: т, = р, а', = р (1 — р), т„= пр, а„' = пр(1 — р). 2.13. Вероятность отыскания малоразмерного объекта в задан- ном районе в каждом вылете равна р. Определить математическое ожидание и дисперсию числа про- изведенных независимых вылетов, которые выполняются до пер- вого обнаружения пели. Ответ: т =- 1/р, ав = (! — р)/р'. 2.!4. На радиомаяк-ответчик в среднем поступает !5 запросов в час. Считая число запросов случайной величиной, распределен- ной по закону Пуассона, определить вероятность того, что за 4 мин: а) поступит ровно 3 запроса; б) поступит хотя бы один запрос. Ответ: а) 0,0613; б) 0,632.
2.15. Изменение частоты Х генератора из-за самопрогрева под- чинено распределению, график которого изображен на рис. 2.!7 Определить: !) аналитические выражения для плотности веооят- ности р,(х) и функции распределения гъ (х); 2) матемитическге ожидание т, и среднее квадратическое значение о, случайной ве- личины Х. 0 при х ( — а/2, Ответ; !, р,(х) == (2х + а)/а' при — а/2(х(а/2, 0 при х)а/2, 10 при х ( — а/2, /'4(х) = !!(2х+ а)/2а!' при — а/2: хе-'а/2, при х ) а/2; 2. т, = а/6, а„= а/3'г42. 2.16.
Сообщение передается квантованными импульсами с ша- гом квантования Л = 1 В, Предполагая, что ошибка квантования равномерно распределена в пределах интервала квантования и имеет нулевое среднее значение, определить дисперсию и' (мощность) шумя квантования Ответ. ав 14!2 Вв 70 . 4 рис 2.!?, Плотность вероятности 2 2.!7. При измерении напряжения гармонического колебания и(() = А гйп(о41+ Ч4) ламповым вольтметром, проградуированным в эффективных значениях, стрелка вольтметра из-за наличия помех равномерно колеблется между значениями сс, и ив.
Вычислить: !) среднее значение т показаний вольтметра; 2) от- иос44?ельную погрешность Л=а„/т измерения амплитуды напря::: жения и (1), где а — среднеквадратическое значение. Ответ: 1) т,, = (а4 + ав)/2; 2) Л = (ав — а,)Я 3 (а, + а,). 2.!8. Время безотказной работы самолетного радиоэлектронного .оборудования в полете является случайной величиной, распреде, ленной по экспоненциальному закону. Определить вероятность безотказной работы оборудования в : течение десятичасового полета, если среднее время безотказной ' работы по статистическим данным составляет 200 ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
