Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Р,(х) = (х — 3) 2 Следовательно, О при х. 3, Ра(х) = (х — 3)/2 при 3<х<5, 1 при х>5, 2. По опРеделению, Рт(х) = с(Р,(х)/с(х. ПоэтомУ 0 при х<3, рт(х) = 1/2 при 3 < х <5, 0 при х>5. График плотности вероятности р, (х) представлен на рис. 2 8.
3. Р =- (3,5 Х < 4,5) = Р, (4,5) — Р, (3,5) = (4.5 — 3)~2— — (3,5 — 3)/2 — - 0,5. 2.4. Случайная величина Х удовлетворяет неравенству — ! .. < Х < 1, причем в интервале от — ! до +1 она распределена рав. номерно, а каждое из значений — ! и +1 принимает с вероят. ностью 1/4. Необходимо: 1) найти и построить функцию распределения Р,(х) случайной величины Х; 2) вычислить вероятность Р того, что случайная величина Х попадет в интервал от — 1/2 до +1/2 Решение: По условию, Х вЂ” случайная величина смешанного типа.
1. При х< — ! Р,(х) = Р(Х < х) = О. При — 1<х<1 Р,(х) = Р(Х = — 1)-1-~рт(х) о(х = — + ! — = — + — =— Их ! я+1 х+2 4,~ 4 4 4 4 При х) ! 1 их ! 1 1 Е (х) =Р(Х= — !)+ ~ — +Р(Х=!) = — + — + — =1. 4 2 4 График функции распределения Е,(х) приведен на рис. 2.9. 2. Р= Р, ( — ') — Р, ( — — ') ='"" — ' " = — '. 2.5.
Случайные ошибки измерения дальности до неподвижной цели подчинены гауссовскому закону с математическим ожиданием т = 5 и средним квадратическим отклонением а = !0 м. Определить вероятность того, что: а) измеренное значение дальности отклонится от истинного не более чем на 15 м; б) при трех независимых измерениях ошибка хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине 15 м. Решение. а) Определение вероятности того, что измеренное значение дальности отклонится от истинного не более чем на !5 м, сводится к вычислению вероятности попадания случайной величины Х (ошибки измерения) с т = 5 м и о = 1О м на интервал от — !5 до 15 м. Используя формулу (2.8) и значения Ф(г) из приложения !1, получаем: а) Р,= Р(1Х!(15)=-Р( — 15(Х(!5)= Ф~ )— 1Π— Ф( ) =Ф(1) — Ф( — 2) — -Ф(1) — (1 — Ф(2К = ! — 15 — З ! 1О = 0,8413 — ! + 0,97725 0,82.
б) Вероятность Р, того, что при трех независимых измерениях ошибка хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной ве- личине ! 5 м, определится по Формуле Р, = 1 — (1 — Р,)' =- ! — (1 — 0,82)' 0,994, 2.6. Производится стрельба по подвикиой цели до первого по- падания. Вероятность р попадания при каждом выстреле равна 0,4. На стрельбу отпущено 4 снаряда. Вычислить: 1) математическое ожидание т, случайной величины Х вЂ” числа израсходованных снарядов; 2) дисперсию а„' и среднее квадратическое значение о, величины Х. Решение. Случайная величина Х может принять следующие значения: х, = 1, х, = 2, х, = 3, х, = 4.
Вероятности принятия величиной этих значений соответственно равны: Р(Х = — 1) = рл = р = 0,4, Р(Х = 2) = р,=(! — р) р = = 0,6 ° 0,4 = 0,24, Р(Х =- 3) = ре = (1 — р)' р = 0 6' 0 4=0 144 Р (Х =- 4) = р, = (1 — р)' р + (1 — р)' =- 0,64.0,4+0,64 =0,216, 60 1. По определению математического ожидания. имеем п т = ч', х! р; = ~~', х! р! = ! .0,4-1- 2 0,24 -1-3 0,144-1- 4 0,216 "- 2,2, с з с 2. Лля дисперсии получим о,'= ~', (х,— т,)' р, =(1 — 2,2)'0,4-1-(2 — 2,2)е 0,2! + +(3 — 2,2)' ° О,!44 -1-(4 — 2,2)'.0,216 1,38; о„= +)/о,'=)л (,38 ж 1,17. 2.7. Случайная величина Х имеет распределение Лапласа, плотность вероятности р,(х) которого р, (х) =+ е '1, Л) О. Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х. Решение: Математическое ожидание определяем по формуле (2.
13): ОО ОО т = ~ хр,(х)е(х= — ~ хе л(х. л à — л!л! 2 т,= — ) хел'ух+ — ~ хе-х."4(х. 2 Сделав в первом интеграле замену переменных а Ол т = —, ~ уе-ле 4(у + — ~ хе-" дх =— 2,) 2 ~ 2 Ол о ОЪ л Г -.(- — ~ хе-х' дх. 2,) о Следовательно, т„= О. Тогда о п„=и!4= ~ хер,(х)йх = — хееь" дх+— 2 2 х = — у, получим уе — лу,(у .! О (Ю Х'Е-"'4(Х = о ° л = — ~ уее-леуу-1- — ~ х'е — '"" 4(х=-) ~х е-'" 1(х.
о о о ~Так как плотность вероятности р,(х) имеет разные аналитические :выражения при х ( 0 и х ) О, то о ОЭ Известно [171, что х" е — л" с(х = Г (л+ 1) ал+' о (2.46) Следовательно, и„' = ).Г(3)/25 = 2М 2.8. По каналу связи с помехами передается кодовая комбинация, состоящая из двух импульсов. В результате независимого воздействия помехи на эти импульсы каждый из них может быть подавлен с вероятностью р. Определить характеристическую функцию 6,(/и) случайной величины Х вЂ” числа подавленных помехами импульсов. Решение. Возможные значения дискретной случайной величины Х: х, = О, х, = 1, х, = 2.
Вероятности Р; этих значений соответственно равны: Рт = (1 — р)5, р, = 2Р(! — Р), Р, =' Р'. Согласно формуле (2.36) имеем 5 62(/и) = Е Р2е!"2 = (! — Р)' + 2р(! — р) е/е + р'еж 2= ! = 1 — 2р + р' + 2рего — 2Раете + р'е"" = !+2р(ЕУС вЂ” 1) + ра(С/л — ! )' = [1 + р(СУо — !)[2.
2.9. Случайная величина Х имеет равномерную плотность вероятности в интервале от — [)/2 до р/2. Определить характеристическую функцию 6,(/и) случайной величины Х и нарисовать ее график. Решение. По условию нормировки, Р, (х) (р/2 + [1/2) = 1. Следовательно, Р,(х) = !/6. Тогда В!2 ! 62(/О).= ( Е!'" Р,(Х) С(Х = — ( Евм С(Х= — (Е!Саут — Е 1лр22) = ,) !!уо Ю вЂ” 522 51п !Ср /2) СР/2 Графики плотности вероятности Р,(х) и соответствующей ей характеристической функции 6,(/и) приведены на рис. 2.10.
,!у !у „у а Рис. 2.!О, Равномерная плотность вероятности (а) и соответствующая ей характеристическая функция (б) а2 л 1 1 сок ох — !5!пох 1 ! со5ох СЬ = — — с(п— 2п,) 1+от 2п,) ! -!-Са ! !" 5!и ох ! Г со5 ох ! — 3! — СЬ = — 3! С(П= — Е !к!, 2п,) 1(оа и 3 1!.о. 2 СО о так как ОР— с(х = — е — ! '1. с(н ох и !+Ха 2 о 2.11. Случайная величина Х подчинена уа-распределенн!о. плотность вероятности которого ил!еет вид ! хл22 — 'е — 222 при х)0, п)0, Рд(х) = 2л22 Г (л/2) ! 0 при х<0. Вычислить характеристическую функцию 6,(/и) и начальные моменты п2а величины Х. Решение.
Так как плотность вероятности отлична от нуля только при х ) О, то 6,(/о) = ~ ем р,(х) с[х = 1 ~Е!Сх Хаут — ' Š— "/2 С(Х= 2л!2 ! 1л/2) Ю ! Хаут — ! Е-<!22-!л!х 3Х 2 л 1 о Воспользовавшись интегралом (2.46), получим ! Г !и/2 — 1-,— !! П 2 т — луа 2"2' Г ! /2) !!/2 ! )"22 — ' + ' Начальные моменты т„связаны с характеристической функцией соотношением (2.37): 83 2.!О. Найти плотность вероятности р,(х) случайной величины Х, характеристическая функция которой имеет вид 62(/П) = !/(! + П ) Решение. Согласно формуле (2.36) имеем ОО рх(х) = — 6,(/Ь) е-!™ сЬ= — е — 2Ь = 2п,) 2п 3 1+ от В нашем случае оот Оо) = уи (1 — 2уо! — «тз — 1, туо туз б (уо) =уел(и+ 2)(! — 2уо)-чте — е, тута ав и, Оо) =уз и(и-!- 2)(и +4)(1 — 2уо) — ят' Л Р, (х) = Р (Х < х) = ~ р, (г) суг, Р (д)= — Р ~ — ").
1 1 (х — лт1$ рт(х)= —.ехр ~— о 1'2л ~ 2о' аа 1/2и йоя Следовательно, при О < д < а' — Уа -Уй а+а — я зак. !203 84 '(усу = у' и(и +2)(и +4)(и-1-6) (! — 2уо) уо1 '("1 = !я и(и+2)(и+4)...(и+ 2уе — 2)(! — 2уо)-"ш — ". туоь Таким образом, та — — п(и + 2)(и + 4)...(и + 2Й вЂ” 2).
2.12. Случайная величина 1' является линейной функцией случайной величины Х: У = д(Х) = аХ + Ь, где а и Ь вЂ” постоянные величины. Найти плотность вероятности р,(д) величины У при известной плотности вероятности р,(х) случайной величины Х. Решение. Так как обратная функция х = Ь(д) = (д — Ь)уа однозначна, то, подставляя ее выражение в (2.40), получаем Если, например, величина Х имеет равномерную плотность вероятности в интервале (х,, х,),то величина У будет распределена равномерно в интервале (ах, + Ь, ахя + Ь). Когда величина Х имеет нормальную плотность вероятности то ее линейная функция также распределена по нормальному за- кону где тп е пти+ Ь, ов — — (а)о.
Таким образом, при линейном преобразовании случайной величины ее плотность вероятности смещается на величину Ь, а масштабы вдоль координатных осей изменяются в а раз. 2.13. Случайная величина Х с равномерной плотностью вероятности (рис. 2.11) рт(х)=1у(Ь+а), — а<х< Ь, а< Ь, подвергается квадратичному преобразованию У = Х'. +а -а д а д х -а ут а а х -ахг дат а Рнс. 2.1! Плотность Рис 2.12 Фтнкния рас- Рис 2.13, Квапратнч вероятности случаи- препеления случайной нос преобразование ной величины Х величины Х. Ф' Определить и построить: 1) функцию распределения Р,(х) слу,'";"- чайной величины Х; 2) функцию распределения Р,(д) и плотность ыт вероятности рт (д) случайной величины У.
)й Решение. 1. По определению, При х -" — а Р, (х) = Р (Х < — а) = О, при — а< х< Ь к я Р,(х) = ~ р,(г) суг = — г ! я+а О+а 8+а — а пРп х ) Ь Рт (х) = 1. График функции распределения Р,(х) приведен на рис. 2.12. 2. При квадратичном преобразовании д = х'(рис. 2.13) функция д никогда не принимает отрицательных значений. Поэтому Р, (д = Р(У < д) = 0 при д < О.
а интервале ( — а, а) обратная функция х = Й (д) — двуз- начна (Рис. 2.13): х, = Ь, (д) = -1- )т д, ха = Ья (д) = — )л д. Ф Событие 1' < д равносильно попаданию случайной величины Х в интервал ( — )т'д, )/д), т, е. УУ (1 < д) = Р (ха < Х < х,) = Р ( — )тт д < Х < ')/д) = = Р (Х < ф' д) — Р (Х < — )У д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
