Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 4
Текст из файла (страница 4)
К этому событию ведут две гипотезы: Н, — была передана комбинация 11111; Но — была передана комбинация 00000. По условию Р(Н,)=0,7; Р(Н,)=0,3. Условная вероятность приема кодовой комбинации 10110 вместо 11111 равна Р(А! Н,) = 0,6 0,4 0,6 0,6.0,4 0,035. Аналогично Р(А ! Но) = 0,4 0,6 0,4 0,4 0,6~ 0,023. По формуле (1.21) находим Р(Н)!Р(А ! и,! 0,7 0,038 0 78 0,7 0,038 +0.3.0,023 Р(Н, ! А) ~~ 72(оо)72(А ! Но! о=! Р(Н2!А) = ' ' ' ' =0,22.
0,03)4 Сравнивая найденные условные вероятности, заключаем, что при появлении на выходе комбинации 10110 с вероятностью 0,78 была передана команда 11111. 1.16. Производится 6 независимых выстрелов по нели. Вероятность р попадания при каждом выстреле равна 0,75. Вычислить: 1) вероятность ровно пяти попаданий; 2) вероятность не менее пяти попаданий; 3) вероятность более трех промахов. Решение. 1. По условию вероятность попадания при каждом выстреле р = 0,75. Следовательно, вероятность промаха)7 = 1 — Р= = 0,25.
Вероятность ровно пяти попаданий по формуле (1.22) равна Р„(5) = Саарами) = 6.(0,75)'0,25 ж 0,356. 10 2. Требование, чтобы при 6 выстрелах было не менее пяти попаданий, будет удовлетворено, если осуществится 5 или 6 попаданий. Эти события несовместны. Поэтому по формуле (1.25) имеем Ро(т)5)= ~ Со Р'"4?~ =Сор'47'+СоР'д = = 6 (0,75)'0,25-1- (0,75)' ж 0,534. 3.
Вероятность того, что при 6 выстрелах будет более трех промахов, равна вероятности того, что при этих 6 выстрелах будет меньше трех попаданий (или ни одного попадания, или одно, или два попадания). Используя формулу (1.27), получим 2 Р,(т(2) = ~', Со Р'"4? =Сор 0 +Сор 47 +Сор 472= 82=О (О 25)8 -)-6. 0 75.(0 25)8+ 15.(0 75)2 (О 25)а 0 0376 1.!7. Вероятность Р появления события А при каждом испытании равна 0,2.
Производится 400 независимых испытаний. Определить вероятность Р„(й) того, что: 1) событие А наступит ровно 80 раз; 2) событие А наступит от 60 до 96 раз включительно. Решение. 1. Воспользуемся приближенной локальной формулой Муавра — Лапласа (1,24). По условию л = 400; й = 80; р = 0,2; 27 = 0,8. Следовательно, * — Π— р)) рр = )80 — 400 0,2)О 400 0,2 0,8=0. Тогда Р,,)80) — Р,)0)О 400 02.08 По таблице (см. приложение 1) находим р, (0)=0,3989. Окончательно получаем Рооо(80) =(1/8) 0,3989 т 0,0499. Формула (1.22) приводит примерно к такому же результату: Раоо(80) 0,0498. 2.
Используем приближенную интегральную формулу'Муавра— Лапласа (1.29) Р (60 ь 96) ф( ' — 40,2 1 ф( 0 — 400.0,2 ) 1 )2400 0,2 0,8 / 1 (22400 0,2.0,8 = Ф(2) — Ф( — 2,5) = Ф (2) — 11 — Ф(2,5) 1, По таблице (см. приложение П) находим Ф(2)=0,977; Ф(2,5)=0,994. Следовательно, Раоо(60 ( й ( 96) =0,977 — 1+0,994=0,991. !.18. Противотанковое орудие ведет стрельбу по танку. Всего производится 6 выстрелов, причем вероятность попадания в танк при каждом выстреле равна 0,3. Рассчитать: 1) наивероятнейшее число попаданий в танк; 2) число выстрелов, необходимых для того, чтобы с вероятностью 0,9 поразить танк, если для этого достаточно одного попадания. Решение.
1. Наивероятнейшее число попаданий йо находим по формуле (1.31). По условию, и = 6, р = 0,3, 4? = 1 — р = О,, .Следовательно, 6 0,3 — 0,7 ( й, ( 6 0,3+О, 3, т. е. 17 Между числами 1,1 и 2,1 заключено лишь одно целое число — 2. Поэтому наивероятнейшее число й, = 2. 2) Применив формулу (1.30), получим а > !од(1 — 0,9)/!оя(! — 0,3) ж 6,45. Таким образом, для поражения танка с вероятностью 0,9 достаточно произвести 7 выстрелов.
1.19. Систелда наведения ракеты имеет четыре датчика информации о цели 0„0,, Оз, 0„информация с которых поступает в систему управления ракетой. Каждый датчик независимо от других определяет параметры движения цели. Вероятности правильного определения параметров соответствующими датчиками равны: р, = 0,9, рз = 0,95, рз = 0,8, р4 = 0,85. Вычислить вероятности Рз(н), й = О, 1, 2, 3, 4, того, что правильную информацию не выдаст ни один датчик и выдадут один, два, три, четыре датчика. Решение. Для определения вероятностей Р,(й) составим производящую функцию. По условию, и = 4; р, = 0,9; д/д = 1 — р, = = 0,1; р, = 0,95; д/з = 1 — рз = 0,05; рз = 0,8; д/з = 1 — рз = =0,2; рз 0,85; дз= 1 рз 0,15 Тогда.
(г) = П (вд + р,г) = (О,! +0,9 г)(0,05+0,95г)(0,2+0,8 г)(0,15 + +0,85 г) = 0,0002 + 0,0056г + 0,0696г' + 0,3432г' + 0,5814г'. Искомые вероятности Рз(/д) равны коэффициентам при га. Следп- вательно, /,(О)=0,0002, Р,(1)=0,0056, Р,(2)=0,0696, Р,(3)=0,3432, Рд (4)=0,5814. 1.20. На участке обстрела находятся три цели. Вероятности р, попадания в первую, вторую и третью цели соответстеенпо равны рд = 0,4, рз = 0,3, рз = 0,2.
По участку произведено 12 выстрелов. Какова вероятность того, что в первую цель попадет 5 снарядов, во вторую — 4, в третью — 2 снаряда7 Решение, По условию, и = 12, рд = 0,4, рз = 0,3, рз = 0,2, рз = 1 — (рд + рз + рз)=1 — 0,9=0,1, /дд = 5, /дз = 4, /гз = 2, й,=12 †5 †4 в. Здесь р, — вероятность попадания в область, находящуюся ане целей, й, — число попаданий в эту область.
Согласно формуле (1.34) искомая вероятность 3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ 1.1. Разведывательная пеленгаторная система состоит'из четырех синхронно вращающихся антенн с неперекрывающимися диаграммами направленности (рис. 1.5), причем каждая антенна соединена со своим приемником. Длительность сигнала такова, что он не может быть обнаружен двумя приемниками. Найти связь события А (обнаружение сигнала пеленгаторной системой) с событиями Аь д = 1, 2, 3, 4, которые состоят в обнаружении сигнала первым, вторым, третьим и четвертым приемником. Ответ: А = Ад + А, + А з + Аз. 1.2.
Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. Пусть события: Аь д = 1, 2, — исправен д-й блон первого типа, В/, / = 1, 2, 3, — исправен /-й блок второго типа. Прибор работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие С, означающее работу прибора, через события Ад и В/. Ответ.' С = (А, + Аз)(ВдВз + В,Вз + В,Вз). 1.3. Известны события А, В, С, причем А с: В. Определить сложные события АВ, А + В, АВС и А + В + С.
Ответ: АВ = А, А + В = В, АВС = АС, А +В+ С = В + С. 1.4. Доказать следующие равенства: 1) А + В = А + АВ, 2) А ~ АВ = А + В, 3) А + В = АВ, 4) А+В=АВ;5)АВ=А+В. 1.5. Истребитель атакует боевой порядок противника, в составе которого 6 носителей и 3 постановщика помех, внешне друг от друга не различимых. Найти вероятность того, что атакованный самолет является носителем.
Ответ: 2/3. 1.6. В партии полупроводниковых триодов п стандартных н т бракованных При контроле оказалось, что первые /з триодов стандартны. Определить вероятность Р того, что следующий триод будет стандартным Ответ: Р = (и — /з)/(и + т — /д). 1.7. На пяти одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4 и 5. Две из них наугад вынимаются одна за другой. Р,з(5, 4, 2, 1) = (0,4)з.(0,3)' (0,2)'0,1 т 0,0276. 51 41 21 И 1В Рнс.
1Д. Лнаграмма направленности антенн 1э Найти вероятность того, что; а) сумма цифр на вынутых карточках является нечетным числом; б) вторая цифра меньше первой; в) вторая цифра больше первой ровно иа 1. Ответ: а) 3/5; б) 1/2; в) 1/5. 1.8. Набирая' номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь то, что эти цифры различны, набрал их наугад. Определить вероятность Р того, что набраны нужные цифры. Ответ: Р = !/А,',=1!90. 1.9.
Принимаются кодовые комбинации, содержащие пять не- повторяющихся цифр от 1 до 5. Какова вероятность Р того, что в одной принятой комбинации цифры образуют последовательность 12345?. Ответ: Р = МР„= 1/51 = 1/120. 1.10. В собираемый радиоблок входят две одинаковые радиолампы. Технические условия приема блока нарушаются, если обе .лампы с пониженной крутизной.
У монтажника имеется 10 ламп, из которых 3 имеют пониженную крутизну. Определить вероятность нарушения технических условий при случайном выборе двух электронных ламп. Ответ: 1/15, 1.11. В мастерской находятся а + Ь блоков от двух различных ралиоприемников, из которых два повреждены. Какова вероятность Р того, что повреждены блоки различных приемников? Ответ: Р = 2аЫ(а + Ь)(а + Ь вЂ” 1). 1.12. Самолет, имеющий радиолокационную станцию с дальностью действия Ю, осуществляет поиск со скоростью и в достаточно большом районе площадью Я, в любой точке которого может всплыть на время Г подводная лодка.
Найти вероятность Р обнаружения подводной лодки радиолокатором, если время Г неветпко и лодка обнаруживается при попадании в зону действия радиолокатора. Ответ: Р = (гьйь + 2 Юп()!З. 1.13. Посадочная система аэропорта обеспечивает заход на посадку в сложных метеоусловиях с интервалом между посадками самолетов ие менее 5 мин. Два самолета должны прибыть на аэродром по расписаншо; один в 10 ч, а другой в 10 ч. 10 мин.
Какова вероятность того, что второму самолету придется уходить в зону ожидания, если первый самолет может выйти на аэродром с отклонением от расписания в пределах ~10 мин, а второй— в пределах ~5 мин, при условии, что величины отклонений от расписания в указанных пределах равиовозможиы? Ответ; 0,25. 1.14. Искусственный спутник Земли (ИСЗ) движется по орбите, которая заключена между 60' северной и 60' южной широты. Полагая падение ИСЗ в любую точку поверхности Земли между укаэанными параллелями равновозможныьц найти вероятность того, что спутник упадет выше 30' северной широты.
Ответ: 141: 0,21, 1.15. При испытаниях 200 случайно отобранных резисторов в течение времени 1 оказалось, что относительная частота исправных резисторов равна 0,95. Определить число исправных резисторов. Ответ: 190. 1.16. Проводится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад равна 0,01, во второй — 0,008, в третий — 0,025.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
