Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(3.55) 3. Математическое ожидание линейной функции / и и ' М ~чр„аг Ха-ь Ь~ — ~~ а!м(Хг)+Ьл (3,56) г)=л г=! где аг Ь вЂ” неслучайные коэффициенты 4. Для любых Х и У М(ХУ) = М(Х) М(У) + К„„. Если Х н У не коррелированы (К„у О), то М (ХУ) М (Х) М (У). (3.58) 5.
Если С вЂ” неслучайная величина, то 0(С) = О. (3. 59) 6. Неслучайную величнну С можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат: 0(СХ! = С'Р (Х), а(СХ) 1С)а(Х). 7. Для любых случайных величии Х и У 0(Х~ У)= 0(Х)+0(У)~2Кхв, Дисперсия суммы (разности) некоррелированных случайных (К„э О) равна сумме их дисперсий: 0 (Х ~ У) - 0(Х) + 0 (У).
63 !3.63! (3.64! 2. ПРИМЕРЫ О,!5 0,25 0,15 О, 1О 0,15 0,20 У! Уз Уз к, 2/5 3/5 о (хч!у!) Р (у! =0,10+ 0,15 + 0,20=0,45, Следовательно, можно записать р (ут!х„1 3! 11 5!11 3111 6. Дисперсия линейной функнии, а; Х; + Ь опреде.чяется формулой ~== ! л л 0 ~ ~ а! Х! -!- Ь)= ~~ а!' 0!Хч)+2 ~~ а! а! КП ° ! ='! чС! Если все величины Х,, Хз, ..., Хл — не коррелировзны, то л л 0~ ~ а, Хч+ й)= Ъ'.
а,у0(Х;1. ч= ! 8= ! 9. 1(ля иеззвисимык случайных величин Х и У дисперсия их произве. дения 0(ЛК) 0 (Х! 0 (У! + лкз0(К) + лч,',0 (Х!. (3,65! 3.1. Дискретная двумерная случайная величина (Х, 1') описывается законом распределения вероятностей, заданного табли- цей Определить: !) законы распределения составляющих Х и 1'! 2) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что у' приняла значение у„и случайной величины )к при условии, что Х приняла значение х,.
Решение. 1. Для определения безусловных законов распределения случайных величин Х и У воспользуемся формулой (3.2): р (х,) = Х р(х„дт) = р(х„у,) + р(х„у,) -~- р(х„уз) = 1=! р(х,) = Х р(хз, уу) = р(х„у,) + р(х„уз) + р(х„уз) = 1=! = 0,15+0,25+0, 15=0,55. Таким образом, закон распределения случайной величины Х в табличной форме имеет вид Для величины )' по аналогии получим р(у,) = Х р (хы у,) = р (х„у,) + р (х„у,) = 0,10+0,15 = 0,25, ч=! р(д,) = р(х„у,) + р(х„у,) = 0,15+0,25=0,40, р(уз) = р(х„уз) + р(х„уз) = 0,20+0,15=0,35.
2. Условный закон распределения случайной величины Х при )к = д, определяется совокупностью условных вероятностей р(х,~у!), Р(хе~у!), которые по теореме умножения вероятностей равны: р !х,, у,! 0,10 2 р !х„у,! р(х,!у!) = ' = — ' = —, Р(хз/ут) = о(у, о (ук! 0,15 3 0,25 5 Следовательно, искомый закон в табличной форме имеет вид По аналогии находим условный закон распределения величины У при Х=х, )хз! = " = ' = — Р(у !хз) р(х„уч! О,!5 3 о (хз! 0,55 11 р(хз, уз! 0,25 5 р(х,) 0,55 11 ' р (х, уз! 0 !5 Р(уз!хз)= ' = — '= — ° О !хз) 0,55 Для контроля воспользуемся условием нормировки 2 а ~ч; Р(х!) =045+055=-1, ~ Р(У1) = — 025+040+035 =1, 2= 1 1= 1 2 3 у 3 3 3 Р(х2!У2) = — + — =1, '9 р(у/!хя)= -1- + =1, 3 3 .Йй 11 11 !' 1=! /=1 3.2, Вычислить и построить двумерную функцию распределения Рв(х, у) независимых дискретных случайных величин Х и У, если случайная величина Х принимает три возможных значения О, 1, 3 с вероятностями !/2, 2/8 и 1/8, а )« — два возможных значения 0 и 1 с вероятностями 1/3 и 2/3.
Решение. По определению, Р, (х, у) = Р (Х < х, 1' < у) - ~~р~ ~ Р (Х = — х„)« = у,), к.(«»!с.» где 1=0, 1, 3, /=О, 1. Так как по условию случайные величины Х н У независимы, то Ре(Х, у) = ~Ха~ Р (Х '= Х!) ~ Р (У = !/2! . «. ( У/С» При х<0 Р(Х = х) = О. Следовательно, в этом случае при любом )' из области его возможных значений Р,(х, у) = О. Аналогично при у<0 Р()«у) = О. Поэтому при любом Х из области его возможных значений Ея (х, у) = О. При 0<х< 1 и О < у<! ! ! 1 Ре (х д) =- Р ( Х =- хе =- 0) Р ()-' =- де -= 0) =- — — = —.
2 3 о При О х '1 ну ! Р, (х, д) =-- Р (Х = х, — - 0) [Р ()' = де = О! + 1 +Р(!'=у, =1)1 == — ~ — +— г'!3 При1 к<Зи 0<у<! Еа(х, д) =-(Р(Х= хе — — 0) + Р(Х= х! =1)'Х х Р()« =де =-= О) — ( — + — '1— з/ з 24' При 1<х<3 и у~) /1 3! у Р,(х, у) = ! — + — ! ! = —. 3! в' При х) 3 и 0<у< 1 /1 3 1! 1 1 Ря(х' д) ( +, '! ! (2 " а! нс. 3.4 Двумерная фуннния раснреае- ения Прих~Зи у)! График функции распределения Р, (х, д) представлен на рис.3.4. З.З. Совместная плотность вероятности р,(х, д) гауссовского распределения двумерной случайной величины (Х,)«) имеет вид ! р,(х, у) = .
ехр )«! 2по он )' — 8„„ 2/!хн !х — н2«) (и — ж»1 (х — и«!2 2(1 — 8~, ) !д — н2н! где т„о2н, о„, о„, Й„е — параметры распределения. Определить: 1) плотности вероятностей р, (х) и р, (у) случайных величин Х и )«; 2) условные плотности вероятностей р,(у)х) и р, (х(у) величин Х и )'. Решение. 1. Согласно формуле (3.!5) имеем р, (х) = ) р, (х, у) с(у.
М Производя замену переменных (х — т„)Д 2 и„= и, (у — л2 )/)«2 о„= о, получим » ! р,(х) = ехр ~ — ) ! ехр ~ —, а'+ 82 ) ) (, 1 — /12«н у«2 но«У 1 — Й«н «н Известно (17), что ехр( — р х ~ух) 2(х = — ехр( — ). 2 2 )«й / 42 р ~ 4ре ! р,(х)= е-"' с (х — т „1' р! (х) = — ехр ~— )с 2л ах 1 (у — тд ' 1'2л а,с » Ус = — ! У»= ! Ус 0,25 0,40 0 35 псу;1 ' х,=о 477 и (хс 1 у») ах сс,с о= с о=а О,!5 О,(О Ус= 0,25 О,!5 У»=О О,!5 '1, 20 Боспсльзовавшнсь этим интегралом, найдем Таким образом, величина Х подчинена гауссовскому закону с параметрами сп„н о,.
Произведя аналогичные вычисления, получим 2. По формулам (3.18) находим условные плотности вероят- ностей а»С и Из этих выражений следует, что р, (у) х) н р, (г)у) представляют собой гауссовские плотности вероятности с параметрами 3.4. Случайная точка на плоскости распределена по закону, приведенному в таблице Найти: 1) математические ожидания случайных величин Х и У; 2) дисперсии величин Х н У; 3) условное математическое ожидание величины Х при )х = у»; 4) корреляционный момент 7(,ус и коэффициент корреляции 14 „.
Решение. Предварительно определим необходимые законы распределения. Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений Х: р(х, =- О) — -0,45, р(х, = 1)=0,55. Закон распределения величины Х имеет внд: Сложив вероятности хпо строкам», аналогично найдем распределе- ние величины )' Вычислим условные вероятности возможных значений Х при )' = = у» = 1: и (хс, у»! 0,20 4 О,!5 3 р(х,(у»)=- ' ' = — — '= —, р(х,1у,) = — '. = —. а(у»1 О 35 7 0,35 7 Следовательно, л(ожем записать в табличной форме Ф Воспользовавшись соответствующими определениями и найден.
ными законами, получим: 1. т =~~ хсР(хь У!) = ~з, х Р(х)= 0 045+1 055=055, с с спу = ~чр~ ~ у(р (хь у!) = ~ч', у(р (у!) = / с = — — ! 0,35+0 0,40-1-1 0,35= 0,10; [)(Х)= ~~д (х, — т„)'р(х; У/) = ~х (х! "") Р(х!) цр(г,)--т, '=О 0,45 — , '!.0,55 — 0,55о ж 0 248, ! з р(у) — чз ч; (у — т,)' р(хп у!) = — ~', (У! — ио) Р(д~)= /= 1 у (У) — т„'=1 0,25-[-0 0,40+! 035 — 0,0! =0,59! 2 3 3 3. /[4(Х[д.= !) =,')'„х!Р(х [до) =0 — + 1 з 4.
К о — — 2' 2' (х! — тх)(д! то)Р (х! У!) ! — ! ! ! (х — т„) [(у! — ио) р (х! У!) + (Уо то)Р(х! Ух) + (у т ) р (х уо)[+ (г, — т )[(у, тл)р(х, у,) -т— (у, — т„)р(х,, д,) + (до — то) р (х,, уо)[ = (Π— 0,55) [( — ! — 0,10) ° 0,10+(Π— О,! 0)0,15+ (! — О,!0).0,201 4- + (! — 0,55) [( — ! — 0,10).0,!5 + (Π— О,!О) 0,25+ (! — О,!О) О,!5! = = — 0,055, /с = К„, /а,оо —— — 0,055/)/0,248 'у' 0,59 — О,! 44, 3.5. Совместная плотность вероятности р,(х, у) двумерной с !учайной величины (Х, г') имеет вид 4хде — "' — и, х)0, у О, О, х(0, 9~0.
Определить: 1. Математические ожидания т„и т, величия Х и )'. 2. Дисперсии В (Х) и Р (г") составлявших. Решение. Предварительно найдем плотности вероятности величин Х и У: О р,(х) =- ~ р,(х, у) с[у= 4хе —" ~уе — о'с[9 =2хе- *, х)0. рд(у)= ~ро(х,д)с!х=2уе "*, 9)0. о 1. т„= ) хр,(х) с[х= — 2< хое "*с[х. о о 99 л+1 '< г~— Так как х" е *с[х = ~ прп а ) О, и ) — 1, то 2 л+ ! 2а о тх —.= 2 = Г ( — ~ = —, и, = 2 ~ до е — о* с[у = —; 2 ) ° 3 у'л ", .
ул, 2 2 2 2 2. с)(Х!= < (х — гп„)ор! !х)!!х < хор!(х)с[х — т,' о о . гЖ/ о //!у) =- /) (Х) = ! — и/4 3.6. Известна совместная плотность вероятности р,(х, у) случайных величин Х, и Х, Найти двумерную плотность вероятности р,(д„.у,)случайных величин У'! и Ум если )', = аХ, + ЬХо, 1'о = сХ, + с/Хо, где а Ь, с, с[ — постоянные коэффициенты. Решение.
Если определитель системы, составленный из коэффициентов а, Ь, с, с[, отличен от нуля, то сивтема из двух линейных алгебраических уравнений у, = ах, + Ьхо, уо = сх, +с[хо имеет однозначное решение: х, = а!!!/! + Ь,до, хо = с,у, + !2!Уо, где коэффициенты ап Ьо с,, г/! выражаются через а, Ь, с, с[. В дан ном случае якобпан преобразования (3.38) д!х,, хо! ! ! 1 ! Оо— д!Уо Ух! дСоо УИ <!!У1Н!х, дУ/дх,[ <с О< од — ос д(х„х„' < ду,/дх, ду,/дх, с д Следовательно, в соответствии с (З.З?) получим 1 Р,(у„у,) =- — Р, (а, у, +Ь, уо с, у, +
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
