Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3.8. Вычислить функцию распределения Р,(у) и плотность вероятности р,(у) случайной величины !', если )к = ппп (Х„Х,) и известна совместная плотность вероятности р, (х„хя) случайных величин Х1 и Х2. Решение. )к = ппп (Х„Х2) означает, что (*Х1, если Х,<Х„ 1Х,. если Х,) Хя Следовательно, для Р, (д) можем записать Р,(д)=Р()«<У)=Р(Х, <У!х,<Х2! +Р(Х,<д!хя Х) = ~ р,(х„х,) 2(х! ихя+ ~ ~ ря(х,, хх) 2(х! !(Хэ = к 2 и =- ~ 2(х1 *) р (х,, Х2)2(Х2 + ~ е(Х2 ~ р«(х1, хя)е(х, = к, — / «2 ! «*! , *)к*.— ! «.!*.
*>«*] «,(*.*~к* — ! «(*» )к" ] где " (У в л1 У вЂ” Х2) — ~ ] Ря(х,„ х,)2(Х12(Х2 = Д к, У «« = ] 2(х1 ] Р (хм Х2)г(Х2 + ~ !(Х2 ~ р,(х„х,)с(хл. Прадифференцировав Р,(у) по у, получим плотность вероят. ности 2 Р,(У)= — = — ] 2(х1 ] Р,(х„х,) 2(Х2+ др«(у! д ду ду у + ] г(Х2 ] р, (х,, х,) 2(Х1~ = ~ р,(у, х,) 2(х2 + ] р, (х,, у) 2(хл. к в Д При независимых Х, и Х, р,(х„х,) = р,(х,)р,(х,).
Поэтому формулы соответственно примут вид: Р,(у) '= Р,(у = х,) + е"1(д = х,)— — Р1(у = Х1) Р1(у = х ). Р1 (у) 2(! 1(У)(2(у р1 (у х1) (1 Р1 (у Х2)! + +р,(у =- х,) (! — Е;(д = х,)). 3.9. Получить формулу для плотности вероятности р,(у) случайной величины !' == ! Х, ~- Х, ! при заданной совместной плотности вероятности р, (х„х,) случайных величин Х, и Хе. Решение. Рассмотрим предварительно вспомогательную случайную величину Х = Х, + Хя. В соответствии с (3.4!) и (3.42) плотность вероятности р, (х) величины Х имеет вид Ю Р, (х) = ~ Р, (х 2- хк, х2) 2(Х2. Интересующая нас величина !' связана с величиной Х равенством )к = ! Х !. Так как для данного случая то 2 2 2 Р1(х) 2(хл — ~ Йх! ] Р2(хл, Х2)2(х2 + ~ Р1(лк)е(Х2 Д к, — ] 2(Х2 ] рх(х„х,)!(х,= = Р,(У =-х,).+ Р1(у =х,) — Рх (У= х„д =хк).
р, (д) = Х р, (й, (д)! ! й,' (д) ! = р, (д) + р,( — д), д ~ О, «2 р,(у)= ( р,(у+ х„х,)2(х2+ ! Р,( — у ~ х„х,)1(х„у' О. аХ, с вероятностью р, ЬХ, с вероятностью у=1 — Р. Г[ри независимых величинах Х, и Хе выражение для р, (у) примет вид Р1 (У) = ! Р (хе)[Р1 (У -+ х1) + Р, ( — У +. Хе)! 2[хе. 3.10. Найти плотность вероятнос1и р, (у) случайной величины У = (1 + Л) а Х1(2 + (1 — Л) ЬХ2!2, где Х, и Х, — случайные величины с совместной плотностью вероятности р, (х„хе); а и Ь вЂ” постоянные величины; Л вЂ” дискретная случайная величина, принимающая значения + 1 и — ! с вероятностями р и а = ! — р. Решение.
Из условия ясно, что Поэтому условная плотность вероятности р, (у! х„х,) определится выражением р (у! х, х ) = рб(у — ах,) + аб (у — Ьхе). Безусловная плотность вероятности Р1 (У) =- ) ) Р, (У!.К1, Х,) Р, (Х„Х,) К[Х12[Х2 = [рб (у — ах1) + 1)б (у — Ьхе)! Р2(х1, хе) к[х1 к[хе. Выполнив интегрирование с дельта-функцией, окончательно получим г ! р, (у) == Р— ~ р, (у ! а, Х2) к[хе + д — ( р, (х,, у ! Ь) к[х1 . [л! ,) ' ' !Ь! Если случайные величины Х, и Х, независимы, то формула упро- щается: ! р,(у) = р — р,(у[а)-[-д — р,(у! Ь). !а! !з! 3.11. Независимые случайные величины Х, и Х, подчинены закону Пуассона с параметрами Л, и Л, соответственно Р(Х1=)2)= — ' е ", Р(Х2 =й) = — ' е — 2, П =О, 1, ...
Определить закон распределения случайной величины = Х1+ Хе. Решение. Решим задачу двумя способами: 1) непосредственно используя законы распределения, 2) с помощью аппарата характеристических функций. ! . Суммируя вероятности всех независимых исходов, благоприятствующих осуществлению события ()' = и), можно записать =е — 1-1 — '~1 -~- — ~ = 1~ '! е-1ы+'21, п=О, 1, 2, л! Л2 л! 2.
Определим характеристические функции случайных величин Х,иХ,; у . Ле у (Л,еы)2 6 ()о) М (еьм) 2~2 е1,„е 1, е И ~~ И 1=2 2=О =ехр( -Л,) ехр(Л, егч) =ехр [Л1(ег' — 1) !. По аналогии имеем 6„, (/с) = ехр [Л,(еге — !)!. Тогда в соответствии с (3.14) получим 6„(гс) = 6„, ([и) 6„,(гс) =ехр [(Л1+Л2)(ег — 1)!. Таким образом, случайная величина У также подчиняется закону Пуассона с параметром Л = Л, + Л,.
Этот результат можно обобщить на сумму нескольких пуассоновских случайных величин. 3.12. Найти закон распределения случайной величины У = = Х, — Х„где независимые случайные величины Х, и Х, подчинены закону Пуассона с параметрами Л, и Л, соответственно; Р(Х,=Ф) = — 'е — м, Р(Х, =А) = — ее-'ч а=О, 1, 2, И И Рис. 3.5 Область интегрирования, оиуеиеляю- шаи г1(у) Решение. Суммируя вероятности всех независимых исходов, благоприятствующих появлению события (1' = и), можем записать Р(У= и) = ~~~ Р(й) Р(п+ й) =Р(Х, =п) Р(Х, =0) + 2=О +Р(Х, =и +1) Р(Х, =1)+ ... +Р(Х, =и+3) Р(Х,= и)+ . Е-Ъ, 2 Е-а, Š— 11,Чан)а ~ ~1 ~2 и -З 0 У Воспользовавшись представлением функции Бесселя и-го порядка от мнимого аргумента г'„(х) в виде ряда г'„(х) = ( — ")' 'эт ' ( ) а-о полччим Р(Г =П) =Š— и' ("' ) (ои (2)Г), 'Иа), =О, ~ 1, Ч-2,.
Приведенные вычисления справедливы только при и ) О. Однако если повторить их для и - 0 и учесть равенство / „(х) = = г„(х), то придем к заключению, что полученное выражение остается справедливым и для отрицательных значений и. 3.13. Случайные величины Х, и Х, независимы и равномерно распределены в интервале (О, 1), Вычислить функцию распределения Е1(у) и плотность вероятности р,(у) случайной величины У = Х,Х,, Решение, Областью интегрирования, которая определяет Р, (у), является заштрихованная область, изображенная на рис. 3.5: 1(у) Р(у <У) 1 РО/ ь У) 1 Ог(х12(ха <З,1 1 1 ) г(хт ) "хв= ! — ~(1 — — 13х,=у(1 — (ну). х, / и а ни и Следовательно, (о при у <О, Рг (У) = (у (1 — ! и у) при О < у < 1, 1 при У~1. Дифференцируя Р, (у) по у, получаем плотность вероятности 0 при у<0, ра(у) = — )п у при 0<у<1, 0 при у~1. 3.14.
Двумерная случайная величина (Х, г') распределена по закону, приведенному в таблице к, 2 0,2 о,а 0,2 0,1 0,2 0 Уг = — 1 У,=о Уа=! Лля определения 0(7) воспользуемся выражением (3.52), при этом учтем, что О(3) =- М(32)— з М (7') = Х а. (2хг + у,') р;г — — (2 х, + у',) р„+ Г= 1 + (2х, + у,') ра, +(2х, + у,')' р„+ (2 ха + у,=)рая — ' + (2хг + уг)яр!а + (2хя + у') р а = !' ' 0 1 ! (2 1+!)2 ' 0 2 ' + (2 ° !+0)2 ° 0,3 с(2 ° ! — '!)' ° 0,2.—.
4,9, 0 (Л) = 4,9 — 1,92 == 1,29. Задачу можно решить, используя свойства (3.54) и (3.55). Однако при этом следует предварительно определить по формулам (3.2) законы распределения случайных величин Х и )'. Определить математическое ожидание М (3) = и, и дисперсию 1 1 В(Л) = а,' случайной величины Е= 2 Х+ 1".
Решение. Используя формулу (3.51), имеем: К пг, = Х Х (2х; + у,')ргг — — (2х, + у,')р„+ (2х, + у,') ря, + 1=1 1.=1 + (2х, + у,*) р„+ (2х, + у,')р„+ (2х, + ут) р,а + -!- (2ха + у,',) р„= (2 0 + 1) 0,1+(2 ° ! +1) 0,2+ +(2 01-0)0.2+(2 ! -1-0) 0,3+(2.0+1) О+(2 1+1) 0,2=1,9. 9 ав .
12оа 97 У к, 0,20 О,!6 0,ЗО 0,)6 ело 0,06 У~ У~ О,З6 0,)6 ,4. )/3 Оь в)х, ~ гп 3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ 0 при х(0, у»0, при 0(х» 1. 0(у» ! при ))(х. ), у>! пон х>1, 0(у<'- ! , ~1 у)1. 0 (! — Р~) (1 Р4) Р,(х,у)- — - 1 -Р, 0,45 0 5 го 0,05 У2 ! ! — Рг 11 3.15. Найти математические ожидания, дисперсии и корреляционный момент случайных величин (7 и У по заданным аналогичным характеристикам случайных величин Х и У, если (7 = аХ + Ь!', У = сХ + г[У, где а, Ь, с, 4( — постоянные коэффициенты. Решение. На основании формул (3.55), (3.5!), (3.29) и (3.57) имеем: М ((7) = М (аХ + Ь 1' ) = аМ ( Х) + ЬМ ( 1'), М (У) = М(сХ + г(У) = сМ (Х) + г(М (1'), В ((7) = О (аХ + ЬУ) = а'О (Х) + ЬЧ) (У) + 2Кву = =аЧ)(Х) + ЬЧ) (!') + 2аЬ И„„о„ов, 0 (У) = Р (сХ + с[У) = сЧ) (Х) + а4О (1') + 2Кку = = сеО(Х) + е(40(У) + 2сгИ„, о,.а„, К„.
= М([и — М((7)[[У вЂ” М (У)!) =1 )4(иУ)— — М((7)М(У) = М [(аХ + ЬУ) (сХ + е(У)! — [аМ (Х)+ + ЬМ (У)! [сМ (Х) + йМ (1')! = асО (Х) + ЫО (У) + + (Ьс + а4() К,„= асО (Х) + Ьг[О (1') + Рс „о„о„. Если Х и 1' независимы, то выражения для О ((7), О (У) и К„, упрощаются: О((7) = аЧ) (Х) + ЬЧ)(У), О(У) = сЧ) (Х) + г['О (У)> К„, =- асО (Х) + Ьг[О (1'). 3.. Двоичный канал связи с помехами описывается совмест- 3.1. Д нымн вероятностями Р(хп уг), 1 = )' = 1, 2, указанными в таблице Вычислить !) априорные вероятности р (х,) передаваемых сигналов х, и вероятности Р(уз) принимаемых сигналов уб 2) апостериорные вероятности Р (х; [у;); 3) вероятности перехода Р(у)[х,) сигналов х; в ун Отвея: 1) р(х,)= р (х,) =0,5, р(у1)=р(уе) =0,5; 2) Р(х,[у,) = =Р(х,[у)=09, р(х,[у)=Р(х[у)=01; 3)Р(у,[к1)= = р (у,! хе) = 0,9, р (у, [х.) =- Р (у,, [1,) =- 0,1.
3.2. Закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей Найти: !) безусловные законы распределения случайных величин Х и !') 2) условный закон распределения величины Х при условии 1' = у,. Ответ: 3.3. По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в пель прн первом выстреле равна р,, при втором —,ве Найти функцию распределения Ре(х, у) двумерной случайной величины (Х, У), где Х вЂ” число попаданий прн перв~ м в.эстреле, а У вЂ” число попаданий при втором выстреле Ответ: 3.4. По каналу связи передается один раз дискретный сигнал, вероятность правильного приема которого р = 0,8. Определить заков распределения в табличной форме и функцию распределения Р,(х„ у) двумерной случайной величины (Х, У), где Х вЂ” число правильно принятых сигналов, а 1' — число неправильно принятых сигналов 4' 00 Ответ: в! х =1 у,=о »У»= ! о 0,2 О,В 0 0,2 прн 0(х(1, у) 1, Р ( ) 08 при х)1, 0(У~<1, 1 при х)1, У)1, 0 в стальных случаях.
3.7. Независимые случайные величины Х 'и У распределены по закону Гаусса с параметрами т„= 1, ту —— — 3, и, '= 9, о„' = 16. Написать выражение для плотности вероятности рэ»х, у) сисз емы случайных величин (Х, 1'). Оптещ: р, (х, у) — — ехр <— » Г »х — »1' »У+ Зу 24л <»В 32 3.8. Независимые случайные величины Х и У имеют равномерные распределения соответственно в интервалах от 0 до 1 и от — ! до 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
