Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При применении критерия х' необходимо, чтобы величмны и и тц были достаточно велики (рекомендуется и > 5, чг > 5 — 8). Есяи число наблюдений в отдельных интервалах очень мало (одно-два наблюдения), то следует объединить некоторые интервалы. 4.1. Ошибки )5 измерений дальности до цели с помощью радиодальнсьмерн Представлены тя<ьчицей Интервалы, В 2!7 †2 213 †2 2!5 †2 219 †2 221 †2 ю р",/й = 1/24 ° 2 = 0,0208, ра/й = О,!25, р,'//1 = 0,208, р,"/й = 3/24 ° 2 =- 0,0624, р,'/й = 0,0834. Хг, М 3/15 р; = — тн/а 3/!5 2,1 15 4/15 1/15 2/15 е 1 т-ч т,= — х-м .— и 1 г =-1 — 15 2 — 10 3 — 5.
4 + 3+ 12 2+ 18 ! 4 ' м р,"/й/ га! йг 3 Гв Р„*=. — Ят' Ха т — (т')' = 1 //г 12 Ркс. 4.!. Эмиирическая функция распределения Рис, 4.2. Гистограмма выборки 11? Требуется: 1) построить распределение выборки и статистическую функцию распределения г"; (х); 2) определить выборочную среднюю т„* и выборочную дисперсию 0; ошибки измерения.
Региение. Вариацгюнный ряд имеет вид: — 15, — !5, — 10, — 10, — !О, — 5, — 5, — 5, — 5, 6, б, 6, !2, 12,!8. Он содержит шесть различных значений: — 15, — 10, — 5, 6, ! 2, 18. Частоты ч1 этих значений равны соответственно: 2, 3, 4, 3, 2, !. 1. Распределение выборки представим таблицей Наименьшее значение ошибки измерения Х равно — !5. Следовательно, Р; (х) = 0 при х ( — 15. Значение Х ( — 10, а именно х,= — 15, наблюдалось два раза; поэтому Р; (х) = 2Л5 при — 15( «-х ( — 1О; при — 10(х ( — 5 г*, (х) = 2/15+3/15=5/15. Продолжая аналогичные рассуждения, получим результаты, приведенные в таблице График функции Р; (х) показан на рис.
4.1. 2. Используя формулы (4.5а) и (4.6а), получаем: 225 2+ !Оп.э+ 25.4 1-35.3+ !44.2+324.! / 4 )к !5 (,3/ 4.2. В течение 24 ч регистрируюшее устройство контроля каждьш час фиксирует напряжение сети. После первичной обработки данных получено распределение выборки в интервальной форме, ирпгсдепное в таблице Построить гистограмму выборки Решение. Из таблицы видно, что частичные интервалы одинаковы й, = й = 2 В. Поэтому в соответствии с (4.2) получим: Зля построения гистограммы отложим по оси абсцисс указанные в таблице частичные интервалы и на каждом из них построим прямоугольник высотой рг'/й = рг' (и), 1 = 1, 2, 3, 4, 5.
Например, над интервалом 2!9 — 221 прямоугольник имеет высоту 0,208. Гистограмма выборки изображена на рис. 4.2. 4.3. Генеральная совокупность распределена по нормальному закону с неизвестными параметрами т и и: р, (х) = (2цпе) — 'га ехр ! — (х — т)'/2о'!. Вычислить по независимой выборке х,, х,, ..., х„оценки неизвестных параметров т и ел 1) методом моментов; 2) методом максимального правдоподобия.
Решение. Одномерная нормальная плотность вероятности определяется двумя параметрами т и и'. 1. Парамет;1ы т и и' представляют собой соответственно начальный момент первого порядка т, и центральный момент второго порядка т",: т, =- т, т", = 1?т = оя. Начальный эмпирический момент йервого порядка равен выборочной средней т,* = т„', а центральный момент второго порядка — выборочной дисперсии т," = 0„'. Приравняв в соответствии с методом моментов соот. ! -т-/Л-Л а д Ю тл 17 ггд г15 г/г ггд гг1 ггЗ зетствующие теоретические и выборочные моменты, получим оценки параметров нормального распределения: т = т"„, о = )~ 0;.
л (п / (т, а) = — и 1п о — — 1п (2и) — — ~ (х, — т)'. л ! тз 2а' 4=! Используя формулу (4.21), получаем систему двух уравнений относительно т и о', ! /" — зэ' х,— ит =О, о'~~4 д (гч — т!з д!и/ (т, о! ! дт 2ог ~4 з=! д!л д!лЕ!:и, л! л, ! и оз 'Ч (х! — т)г =- О. .=! Отсюда находим ! кз и ъх и! л .аа '= ! л л аз=- — ч (х, — ги)' = — эз (х,— т'„)о= О'„. л .ал В данном случае оценки, найденные по методу моментов и по методу максимального правдоподобия, совпадают.
Онн являются состоятельными, причем первая нз них несмещенная, а вторая смещенная. 4.4. Произведено !6независимых измерений случайной величины Х, распределенной по нормальному закону. По выборке найдена выборочная средняя и„" = 4,!. Оценить неизвестное математическое ожидание т„случайной величины Х по выборочной средней при помощи доверительного интервала с надежностью р = 0,95, если: !) среднее квадратическое отклонение величины Х известно и равно единице; 2) среднее квадратическое отклонение а„неизвестно, а выборочное среднее квадратическое отклонение величины Х з = !. Решение. !. По условию, 6 = 0,95. Следовательно, гр(га) = = (! + (1)/2=(! + 0,95)/2=0,975.
Из таблицы приложения П !на 2. В соответствии с (4.!9) функция правдоподобия имеет вид л л (.(т, а)= П р,(х,; и, а)=(а)/2и) "П ехр! — (х,.- и)4/2аз)= 4= ! =(а) 2п) ' ехр — ч' (х,— т)'/2ог 1-! а логарифмическая функция правдоподобия: находим значение га — — 1,96, котоРомУ соответствУет гР (го) = = 0,975. Определим точность оценки б = гзо„ф'й= 1,96/1 Гб=- = 0,49.
В соответствии с формулой (4.23) прн т,' = 4,1 доверитель. ный интервал имеет доверительные границы: т,' — 0,49=-4,! — 0,49=3,61, т„' + 0,49=4,1+0,49=4,59. Таким образом, значения неизвестного параметра т , согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству: 3,61 ( та ( 4,59. 2. Случайная величина Т = (и,' — т„))/и/3 подчиняется браспределению Стьюдента с й = и — ! степенями свободы. Поэтому доверительный интервал строится по формуле (4.24) По условию, /1 = и — 1=16 — 1=15, сз = 1 — (), оз/2 = (!в — )!)/2=(! — 0,95)/2 =0,025, Используя таблицы приложения!1/, получаем: /з! агг = /!з; о,ого= = 2,131.
Тогда доверительные границы равны и„' — /з. аггз/)/'и = 4,1 — 2,131 !/4=3,57, т", + /з!аггз'~' и = 4,1+2,13! !/4 4,63. В данном случае с надежностью 6 = 0,95 неизвестный параметр заключен в доверительном интервале; 3,57 ( тз ( 4,63. 4.5. Произведено четыре измерения дальности до неподвижной цели с помощью радиолокатора, в результате получены следующие данные: 2470, 2490, 2580, 2520 и Оценить точность радиолокатора при надежности оценки !) = = 0,95.
Решение. Определим выборочные характеристики и4„" и з'. По формулам (4.5) н !4.15) нмсеи; ! ъз 2420+2490-(-2580 '!5!20 г '~ х т = 251,! м, и 4 (=! г ! ~' ' г 45з+25г+65з+54 =2300 м'. л — ! 3 По таблице приложения! П для й = 3, а/2=(1 — (1)/2=(1 — 0,90)/2=— = 0,025 и ! — а/2=1 †,025=0,975 находим Хг: а/г =Хо;оооо= 9 35 Хз! !-а/г =Хз, о отз =0 216 Границами доверительного интервала для дисперсии о', являются: Хгз:а/г 9,35 Хз; !-а/г 0,246 Тогда 736 м' о,' ( 31900 м'. Ыв Рнс. 4.5.
Нормальные плотностп вероятности и ошнбкн первого н второго рода Определить: а) выборочную среднюю т„' измеряемой величины; б) выборочную К и исправленную в' дисперсии ошибок прибора Ответ: а) т„'= — 100; б) О; = 34, з'=42,5. 4.2. Из 100 транзисторов в среднем бывает два бракованных.
Проверено десять партий по 100 транзисторов в каждой. Отклонения числа бракованных транзисторов от среднего приведены в таб- лице которое является либо суммой известного сигнала в(1) и помехи и(/) (гипотеза Н,), либо одной помехой и(/) (гипотеза Н,), Пок!еда и(/)— гауссовский стационарный шум с нулевым математическим ожи- данием и известной дисперсией Р. Априорнь!е вероятности гипотез одинаковы: р = в = 1/2.
В момент / = 1, производится измерение величины Х (/). Требуется: !) построить правило решения; 2) вычислить услов- ные вероятности ошибок первого и второго рода, а также полную вероятность ошибки. Решение. При отсутствии сигнала Х = и, поэтому р, (х) = (2пО)-'/в ехр ( — хе/2О). При наличии сигнала Х = в + и. Следовательно, р, (х) = — р, (х — в)=(2п О) — 'и ехр 1 — (х — в)'/2И. 1. В соответствии с (4.29) правило решения принимает вид /(х) = р, (х)/Рп(х) = ехр( — (за — 2 хв)/201 ) 1, что эквивалентна (погле логарифмирования) неравенству х ) в/2.
Такил! образом, принимается решение о наличии снштала (Н,), если измеренное значение х . з/2 (область Г,); при х ( з/2 (область Г„) копстатируетгя отс)тствне сппшла (Н„) 2. По формулам И.26) и (4.28) находим вероятности ошибок: а — ( рп(л!пл. =. 1 — Ф( /2~' О), 1',= ') /Ч(х)бх =1 — ф(В/2)гО), Р, =а/т +(14 = 1 — Ф(з/2)/ 0), где Ф (х) определяется по таблице приложения 1!.
Графики плотностей вероятностей„а также ошибки а и (1 пока- заны иа рис. 4.5. з. здддчи и отмты 4.1. В результате пяти измерений физической величины Х одним прибором, который не имеет систематической ошибки, получены следуктщие результаты: 92; 94; 103; !05; 106 !21 Построить распределение выборки, эмпирическую функцшо распределения Р! (х) и гистограмму выборки. Ответ: — 2 Е",(х) = 0,4 0,1 0,1 0,2 0,2 4.3. Построить гистограмму по распределению выборки, представленную таблицей 2 — 4 Н н ге рваны 2О Ответ: р,'//т = 0,2/2 = 0,1, р,'/й = О,!5, р.,'//т = 0,25.
4.4. Отобраны случайно 200 однотипных радиостанций. Время их работы до первого отказа характеризуется таблицей Срок службы радиостанции до пер- ного отказа, ч 900 — ! 100 1100 — 1300 1300 — 1б00 120 1О Вычислить выборочные средние т), дисперсию О!" и среднее квадратическое отклонение е' срока службы радиостанций до пеового отказа.
Ответ: т! =- 1260 ч, О; = 12400 ч', о, '= 111,4 ч. ГОЗ О, О, 1, О, 3, 0,5, О, 9, 1, х( — 2, — 2 х — 1, — 1<х<0, 0<х<1, ! хпи2, х)2. 4.5. Измерительным прибором, практически не имеющим систематической ошибки, было произведено пять независимых измерений, результаты которых представлены в таблице Номер измерения 2868 2867 2768 278! 2836 Определить: а) выборочную дисперсию ошибки измерения, если измеряемая величина точно известна и равна 2800; 6) выборочное среднее, выборочную дисперсию и ее несмещенную оценку, если точное значение измеряемой величины неизвестно. Ответ: а) Р„' = 1287,8; б) т,' = 2809; Р; = 1206,8 У=1508,5. 4.6. Показать, что оценки а и 6, рассчитанные по методу моментов для параметров а и р гамма-распределения р,(х) = ! х" е — "76, х) О, 6'"+ ' Г (а + В определяются выражениями: а =(т„'!в)з — 1, р= вз/т„', где е ! з т', = — ~л~ х,; в' = ч' (х! — т,")'! и, л — ! х; — выборочное значение; и — объем выборки.
4.7. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вил: Р,(х) = х — ' (1 — х)л — ', 0(х~ 1( бета-распределение) Г (а+6) Г(о) Г(Ь) Вычислить по методу моментов оценки а и Ь параметров распределения а и Ь. ~;6 Ответ а= ', Ь =- —,, " !т„'(1 — т".) — в'1. ! — т„* 4,8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
