Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Определить методом максимального правдоподобия оценку парал!етра р биномиалыюго распрелеления Р„(й) = С„'рл(! — р)з-е, если в и, независимых испытаниях событие А появилось т, раз и в и, независимых испытаниях — т, раз Ответ; р = (т, + тз)7(и, + и,). 4.9. Выборка объемом и' извлечена нз совокупности е показа. тельным распределением р, (х) =- ле — л*, х ) О. Найти оценку Л максимального правдоподобия для параметра )л. Ответ: 7 =- !7т',. лгч 4.!О. Произвелена выборка объемом и = 100 из большой партии однотипных радиоламп. Средний срок службы радиолампы выборки оказа.чся равным 5000 ч.
Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для среднего срока службы радиолампы во всей партии, если среднее квалратцческое отклонение срока слулкбы составляет 40 ч. Ответ: 4992,16 ч «т, ( 5007,84 ч 4.!1, Каков лолжен быть минимальный объем выборки и, чтобы с надежностью 0,98 точность опенки математического ожидания т генеральной совокупности с помощью выборочного среднего была равна 0,2, если среднее квадратическое значение совокупности и = 1,5? Ответ: и = 306 4.!2. Срелняи квадратическая ошибка радиовысотомера о = =15м.
Сколько потребуется таких высотомеров, чтобы с надежностью 0,99 ошибка средней высоты т", была болыце — 30 м, если ошибки ра. диовысотомеров имею! нормальное распределение, а систематические ошибки отсутствуют? Ответ: не менее двух. 4.13. Случайный радиосигнал распреде.чен по нормальному закону, причем его среднее значение неизвестно, а дисперсия о' = = 1 В'. Произведено 100 измерений сигнала, по которым определено значение выборочного среднего т," = 1,5 В Определить величину доверительной вероятности 6, с которой может быть гарантирована предельная погрешность измерения срелнего значения сигнала 6 = 0,2.
Ответ: 6 = 0,954. 4.14. Р спрелеление выборки объемом и = 10 задано таблицей Оценить с надежностью 0,95 лчатематическое ожидание т, случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, по выборочной среднеи при помощи доверительного интервала. Ответ: 0,3 < т, < 3,7. 4.15. Произведено десять независимых измерений случайнои величины Х, подчиненной нормальному закону с неизвестными параметрами т„и о„. Результаты измерений представлены в таблице: 00 — 600 — !00 — ! 800 — 1 900 — !000— 600 гОО "00 ! 500 ! !000 ! !00 Срок службы, ч 300— 40р 400— -00 ! !00— !200 33 40 6'.
29 !4 3) согласуются. с; !6 Интервалы чувсчви тельносги, ыкВ !; 2 — 0 — 4; — 3 — 3; — 2 О, ! — 2; — ! 40 !и 44! Найти оценку т„' для математического ожидания и построить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности !) = 0,95. Ответ: т,*. = 0,4; — 1,18(т ( 1,98. 4.!6. Произведено!2 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором, не имеющим систематической ошибки, причем выборочное среднее квадратическое отклонение в случайных ошибок оказалось равным 0,6 В. Найти точность прибора с надежностью 0,99.
Ответ: 0,39 В < 0 < 1,24 В. 4.17. На контрольных испытаниях 16 радиоламп были определены выборочные характеристики их срока службы, которые оказались равными т', = 3000 ч и в = 20 ч. Считая, что срок службы каждой лампы является нормальной случайной величиной, определить: а) доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,9; б) с какой вероятностью можно утверждать, что абсолютное значение ошибки определения т„ не превзойдет 10 ч, а ошибка в определении и, будет меньше 2 ч? Ответ: а) 2991,235 ч < тк < 3008,765 ч, 15,50 ч ( ол < ( 28,74 ч; б) 0,93; 0,41.
4.18. На телефонной станции производилась регистрация числа неправильных соединений х; в минуту. Результаты наблюдений приведены в табл и пе Требуется: в) определи!ь выборочные характеристики т„" и во и проверить вьпюлнение основного условия для распределения Пуассона б) найти теоретическое распределение Пуассона и проверить степень соответствия теорегического и зыпирическоро распределений по критерию ув с уровнем значимости а = 0,05, Ответ; а) т„' хе=2, т. е. условие для закона Пуассона практически выполняется; б) ув = 0,2 ( Хж о,во=9,5.
4.19. Произведены испытания 500 радиоприемников на их чувствительность. Ланные отклонений чувствительности от номинала указаны в таблице Проверить по критерию уо с уровнем значимости а = 0,01 гипотезу Н„о том, что результаты испытаний подчиняются нормальному распределению. Ответ: уе = 3 94 ( уоо оо! =15 1. 4.20. Испытания 200 радиоламп на их срок службы дали результаты, приведенные в таблице Требуется: 1) установить теоретический закон распределения срока службы радиоламп и найти его параметры; 2) написать вы. ражения для плотности вероятности р, !х) и функции распределения Р,(х); 3) пользуясь критерием у', установить, соп!асуются ли дан.
ные испытаний с гипотезой о распределении случайной величины по избранному теоретическому закону Ответ: 1) закон распределения нормальный с параметрами т = т„' = 784 ч, о' = 26 844 ч', о = 163,8 ч, !63,8 )/Б [ 33688 !' ~ !о3,8 /! Раздел 11 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ т (1,, га)=М (' '(1!):"*(1а)) )»»а! ь»! Ра ($а, $а! !а, !а) ПЕ! п$а, (5.6! (5.!0) (5 126 5 за», !воз 5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И )ИО)ИЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ !. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕ)(ВЯ Случайный процесс $(1), зависяший от одного действительного параметра 1 (времени), считается определенным на интервале времени (О, Т), если пРн пРоизвольном числе и и длЯ любых момеитОв вРемени (а, 1, .... 1» иа этом интервале известив а-мерная плотность распределения вероятностей Рп (й! ьа "' й»' 1! 1а...., 1») или и-мерная характеристическая функция и Ф»((оа, !оа "., )оп! !ы зю °" 1») М( П ехр(т!51) = ) ° .) р» (»!.
ьа, ..., 5»; а„га, ..., 1») ехр (!о, =, +!о,-,-)-...-(- !оп;п)х ХД~ Лт...дй„, (5. П гле $! = 5(1!), $, = д(1,), .„, $„= 1(1„) Плотность распределения вероятностей должна удовлетворять следую. шим условиям (), !4, 27) !) условию положительной определенности: Р Из, йа ",-и',1а, гм" 1») э О! (5. 2) 2) условию нормировки. (" ! рп (Ьз, йм ", 5»; 1,, 1„..., 1») !(Чаг(са...!(ап — — (; (5.3) 3) условию симметрии: функция р Им са, ..., 2»; 1, 1, ... 1п) должна быть симметричной относительно своих аргументов йз, $а, ..., 5», т. е.
не должна изменяться прн любой перестановке этих аргументов; 4) условию согласованности: при любом т ~ л Рт (З! (а ' ° (т! а! ° аз 1»з! = ) .. ) Рп (к! кга Ст . т+! ' ° $»! 1! (а .. ° 1т 1т+! 1п) (дтч-! ' а(ьп (5.4) Поскольку характеристи !еская функция (5. !) является преобразованием Фурье от соответствующей плотности распределения вероятностей, то для нее также справедливо условие симметрии, а условия нормироани (5.3! н согласованности (5.4) принимают иид Оп (О, О, ..., 0)= ), (5.5) От (!о! !оз "", !о»б! 1! 1з ", гт) ып ((ог, )оа, ..., (от, О, ...., О; 1,, 1а, ..., 1т). (5.6) Многомерные плотности распределения вероятностей являются наиболее полными характеристиками случайных процессов. Однако в ряде случаев для решения практически важных задач оказыва тся достаточным рассмоа ение более простых характеристик, в частности моментных функций 28.
29), Под моментными функниями случайного процесса я(1), заданного на не- котором интервале, понимаются функции т (1), т, „(1„1,), т„к „(1,, (а ..., 1»), симметричные относительно всех своих аргу» ментов, определяемые соотношениями т» (1) = М (Е' (П) = ) .-'! р, (:; 1) д"-, (3. 7) т (1 1 1 ) 44 1»»»з(1 ) ап»а(1) ак»п(1 )) аз Е»а$"а "4~~в»($з, $а..." $»: 1з, 1„", 1»)Щз!('а ° ..Ф».(5.9) и — и Моментная функция т (1!. 1а, ..., 1»), зависяшая от и несовпадаюших аРгУментов 1з, 1, ..., 1», называетса и-меРнОй начальной моментвой функцией»-го !» = », +»а + ...
+»и) порядка. Одномерная начальная моментная функция первого порядка т,00 - М($(1),' = !' йр, (Е! 1) лд- тдП) называется математическим ожиданием случайного процесса з(1). Помимо ) этой характеристики, широко используетси также двумерная начальная мо ментиая функция второго порядка !»,,(1,. 1а) — М($((з)$,(1а)) - ( ! ЕаЕа Х х р,(Е,, й,; 1,, 1,) йч од, - Ка ((а, 1,), (5. ! 1) называемая ковариационной функцией случайного процесса $(1). Зместо момеитных функций т», (1!. 1, ..., 1») можно рассмат. ривать и-мерные центральные моментные функции»-го порядка, которые оп. ределяются соотношением т' (1,, га, . ° -, 1»)=м(!5(гз! — т (1 Я ' Ц(1 )— ! пп — т (га)! а .
' (ч (гп! т (1»))" и! ) ) И! и! (1)) 1 ХИ» — т (1а)!"' " Ип — т„(гп)!»и п»(Еа, ч„", 'ь»1 гю з„.", ! ) яадйа "- дй,. о (1) = р 0а (!) =)ГМЕ[= (!) т 6)[11 (5.! 5) Если случайный процесс с (1) закан и-иерной характеристической функцией, моментные функции удобно вычислять путем ее дифференцирования. Используя определение характеристической функпии (5.1) и раскладывая экспоценциальную функцию ехр(з) в ряд Тейлора, можно показать, что для л-мерной начальной моментной фуннции справедливо соотношение [1,(41 — !3 +3 -1- . +3 ! т (1,,1, ...,1)=! ! 2 "Х 31 3 д' Х Е93 (!о1, !31 ° ° !ол111 !2 ° .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
