Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 20
Текст из файла (страница 20)
° ° Ел) (5 16) ... дп„л Корреляционные функции й1(1,), ЕЕ (1,, 12), .„, ЕЗ„(1, Е Е ) ь рехеляются разлоа<евнем в рял Маклорена логарифма многомерных харак- теристических функций. Мо1кно показать [1,281, что лля первых трех норре- ляцианных б,упкцпй справедливы соотнощения: ЕЕ1(1) =- !л,(1) =- М($ (1)1, ЕЕ2(1,, !2) =,', П, 1,)= м [[6 (1,) — т,(1,)! х ' [6 «',) '- -,(1.)Ц '= -,,(Е,, 1',) — -,(1,) лй(1,)— К(1,1) —,(11) (Е ), 323(1! 12.
13) л'1,1,1(11 12 13) т1 (11) Х Е!2 (12 13) т!(Е2) )22 (11, 13) — т! (13) )22 (Е1, 12)+ (5 (7) '+ йл11 (11) 311 (12) "11 (13) По моментным и корреляционным функциям можно восстановить харак- теристичесную функцию н, следовательно, плотность распрелелення вероят. иостей [261; Ел(!И !о., ", !+[ ~~~ тх(1„) о„-[- 1 и=! " 21 Еол 11 12 ''' !3) л л т1,(Е, Е ) о„о П=!3=! л л л + — !3 7,' У~ Э !Л!11(1, 1, 1!)О О„О +... 3! с~1 ю~3 333 ' ' и' 3' ' и И=-!3=!1.=1 Лвумерная центральная моментная функция второго порядка т,", (1„ 1,) = М [[6 (1,) — !и- (!2)[ [4 (1,) - т, (1,) Ц = 1' )" [51 — т (11Ц Х Х Бэ — тй(12Нрз(31 32'11 12)"::1Жз=К((11 11) (5.(3) называется корреляционной функцией случайного процесса З (1).
Полагая в (5.! 3) 1, = 13 = 1, получаем следующее значение одномерной центральной моментной функции второго порядка: 33 т",, (1) =.м ([;- (П вЂ” тй(!)[2[=л!([зл (ЕП2)- 1 [5 — т (ЕЦ'х Хт Й;!) Лзь=тз (1) — тз (1) =К( (1, 1) — т» (1)=(тх (1, !)= Е)й (Е). (5. (4) Здесь через зз (1) = з (1) — т) (!) обозначен центрированный случайный процесс. Таким образом, выражение (5.!4) определяет дисперсию случайного процесса З (1). Корень квахратиый из хнсперсин Е), (1) называется средним квадратическим отклонением о. (1) случайного процесса З (Е) л 6)л(/о1 Епз. ° ° !пл! 11 ° 13. ° °, Ел) =зхр ! „~~ ЕЕ!(Е ) ои [3 ~=! л л ! + —,1 .'У' Е[з«и.
!3) опоч+ — 3! !'Х 2! и ! и 1 л л л х У У ~У Й' (!3 13 11) пи оэ оз + 3=! 3-! !.=! (5 !8! часто встречающегося в разл н чраспределения вероятностей и бормулами [261: ['(2л)л Л Лля гауссовского случайного процесса, ных ралиофизических задачах, плотность характеристическая е[ункцня опрелеляются рл1 (231 $2 ..., 53; 11, 12, . л л Ч' М ..!1,— (,!.3!1„—,1„!), 3=! 3 !Пз . ° !Вл! !1 Ез °" !3) л л И !3=! Х ехр 213 ОЛ 031 л !хр Е ~~)'„т [. и=! (5 .19) (5.20) ! Рл(31 ° йы " чл)= „-[,е(2 )31)х л л „,„,[ — 1. У,л 3 — ~3.— Ч1: эзы! ! 2оэ(З ~ В=!3-! 33» (Ео! Епз ° ° ° ° дел) л л л ...[!.
У..3 —,' Г" У, ~«Ь.!Ь,~, 1331 и- ! В ! 3 Здесь т-(Е ) — математическое ожидание случайной величины 3 Р = ь (Е„), Л = [1 Е[ (1,, Е )[ — определитель и-го порялка, составленный З и 3 нз значений етй (1, 13) корреляционных фуннций ее (е, е ) = мЯ (е ) — тй(11)1[6(12) — тй (12)111 при 1, 1„и 12 1„, Лпэ — алгебраическое дополнение элемента Е[4 (1, 1 ) этого определители.
и' Важным классом случайных процессов являются стационарные случай. ные процессы. Случайный процесс $(Е) называется стационарным в узком смысле, если все его плотности распрелеления вероятностей рл (вт, зз, ..., зл! 1„) произвольного порядка и не меня31тся прн олновременном слвиге всех точек Е,, 12, ..., 13 вдоль оси времени на любое' !. Стационарным в широком смысле называется случайный процесс в(1), математическое ожидание М [з(1)1 которого не зависит от времени, т. е.
М ![~(1)! = т[(1) т), а коРРелационназ фУнкциЯ Есй (13, 1„) зависит лишь от разности т =[1 — 1 [ ыежлу лвумя рассматриваемыми моментами «3 И 3 времени. Лля гауссовского процесса оба эти понятия стационарностн совпадают, поскольку стационарный гауссовский процесс полностью определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией и для его плотности распределения вероятностей и характеристической функции справедливы соотношения (3! 53 (30 где щ — математическое ожидание; о' = (3 = с! (0) — дисперсия процесса $(г); Р ((г (т„„)1 — определитель л-го порядка, составленный из коэффициентов корреляции г (т ) О г„— г, О = -з !» О г„-г !) =о-' л4 ([1 (г „! — ! [й (г,! — !).
Применительно к двумерному случаю формулы (5.2!) и (5.22) принимают вид ! Пз (4 ° тз! =, ехп 1 — Х =2по '[г'! — гз(т! 1 йо (! . !тц Х((Ьг щ)х — 2г(т! (1,— щ) (тьз — щ!+ <»з — щ)х(~ (5 23! Пз (/ст, !о! =- ехр ([щ (о1 +си!— ! оз(оз + 2г (т! И гт + птт[ ~, т = à — Г,. (5,24! Среди различных задач статистичесиой радиотехники весьма часто встречаются задачи, связанные с линейным или нелинейным преобразованием случайных процессов В ряде случаев успешное их решение связано с возможностью представления плотностей распределения вероятностей случайных процессов в виде быстро сходящегося ряда, члены которого выражаются через табулированные функции. Некоторые из таких разложений, базирующихся иа представлении соответствующих плотностей распределения в виде ряда по ортогональным полиномач.
рассмотрены в работах [б, 26, 30 32, 34!. 2. ПРИМЕРЫ 5,1. Найти одномерную рД; !) и двумерную рз(с,Дз! [и 1з) плотности распределения вероятностей процесса 3 (!) = гхс;:гп -ь ['з(п, г, где ш — постоянная угловая частота; а и р — взаимно независи-' мые гауссовские случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями ти =- тз -— — 0 и дисперсиями Р =- Р = о'. аз=о Решение [35[, Случайная величина $ =- 5 (1) при любом фиксированном значении ! предстчнляет собой линейную комбинацию гауссовских случайных величин и н гч ту этого также является гауссовской.
Таким образом, для определения плотностей распределения вероятностей рт(5! !) и рз(й„йт; [„(з) процесса $ (1) необходимо определить его математическое ожидание т»(!) и корреляционную функцию й»([т, [т). В соответствии г (5.!0) т»(!) = МД ([)) = М [с!сотом + ~ япш!) = — М (а )соч ю! + М (р )япюй Поскольку по условию М(а) = т„= О, М([)) = та = О, то т»(!) = О.
При этом для корреляционной функции (5.13) получаем Й» (1„(з) = М([асозоИ, + [)з(пюй( Х Х [асозш[з + Гг.!пюги(). 132 Я» (1„!з) = оа созшгт сгжш!з + о'згпщ(,51пюгз = о'соя»о(1, — 1,) = К»(ч), т = 1, — 1, Таким образом, искомые плотности распределения веро!!тпсь стей имеют вид ! р,(й; !) =-=р,(с)= ехр [ — —" [гэпп [, 2ох ) Рт(йт $з' "т [д= Рз(5» сз) = ! »з — 2»г =ясов ыт-(.Ц ехр ~— 'ио' [Г ! — созз ют [ 2оз (! — созе ыт) 5.2. Стационарный случайный процесс 5(1) = А(1)соз [ш„[ + гр([)! с нулевым математическим ожиданием М(5 ([)) = т» = 0 за дан одномерйой плотностью распределения вероятностей рг($) = = р»Я).
Предполагается, что го, есть априори известная постоянная частота, стационарный случайный процесс А(() может принимать только положительные значения, а гр(!) представляет собор случайную фазу, равномерно распределенную на интервале ( — и, л) При этом функция р» ($) связана с одномерной плотностью распре. деления вероятностей рл(А) процесса А(!) соотношением (см. за. дач) 5.4) (5.25) !»! Определить обратную зависимость, т, е. найти выражение для рл(А), при котором одномерная плотность распределения вероят.
настей р»($) = рг(й) будет иметь заданный вид. Решение [40[ Производя в (5,25) замену переменных: $я = х-' и А' = ).-", получаем уравнение г О (5.26) Это соотношение относится к классу приводимых к уравнению г»бе- ля, и для него сушествуют следуюшие формулы обращения: (5.27) 133 Учитывая, что по условию М(ар) = М фа) = О, оконча. тельно получаем Используя (5.27), уравнение (5.26) можно привести к виду ),,( — ), (у) о Переходя в (5.28) к старым переменным, получаем выражение, определяющее искомую плотность распределения вероятностей: л р )А)-2) — (А) ' ] ))29) Выражение (5.29) можно упростить, прелварнтедьио вычислив путем интегрирования по частям входящий в него интеграл: А А Рг()4 ! (/ А), Ру Ач — — (агссоз — ! Р,(и) -)-] (агссоз †) р.
(й)гуЬ , 1)))~' — А' А ((, иУ - д ! 5) о а (5. 30) Подставляя (5.30) в (5,29), окончательно нахолио) р,(,1) --2,-1 ~ (5.31) где р;.' д) = оур»(оь)щ. Соотношение (5.31) определяет одномерную плотность распре- деления вероятностей РА (А) функции А(у) в стационарном случай- ном процессе $(у) = А(у)соз1о>оу + )о(у)1 с постоянной априори, известной частотой ооо н случайной фазой )о(у), равномерно распре- деленной на ннтерзале ( — л, л), при которой мгновенные значения процесса о(у) характеризуются заданной олномерной плотностью РаспРеделениЯ веРоЯтностей Ро (оь). Пслсбного рода задачи часто встречаются на практике при моде- лировании случайных колебаний вида з(У) = А(У) соз1аоУ + Ч(У)1 с помощью средств вь)числительной техники в процессе иссле- дования статистической динамики различных рзднотех»)нческих систем и устройств 1401.
5.3. Найти двумерную плотность распределения вероятностей ро(Еь $о) стационарного случайного процесса $(У) = А соз(аоУ + гр), где А и а, — постоянные амплитуда и угловая частота; го — слу- чайная начальная фаза, равномерно распределенная вв интервала ( — и, л). Двумерная характеристическая фут»кцня »то (уиь упо) процесса о(у) имеет внд 1351 6» (упч уао) = М(ехр (уо»К1 + упД,)) = = Уо(А„Д'и*, + 2пчпо соз о»от + и,'), гдег, х(у,), х = х(уч, т = у, — уп уо(х) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Решение 1371. В соответствии о (5.1) можем написать рг($ь $»)= — ~ ~ )9»(уоь уо») ехр( -уо) а) — уо,~) )уп) оЬ». (2л)' П дставляя сюда О, (Уво Уо,) и используя теорему сложения дл бесселевых функций 1381: У,(А$ .' =о ху»(А'1,) соз ео)т) гле ! при У»=0, 2 при й)! — множитель Неймана, находим Р ,)Ь, »)- г) — ))'в~ — ) ) )А„о — ш ) о,]х » о ОЭ Х вЂ” (,У„(А иг) е-)о):.з )Упг соз йаот.
2л,) )В ПРоизводЯ заменУ пеРеменныхХ, А и» Уо»=А п,и пользУЯсь интегральным представлением функций Ч)» '(г) = — (у)' ~ у,(у) е-Р')уу), 2 Ф получаем Рг($ь $о) = ',~,'(лА )-~Ч»а'( — '( ) Ч~»а'~('- ) сов йао,. »-о Функции Ч)»а' (г) могут быть выражены через полиномы Чебышева Т» (г): Ч'»" (г) = (1 — г')- 'У Т» (г), Ть(.) = — '[(г+урТ:г)'+( — уУ( — й)']. 2 При атом имеем р (зм зо) =рг($»)рг((о) «~ е» Т„( — ') Т»( о ) сов йаот) » о р,($) =1Ул)УАА — со, Я(А . 135 Таким образом, полученное выражение для р, Д„$о) дает разложение двумерной плотносз и распределения вероятностей гармонического колебания со случайной начальной фазой в ряд по ортогональным полниомам Чебышева.
3 ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ 5.!. Найти одномериу(о плотность распределения вероятностей процесса 3(/) = а + рд где а и (1 — взаимно независимые случайные величины с плотностями распределения вероятное(ей Р (а) " роФ). Ответ 1351: Р,Д; () = — ! р ($ — (3) р ( — )((р. ,/ 5.2. Случайный процесс оо(!) задан в виде ЕО) = Ь+ )гй где Ь вЂ” известная постоянная; )г — случайная величина, распределенная по нормальному закону с л(атематическим ожиданием л(, н дисперсией Е>, = о,', Найти плотность распределения вероятностей р, ($) случайного процесса $(!), его математическое ожидание тв и дисперсию Вт.
Ответ р,(4)=Р,($, ()= ехр ~ — "' 1 ( 15 — (и,(.(. 31!м о и~з то=т;(() =т„./+Ь, О! =Ог(/) =о,',/о. 5.3. Найти одномерную характеристическую функцию гауссовского процесса я (!), имеющего плотность распределения вероятностей Р,Д)= ехр ~- ], Ответ: 0,(/о) = ехр(/то — — ооп'). 1 2 5.4. Найти одномерную плотность распределения вероятностей случайного сигнала $ (!) = А (!) 3!и 1(оо! + (р (!)1, у которого случайные функции А (!) ) 0 и Ч (!) предполагаются независимыми в один и тот же момент врел(ени, причем случайная фаза (о(!) считается распределенной равномерно на интервале ( — и, и), а огибавшая А (!) имеет плотность распределения вероятностей рл (А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
