Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. для случая стационарного квази» гармонического колебания с постоянной амплитудой, случайной частотой и статистически независимой от нее случайной начальной фазой, равномерно распределенной на интервале ( — л,л),соотношения (6.49) и (6.52) принимают следующий вид: гыа»«/ 154 1г1з Р в у ват ю СГ ыатыатн ю ЮУ а7 Ж Рнс, б 2 Спектральные плотности прн различных соотношениях между а и ва Рассмотрим поведение функции 5м(в).
1. 5к,(в) — ь О при ! в ! -ь оо. 2. При Зв', (ае у функции 5„,(в) нет маисимума, она монотонно ) бывает с ростом ! в ! (рис. 6.2, о). 3. Если Зв,', ) аа, функция 5к, (в) имеет максимум (рис.6.2, б) в точке )о> ! =(сс + во) ~ )т 2ва )/ ах+во ° 4. При Зв,' » оа спектральная плотность 5ь(в) также имеет максимум в точке ! в,„! в„(рис. 6.2, п).
Суммирование спектральных плотностей 5т,(в) с различными весами при соответствующим образом выбранных а и в, позволяет аппроксимировать сложные спектральные плотности. Так, к примеру, путем сложения изображенных на рис. 6.2 функций 5т,(в) можно получить спектральные плотности 5,(в) и 5,(в) (рис. 6.3), хороню совпадающие с экспериментально определенными спектрали.
ными плотностями случайных изменений во времени скоростей в атмосферном турбулентном потоке. Полагая в 5з, (в) частоту со,=О, находим спектральную плотность 5;,(в), соответствующую корреляционной -функции сск,(т): 5- (в) = ат2«/(аа + о>а). Графики функций /7з,(т) и /7к,(т) и соответствующих им спектральных плотностей 5т,(в) и 56(от) приведены на рис.
6.4. Рис. б.з, Сложные спектральные плотности Рпс бни Корреляционные функции и соотнетстнующпе нм спектральные плот- ности 6.6. Найти корреляционную функцию Рв(т) стационарного случайного процесса $(г) с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью (рис. 6.6) л/а/2, — вг (» в ~ (— гоь 5! (в) = Л/е/2, о>т (о>(оаю О при других в. Для частного сл)чая ао, = О определить величину интервала Л = (ае, — /в пРи котоРОм значениа Ьк.т = с (/а+,) и Цк = б (/а) не коррелировапы. Решение. По формуле Винера †Хинчи находим н, /тв(т) ==. — 52 (в) е~н~ с(в = — соз втс(в = 2л,! 2л Ю~ уе = — (з(пота т -з(пс», т).
2пт Так как (!71 «+б, « — б з(п а — ейп !) =- 2 соз — з1п —, 2 2 Рис. б.б. Ранноиериая н полосе час. ы ы -ы д ы ыа ыт и тот спектральная плотность Югг еа юею Рис. 6.7. Определение аффективно)1 1пнрины спектра случайного процесса где о ЛоМо Мп(лот/2) о 'л Леот/2 йеее/ау Н1+ Ы, Лсо = о12 — 011, сао = 2 где Лсоа ? 52 (го) с(о) ) За(О) 3. ЗАДАЧИ И 018Е1Ы )67 корреляционную функцию можно представить в виде (рис. 6.6, а) /7й(т) = о',р,(т) созооат, Для частного случая оог = 0 функция корреляции имеет вид (рис.
6.6, б) Мо ° Мо ооа яп аоо т /тй(т) = — Япыа т = — = ооара(т), 2пт 2н ы.,т 1"2 = Агагох/2п, р,(т) = (з)п о)ет)/оххт. Интервал Л = /ао„— (ю при котором значения (отсчеты) $2 = = $(/а) и Еаох = $(/а+1) будут не коррелированы, можно определить, приравняв нулю значение нормированной корреляционной функции р, (Л). В результате находим (з)по21Л)/соеЛ = 0 Л = и/гое = 1/2Ра где Р, = сох/рп — верхняя граничная частота спектральной плотности 51(но). Таким образом, в реализации $(1) длительностью Т содержится /У = Т/Л = 2Р2Т некоррелированных отсчетов, Рис.
6.6. Коррелнционные фуницин узнополосного (о) и ц~ирокополосного (а) случайных процессов со спектральными плогностими, равномерными в почосе частот 6.6. Спектральная Плотность 51!ох) стационарного случайного процесса $ (/) имеет вид (рис, 6.7) (4а/(а'+о)2), го ) О, 5з(го) = [О, оо( О. Определить соотношение между эффективной шириной спектра Лго, процесса $(1) и шириной его спектральной плотности Лсо на уровне 0,551(0). Решение Эффективная ширина спектра Лоо, процесса $(() оп- ределяется соотношением После подстановки 51(ог) находим о Г Ех ы ) и Лоо,= — — с(по=а агс16 — ~ = а —. о -г.
со а)о 2 Ширина спектральной плотности Лоо на уровне 0,55;(0) находится из формулы 52(Лго) = " =0,651(О) =0,5 — ", ао + )Лы)2 ао откуда Лсо = сс. Следовательно, Лыо'Лсо Лго/Лг 6.1. Случайные процессы Е(1) и г)(1) заданы своими математическими ожиданиями то(1) и то(1), корреляционными ?той(1„12) и )ро(1„12) и взаимными корреляционными функциями Йьп(1! 12) М (%(11? тФ1)ит) (12) тп(12)! ) Щ чд(/„ /2) = М ((г)(/1) — тп(11)1 Щ(12) — тй(12) 1). Определить математическое ожидание тг (1) и корреляционную функцию Кс(1„12) суммарного (разностного) случайного процесса ь (1) = %(1) (1).
О!тгвевт: лэ! (1) пь (1) !- т» (1); Я,((» (,) =)зФ((м 1,)+ + )~" (~! (!) ~ '!а» (1! !!) ~ !!»$ (!! !!). 6.2. Определить корреляционную функцию )с» (1„1,) случайного процесса Ч (О = Е (( + Т) ~ с ((), где $ (Е) — случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией 1«1 (1„(!). Ответ: К!» (!!, 1!) = % (1! + Т, (! + Т) ~ )та (!! + Т, (э) ~ ~ 1«з (1„1, + Т) + %1 (1!, 1!).: 6.3.
Доказать, что для корреляционных и взаимных корреляционных функций случайных процессов $ (() и т( (1) справедливы соотношени я: ЙЕ (Го !!) ( (~ и! (г!)п1 (г!), ! Йт (Г!, 1,) ! (~ (о1 (1!) + п! ~(1,)(/2, Я1» (1п 1!) ( ~ и! (г!)и» (г!). Здесь и! (1) = )'«01(1), и» (1) = $'"О» (!) — средние квадратические отклонения процессов $(1) и т( (1) соответственно. 6.4. Найти корреляционную функцию сигнала з(() = А,„я (1)соз (со,1+ <р), где $ (1) — стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функпией Я1 (т); А„и»!„— постоянные величины, а ф — случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале ( — л, и) и не зависящая от 2 О) Ответ: 1«, (т) = (А„'!2)1«! (т) соз со,т.
6.5. Определить корреляционную функцию комплексного случайного процесса л $ (!) = ~ !х! е'"!' ! где а! и 6! — взаимно не коррелированные случайные величины « нулевыми математическими ожиданиями и„= та = О и днспер сиями 0„.=0а.=0!. ! ! л Ответ: Йт(т) = ~~ 0,созо!;т. '=1 6.7. Определить математическое ожидание т„(1) = М (т((()) и корреляционную функпию 1«»(1, т) = М (т((1) и (1+ т)) — и4(() периодически нестационарного случайного процесса !)(!) = Г(Ое(г), где Г(!) — непериодическая детерминированная функция; Е(1)— стационарный случайный процесс с математиче«ким ожидание!! и!! н корреляпионной функцией К! (т) О!пает: т»(1) = т!ГЯ, Г!'»(!, т) = Г(!)Г(1 + т)Р (т) 68. Заданы два взаимно ие коррелировапных случайных процесса ';(() и 6(() с нулевыми математическими ожиданиями и кор.
реляционными -функциями Рт((!, У!) и к»(!!, !!) Доказать, что корреляпионная функция произведения этих процессов ь (() = = Е(()!1 (() равна произведеншо корреляппонных функций сомножителей: Рс(1„ г,) = Ц((„ (,Р„((„ (,). 6.9. Доказать, что корреляционная функция произведения и взаимно независимых случайных процессов ц(!) =- Ц -.. (!) с нулевыми математиие«кими омсидания!!и и корреляпио ымифункпиями Г«г, О!, 1!) равна ппоизведецию корреляционных функций сомножи гелей: )!»(!! д!)= П )! =, ((! !!). где со! — постоянная угловая частота; с!„схэ, ..., а„— взаимно не коррелированвые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями лэ! = 0 и дисперсиями 0ь а Ответ: Я-(т) = ~'„О!е!"!', т =1,+,— 1!.
1= ! 6.6. Решить задачу 6.5 для случая, когда ю я (!) = ~~~~ (а! соя «э! ! + ! 6! гй п аэ! г), ! ! !58 6.10. Пусть из стационарного случайного процесса 3(!) с математическим ожиданием МД(Г)) = и!1 и ковариацнонной функцией Кт(т) = М Д (!)в(1 + т)) выделен отрезок продолжительностью Т, который затем периодически повторяется (рис. 6.8).
Определить математическое ожидание и!»(1) = М(т((1)) и ковариациониую функцию К»(1, т) = М (т((1)э)(( + т)) получающегося периодически-нестационарного процесса !)(~). О!!!всю (19): л!»(!) =т!«,К»(!' т) тР М (т)е!ъ !!г !59 где 1 — т )К (т) + т Ка(Т вЂ” г),' ( т! М„(т) = ое, ( т | ( т,, )с (т) =— О при других т. [а~с (1 — [ т [(Т), ( т ! ( Т; '[о, !т!) Т. О!пввт: 51 (м) = аа! ~ ! Г Мп !ат~2! 1а ыт12 Рис 6.8. Периодически - иестационариый случайный процесс в(1) = ~ч" А,гйп(м,1+!р!), ! ! !У Т 2Т йт (в+ОТ 6 звч ! 2аэ 16! 160 1)л (1 е!пс) [К1(т) К1 (Т вЂ” т)[ пчьО.
(пт 6.11. Доказать, что не существует стационарного случайного процесса $ (1), корреляционная функция которого )с (т) постоянна на каком-то временном интервале ( — т„т,) и равна нулю вне его: О!пеевы В соответствии с теоремой Винера — Хинчина 5(са) = О й(т)е — ! 'с(т = 2п'т, "" ы" Отсюда следует, что для процесса ы с! 6(1) функция 5(ы) для некоторых значений о! отрицательна, что противоречит физическому смыслу 'спектральной плотности 6.12. Определить корреляционную функцию )с(т) и спектральную плотность 5(а!) случайного сигнала з (г) =- ~' А, гоп'(вн ! -1-ср,), — оо <1 < оо, где А„! и е! — постоянные амплитуда и угловая частота; ч!„ч!а,...,<р„ — взаимно независимые случайные начальные фазы, равномерно распределенные на интервале ( — н, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
