Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 26
Текст из файла (страница 26)
6.9. Спектраль. ная плотность амплитудно - модулироиаи. ного сигнала 1вв 169 Здесь па(1) и и (1) — независимые стационарные гауссовские белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями )Р (1„1,) = ' 6(1, 1,), й (рм 1,) = — '6(1 — 1). (6.56) Начальная фаза ср, = ср(0) считается случайной и равномерно распределенной на интервале ( — и, и). Ответ: дм Длм(т)= — (1+ т'е "'") е ~е''и' соим„т, 2 т = од(Аьо па= Магмой = сук Магм)4а, Блм(со)= — ~, ч а +,, Ом=Л'о/4а, а ( О,'+П' (1+21,)а+11 ье =(со — сояНа, со) О. Графики функции Ядм(со) приведены на рис.
6.9. -Ю -В -2 Су 2 В ал-мд а - В -2 СУ 2 В аг-смл а 6.36. Решить задачу 6,35 для частного случая отсутствия в сигнале в (1) фазовых флуктуаций (Ж„= О). Ответ: де Рлм(т) = —," (1+тае-с ! т1) созсоа х, В нсе Ялм(со) — ий (ь)) + —, ьа =, со ь О. и 1+ 11Я~ а,' 6.37. Найти корреляционную функцию )рдм(т) и одностороннюю спектральную плотность Ядм(со) двухполосного амплитудно- модулированного сигнала с подавленной несущей $(1) = Мам) Ясоз( сое( + ср(1)) где Млм и соа — постоянные величины; Ц1) и ср(1) — случайные процессы, заданные уравнениями (6.55) н (6.56). Начальная фаза сра = р(0) считается случайной и равномерно распределенной иа интервале ( — и, и).
Ответ: стдм (и) =-(пл/2) е с "+~ег" "' сои соя т; о' 1+0 Ядм (со) = —, ь)= — ", а (1-1-0 )я-(-11я а Графики функции 5дм(со) представлены на рис. 6.10. 6.38. Вычислить корреляционную функцию )сфм(т) и одностороннюю спектральную плотность Яом(со) фвзомодулированного сигнала а(1) = Амсоз! соо( + Мфм) (2) + ср(1)1, Рнс 6 ! !. Спектральна« плотность фазомоаулнроаанного снгнала () =(в — оу,))в, в~0. о! рчм= — Мчм, а' ь)= — ', в) О. а 171 где А, в, и МФм — постоянные величины; )ь(1) и рр(1) — случайные процессы, заданные уравнениями (6.55) и (6.56).
Начальная фаза ф, = ф(0) случайна и равномерно распределена на интервале ( — н, н). Ответ: А,а — 1«ар+ о, а ! т П )СФа! (т) = — Е ЕХр(ОФЕ-а!' !) СО5 В, т«а 2 А' — Ф Г ! — !«+пара ! т !1 е р (оа«)„е сов в, т, 2 «! «о ! р 1 от = ок МФм = — Ук МФм, Г2а = — й!а, 4 4сс А,„- (о' У («+В,) 5Фм(в) = — '" е ~т ...ьа= —.в )О. а „о ' (( +!уа!'+а'! а 1)рафики функции Яфм(о!) приведены на рис.
6.! !. 6.39. Решить задачу 6.38 для частного случая отсутствия в си1 нале 5(1) фазовых флуктуаций (й(, = О). 170 РФм (т) = — е .~ехр(па е — ' !'!) созв,т= АР а — «Ф ( (ртФ) Е СО5 О3« т; 2 л! «=! ФФм(в) = — е пй(ь!) ! а , (« — 1)! («а+Яр)~ 6.40. Определить корреляционную функпию )счм(т) и одностороннюю спектральную плотность Ячм (в) частотно-модулированного сигнала (~)=А [а~+а (ыо«~е«к!1 где А, от, и Мчм — постоянные величины; Х(1) и ф(1) — случайные процессы, заданные уравнениями (6.55) и (6.56).
Начальная фаза ф„= !р(0) случайна и равномерно распределена на интервале ( — и, л) Ответ: 4' !5ЧМ вЂ” !5ЧМ+Ор! а!Ч! — ам ртчм(т) = — е ЕХР ( — РЧМ Е вЂ” арЧ) СО5 Ва т 2 А! очм ( . ( '!" (рчм)' — !«+зчм+ар! а!т!1 СО5 Ото т; 2 «! - о А'«очм ( — !)" (рчм)" ("+бум+О,р) Ячм(в) = — е !(( 6',, +!У,)+0! Графики функции 5;м(в) даны на рис.
6.!2. 6.41. Определить корреляционную функцию )75Фм(т) и одностороннюю спектральную плотность 55Фм (в) амплитудно-фазомодулированного сигнала 5(1) = Млм Х(1)соз(во( + МФм)р(1) + ф(Е)), где Млм, МФм и в, — постоянные величины; Х(!) и рр(1) — случайные процессы, заданные уравнениями (6.55) и (6.56). Ответ: Рис. 6.!3. Спектраль- ная плотность ампли- тудно-фааомодулиро- ванного сигнала ь1= ", го>0, а О!ивет: Рис. 6.12. Спектральная плотность частот. ар прл но .
модулированного а сигнала ГГ2 173 о,*, /глФМ(т)= —" е Ф [оФ е ом "!+ (! — 2оФ)е !' ч! "и!+ 2 +оь е-"+ос!" !'!! ехр (оч, е — "!'!) соэ ота т; птл — а,ь (оФ)л (л+ 0 ) 3ЛФМ(го)= — е [оФ ~з ~+(! — 2оФ)х а [ „в л!1(л+О, !е+ 11Р[ (о')л(л+1+О ), (оч,) (о+2+О ) х~ +оФ у [(и+1+ 0 )а+!та! ~! л! 1(л+ 2+0„!р+!1р! л=о ч л=о а р а р т р ! ол = ол Мам, оФ ол МФм, Ор = — !Л/~, 4а Графики функции ЯЛФМ (ы) приведены на рис. 6.13. 6.42. Вычислить корреляционную функцию /слчм (т) и одностороннюю спектральную плотность Ядчм (ы) амплитудно-частотно- модулированного сигнала г *и)-м.
га! ..[ь~рм, [г(чн~;-гн!1. о где Млм, Мчм и о!а — постоянные величины; ). (/) и гр (/) — слу- чайные процессы, заданные уравнениями (6.55) и (6.56). Начальная фаза гра = гр (О), кан и в предыдущих задачах, предполагается слу- " чайной и равномерно распределенной на интервале ( — и, и). -в -в -г в 2 В кр-пра аг ол Вчм а ое '" а — ! ! + Ое! а!т! /слчм(т) = — е [ — [)чл! е + (1+26чм) е 2 — гт+ор! аии — рчм аея рчт! -[)чме )е ехр( — [)чме )спнор т; А ЗЧМ р ми ( !)л (н гм) (Л.4- нЧМ+ОЕ) ! а, .
[(. йччм+О,)+'1 а у ( 1 (вчм) (л+ +!1чм+ о) ( + ~ [( + +6', +0,1*+ '1 ( !) (рчм)' (л+2 т Рчм+Ор) — [зчм л! И„+2+йчч„+0,1 +и ! <т' !)члг= — 'Мчм, ол=олМлм, Ое= — гуе, Я= —, о!)О. 2 2 2 ! м арс Графики функпии Ялчм(от) представлены на рис. 6.14. 6.43. Найти интервал корреляции т„для стационарных случайных процессов $(/) с корреляционными функциями: 1) /л1 (т) = о;*е — !'1; 2) /с1(т)= о[ е — "*'*; 3) /с1(т) =пар (1 — а[с[), [т! . 1/а.
Ответ; 1) г„= !/а; 2) т„= )г'и/2а; 3) т„= 1/2а. 6.44. Определить эффективную ширину /лго, спектра 51(о!) стационарного случайного процесса к (г) с корреляционными функциями !) Я! (т) = о1(! — а[т!), [т [( !/а; 2) /сд (т) = о~1е "''!; 3) /се (т) = о(е — ""*. Отвелп 1) Агоа = псе; 2) с!го, = па/2; 3) огоа = 2$/ тсср. авлчнгпв Рнс. 6.!4. Спектральнпя плотность вмплп. гуано-частотно - модулпровпнного спг- нала 3) Яэ(т)=о'е "!'1(созгоот+ — з(пшо(т().
ото Ответ: Процессы $ (7) с корреляционными функциями вида 1) и 2) непрерывны, но ие дифференцируемы; процесс $(7) с корреляционной функцией 3) непрерывен и дифференцируем. 6,49. Случайный процесс $ (1) задан корреляционной функцией й -Ф -2 47 7 4 пг-пте Ф 6.45. Показать, что для любого 'стационарного случайного процесса $(2) с корреляционной функцией /4(т), принимающей только положительные значения, произведение времени корреляции т„на эффективную ширину спектра Ао!. равно Лы,т„= и/2. 6.46. Определить эффективную ширину спектра Ло1„среднюю частоту спектральной плотности т, средний квадрат частоты М(ш') и среднюю квадратическую ширину о„спектральной плотности стационарных случайных процессов с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями: 1) /4(т)= и' ( ! созговт; Л /2 2) /с (т) = о' е — ""* соз гоо т; 3) /с(т)= ппе — "!'! (совете т + — з1пгоо ! т() .
ьь Ответ: 1) Лго,=-.бго, гп =гпо, М (оте) =гой+ Лы'/12, о,',= Леве~!2 2) Лго,=2)/па, то~ото, М(ат) ото+ат, о„' 'а'; м1! 2 а 3) /!со = па, т„= — '[1 — агс!д — ~ отт — 2а/н, а оп ое 4аго,/и, го! —— той + ав. 6.47. Доказать, что необходимым и достаточным условием непрерывности в среднеквадратическом стационарного случайного процесса е (/) является непрерывность его корреляционной функции /41 (т) при т = О.
6.48. Определить, удовлетворяют ли условиям непрерывности и дифференцируемости стационарные случайные процессы $ (7) с корреляционными функциями вида 1) /41(т) = ппе-"! 1; 2) /71(т! = ове — !' созш,т; 174 гг (т)=е — ~1т1(с!!гнет+ — з)!ото(т(), а)гоо)О. ОпРеделить коРРелЯционнУю фУнкцию /сп(т) и спектРальнУю плот- ность 5п(го) случайного процесса ц(1) = (5(1)/(й Ответ: /СП(т) = (ап — ГОО) Е-"!'1 (С)! От т — — ЗЬ а!4 ) т () 4 мь 4кпоп (а' — ото) "~ч (пт)— На — гое!я+гоп! 1(а+пте)в+ отп! 6.50.
Случайный процесс т) (1) получается посредством дифференцирования стационарного случайного колебания $(7)! ч(1) = г(5(1)/(й Определить корреляционную функцию /сп(т) процесса т)(7) в тех частных случаях, когда функция г!1(т) колебания $(1) задана выражениями: 1) /7 (т) = О'Е п1 ', 2) й~(т) = П~~Е-п1т! (1 + а(т! ); 3) Я1 (т) = о е-""! (соз ото т -!- а ейп ото ! т !) . ось Ответ !) /тп(т)= аеоте а1п [! 6(т)еп1т1~. 2 а 2) /тп(т)=-аео е — и1(1 — а)т!); 3) /тч(т) =(а'+гоп~)оэе-"п1(сов го т — — з!п о>о)т!).
гор 6.51. Найти спектральную плотность Яп(го) стационарного случайного процесса т)(1) с корреляционной функцией /тп(т) авве — 11 [1 — — б (т)еп1т1~ а (см. задачу 6.50). Ответ: Яп(го) = 2апвгоя//4ат + гоп). ГРафик фУнкции оп(о1)/2ао пРиведеи на Рис. 6.15. 176 Рнс 5.15 Спектральная плотность производной от стационарного случайного процесса -б -й -2»? 7 В ш»гк 6.52. Показать, что взаимная корреляционная функция )хйя((„(х)1 стационарного случайного процесса $(О и его производной ч (() = г($(О/Ж удовлетворяет условию й)»(( ° (з) = — ййп(( (т) т.е.
при перемене местами аргументов меняет знак на обратный. 6.53. Определить спектральную плотность 5п (ш) случайного процесса т)(1) = ай(() + Ый(()?г((, где с(() — стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией )(1(т) = озе — "! ! (1+ а(т(). 4п' а' Ответ: 5ч(ш) =- (а'+ Ьз шз). (а»+ы')' 6.54. Определить корреляционную функцию )сч(т) случайного процесса т)(1) =-а$(() +Ь вЂ” '+ с д»»(1) ож 5(1) где 2 (() — стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией )41 (т).
Ответ (19): )г (т) =аз)х)(т) +(2ас — 'оз) «и )?1 (т) «(«?? (т) ит» «(т» +с '1 7. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В зависимости от того, непрерывное или дискретное множество значений принимают случайная величина в(1) н ее параметр 1 в области задания процесса 10, Т1, различают четыре основных вида марковских случайных процессов: марковские цепи (дискретный процесс с дискретным временем), марковские последовательности (непрерывный процесс с дискретным временем), 17а дискретный маРковский процесс (дискретный процесс с непрерывным вре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
