Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 30
Текст из файла (страница 30)
/ = 1 2*" (7.70) где ц(Г) <<(е< Ю вЂ” 1) р(1) Л(о< -Ю' 1) Л <"-ю <-р Л"'-Ю г-и Математическое ожидание и дисперсия такого линейного процесса рождения и гибели равны то(/) =ехР[(Л вЂ” [<)1! 1»о(/)= —" е<г-ю [е<г-ю' — 1|, (7.72) Л+ << Х << Из (7.70) и (7.71) находим вероятность того, что ко времени 1 система будет находиться в состоянии / = 0 («коллектив» вымирает): (1) (ем - ю< 1)/(Ле<л -ю< 1,) Вероятность того, что «коллектив» когда-нибудь выродится, получаем отсюда предельным переходом при 1- <»г: (7.73) ! [г/Л при Л)р.
Этот результат говорит о том, что «коллектив» вымирает с вероятностью, равной единице, если интенсивность гибели больше интенсивности рождения. Если же интенсивность рождения больше интенсивности гибели, то вероятность вырождения равна отношению пх интенсивностей. :в 17.74) Л (1) = Л, е — ' + е — ' ~ е"* п (х) с)х.
о (7. 75) 3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ При начальном условии 0(0) = )о) 1 формулы для математического ожидания и дисперсии получаются умножением правых частей выражений (7.72) на /о. Вероятность вырождения (7.73) по-прежнему равна единице при Л ( р и равна Ос%)с' при Л ) )с 7.5. При различных граничных условиях нужно найти основные характеристики непрерывнозначного марковского процесса Л((), заданного стохастическим дифференциальным уравнением с)Цс)1 = Л + (1), Л (О) = Л,, где я — постоянная величина, и(!) — гауссовский белый шум с ну.
левым математическим ожиданием и дельтаобразной корреляцион. ной функцией (7.39). Решение. По формулам (7.36) и (7.37) найдем сначала коэффициенты сноса и диффузии для процесса Л ((). Отметим, что решение уравнения (7.74) при,начальном условии Л (0) = Л, можно записать в виде Согласно (7.74) приращение процесса за малое время Д( равно Л(1+ Д() — Л (() = ) ) — аЛ (х) + в (х)) с(х. (7.76) Отсюда находим математическое ожидание условного приращения с+ы М([Л(Е+Д() — Л(!)))Л(1))= — а ~ Л(х)с(х, а также выражение для коэффициента сноса а (Л): с+ос а(Л)= — я Огп — ~, Л(х)с)х= — аЛ(1). 1 ьс о Ьс На основании (7.76) для среднего квадрата условного приращения можем написать с.ь ьс М([Л(1-)-Д1) — Л(())о)Л(1)) = Ц М([ — аЛ(х)+п(х))Х с и с ~ —.сСсс.с СсСсСс*сс-"( [ сс*сс ) -'- '.," Поэтому Ь(Л) ао Нгп — [Л (с) М)о + — ~ = — ' ос оас 2 2 Уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова принимает вид д д ., Ьс„дс — р(Л, с)=я — (ьр)+ —" — р (7.
71 дс дх 4 дЛс Можно убедиться (например, непосредственной проверкой), что плотность вероятности перехода и (Л, (! Л,, О), являющаяся фундаментальным решением уравнения (7.77) при заданном начальном усло вяи р,(Л) = 6(Л вЂ” Л,), дается выражением п(Л, 1! Л„, 0) = [2ппо(1 — е — ""с))-с со ехр хо" (1 — о- "') Это есть нормальная иестационарная плотность вероятности с математическим ожиданием Л,ехр( — а1) и дп персией о'[1 — ехр ( — 2а()!.
Полагая 1- яс, получаем стациоиарь1ю плотность вероятности р„(Л)== ехр — — ~. п' = — ' о )/2п ~ 2ос ~ 1я Если плотность вероятности начальной координаты Л„совпадает со стационарной плотностью вероятности, т. е рь (Л) = р,, (Л), то нетрудно проверить, что переходный процесс отсутствует с стацио. парное состояние имеет место, начиная с начального момента вре. мени 1= О. Пусть в симметричных точках — е = с( = Ь помещены поглощаю щие границы и Л, = О. Согласно формуле(7.48) среднее время пер. вого достижения таких границ рассматриваемым процессом (7.74) равно г — "с' Тс( — й, О, й) = — ~сс — ! [2Ф(х) — 1)е"'сос)х а 2 о где Ф(х) — интеграл вероятности (2.9). Выражение лля дисперсии времени первого достижения границ (7.49) оказывается более с; ож.
ным [45! и поэтому не приводится. 7,1. Частица совершает случайные блуждания вдоль прямой О, представляющие собой однородную цепь Маркова. Координата частицы в дискретные моменты времени 1 = 1, 2, 3, ... меняется на случайную величину Лс, принимающую лишь два значения +з и — 3 с одинаковыми вероятностями, равными 1/2.
При О = ~23 расположены отражающие экраны (частица, достигшая этих экранов, в следующий ьсолсент времени отражается от них внутрь области ( — 23, 23), изменяя координату соответственно на величину, -Ез с вероятностью 1) (рис. 7.6). Обозначим через О„координатч частицы через и шагов. Возможные значения 9„есть О,= — 23, Ьо=. — ь, Ос=О, 7 з сооз 133 х 0 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 0 !/2 0 !/2 0 0 О 1/2 0 1/2 0 0 0 0 1 !) л= 'и е/е/ ув О, = в, О, = 2в.
Записать матрицу одношаговых вероятностей перехода и определить начальные вероятности, при которых процесс будет стационарным, начиная с / = О. Ответ: 0 ! 0 0 0 1/2 0 !/2 0 0 л = 0 !/2 0 1/2 О, р,=р,=1/8, р, р,=р,=1/4, 0 0 1/2 0 1/2 0 0 0 1 0 У к а з а н и е. Цепь Маркова будет стационарной, если начальные вероятности совпадают с финальными; последние определяются в результате решения системы алгебраических уравнений (7.16), (7.17). Для составления матрицы вероятностей перехода целесообразно воспользоваться представлением цепи Маркова в виде графа, 7.2, При тех же условиях, что и в предыдущей задаче, и при 0 = = — 2а помещен отражакдций экран, а при 0 = 2в поглощающий. Требуется: 1) записать матрицу одношаговых вероятностей перехода; 2) определить вероятность поглощения за четыре шага, если в начале частица находилась в состоянии 0»(8 = 0); 3) вычислить среднее значение времени То, по истечении' которого частица в первый раз априлипнет» к поглощающему экрану, если в начальный момент она находилась в состоянии 0; (1 = Г5).
Ответ: 2) р,'," =- 1/8; 3) То = !6, То =-. 15, То = 12, То = — 7, Т,, = О. У к а з а и и е. Для вычисления вероятности поглощения можно рассмотреть возможные траектории движения частицы из состояния 0», которые приводят к поглощению за четыре шага. Среднее время до первого достижения поглощающей границы можно определить, решая разиостное уравнение Тод = (1/ ) (То„, + То ) -1- 1 (й = 2, 3, 4) с гРаничными УсловиЯми То, = То, -!- 1, То = О, Рис. 7.6. Случайиые блуждаиия между даумя отражающими граиииами 7.3.
Имеется однородная цепь Маркова с двумя состояниями О, и О,; одношаговые вероятности перехода равны л„= р, л„= д. Пусть в реализации этой цепи сохраняются только состояния, соответствующие нечетным моментам времени / = 1, 3, 5, ..., а остальные исключаются. В результате получается новая цепь Маркова с состояниями О, и О,. Требуется определить вероятности перехода л(~ и л», за один шаг для полученной цепи. Ответ: лы = ра+ (! — р)(1 — д), лаа = да+ (1 — р)(1 — 4).
7.4. По системе связи передаются двоичные символы, которые обозначим О, и О,. Каждый переданный символ последовательно проходит через несколько устройств (каскадов), в каждом из которых выходной символ из-за наличия шумов лишь в вероятностью р воспроизводится верно и с вероятностью д = 1 — р переходит в другой.
Пусть 0„= (0„0,) — символы на выходе л-го устройства. Последовательность символов 8„8„... есть однородная цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода Начальные вероятности на входесистемы заданы: р3 = Р(8» = д,), р$ = Р(8, = 8,). Вычислить вероятность Р(8» = О,!О„= О,) того, что если на выходе и-го устройства принят символ б„то был передан этот же символ. Ответ: Р(8 =О,!8„=0,)= Р)+Р'(Р в1" '+ !р! — р11 !р — в)" 7.5.
Найти матрицы переходных вероятностей для марковской цепи, описывающей следующий процесс Каждая единица выпускаемой на производственной линии продукции с вероятностью р идет в брак. Качество каждого отдельного изделия (годно или дефектно) предполагается ие зависящим от качества других изделий. Контроль качества изделий состоит в следующем. Пока не появится ( небракованных изделий подряд, проверяется каждое выпускаемое инде. лие (первое правило) Затем из каждых г последующих изделий для проверки равновероятно выбирается лишь одно (второе правило). Если будет обнаружено бракованное изделие, то контроль производится по первому правилу: проверяется каждое изделие вплоть до по явления г небракованных изделий подряд и т.д. Предполагается, что моменты времени а отсчитываются при проверке каждого изделия по первому правилу и серии из г изделий — по второму.
' Пусть состояние 0„ (й = О, 1, 2, ...) означает, что при контроле по первому правилу последовательно появились й небракованных изделий. Состояние же дгы означает, что проверка осуществляется согласно второй части процедуры(проверяется одно нз г изделий) и появилось одно или более небракованных изделий.
$9Б При р=д=0,5 Йе(т) = ыТо/2 О, !т! ~ 7оо р/е/ и о- Ответ [471: при всех значениях и'. пребывание в состоянии д, после п + ! пои =р проверок ! пребывание в состоянии д, после п проверок р прн /г=-О, /=-О, 1, ..., г, !+1, 1 — р при /г=/+ 1, /=О, 1, ..., с или /г==/= г+1, 0 во всех остальных случаях. 7.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
