Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Разрывы (скачки) фазы допускаются только через фиксированный временной интервал Т, = сопз1, а в пределах каждого интервала длительнсстью Т, фаза остается постоянной. Ответ [45): 17а(т) = (Аао12)(1 — [т[1Та)сохо!от, [т[< Т„ 8 ( ) (Ав14)Т ~( в!п(ав — ава)то12 )~+[ а!о(ав+ ава)Та!2 (ав ава! То!2 / ( (ав -[-ава) Та/2 ) 4 7.25. Решить предыдущую задачу 7.24, приняв, что скачки фазы могут происходить не через фиксированный, интервал времени Т„ а в случайные моменты времени, описываемые законом Пуассона, р,(й) = — е — ",т)0, й=0,1, 2, . И Ответ [45): )7,(т) = (Аа/2)е-а!'! сова!от, —, [„ 7.25.
Чисто диффузионный случайный процесс о(1) задан стохастическим дифференциальным уравнением йоЕйЕ = п(1), о(0)= = о„где п(1) — гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и дельтаобразной корреляционной функцией (7,39). Записать для процесса о(Е) уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова и получить его фундаментальное решение. Ответ: — р(о, 1)= — ЕУа — р(о, 1), д 1 дв д1 ' 4 дав р(о, 1)==ехр ~— ! ! (а — аа!в $ ЯЛЕ,» ЛЕо1 7.27. Для чисто диффузионного процесса о(1), описанного в задаче 7.26, получить выражения плотностей вероятностей для двух случаев: 1)' в. точке о = с) оа расположен отражающий экран; 2) в точке о = с ) о, расположен поглощаюший экран.
Ответ: — со <о<с. 7.28. Записать уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова и получить его фундаментальное решение для случайного процесса л (1), заданного УРавнением йхЕйЕ + Ев = л(1), л(0) = Ха, где [в— постоянная величина; и (1) — гауссовский белый шум с ковариационной функцией (7.39). Ответ: — р()а 1) =[ — р(2 1)+ — йг — 1(2 1) д1 ' дь ' 4 дьв 7.29. Получить выражение стационарной плотности вероятности марковского случайного процесса Х(1), заданного стохастическим дифференциальным уравнением йЛ1й1 = — у)в + ЕУа142, + п(1), )с ) О, 203 1) Ро(" 1)= ! ~л1аа 1 +ехр ~— 2),о„(о, 1)=— )1ъЕЕо 1 (ехр ~ — ') ~+ ~р, — оо < о< с; ! — оа) ~ ех ~ ( о) где Т ) Π— постоянная величина; и (() — гауссовский белый шум с ковариационной функцией (7.39).
Опшет: р„,(Л)=[ )ехр ( — — ), а = —, Л) О. (аз ~ 2аз ) 42 7.30. Получить выражение стационарной плотности вероятности случайного процесса Л ((), заданного стохастическим дифференциальным уравнением г(Л[г(! = — ссЛ 1п (Л1'т) + аЛи((), Л ) О, где гх ) О, т ) Π— постоянные величины; п(1) — гауссовский белый шум с ковариационной функцией (7.39). ! Г (!пх — !пи)з ) Ответ: р (Л)= ехр ~ — )1, аз=ел[уз[4, Л О.
ЛУ2я 2а' 7.31. Марковский случайный процесс Л (() задан нелинейным стохастическим днфференпиальным уравнением с!Л 1 ""'з [Лз — зг«[ )к«2 Ли — та (() Л) О 2 где т и ь) — постоянные параметры; и (() — гауссовский белый шум с ковариационной функцией (7.39). Получить выражение стационарной плотности вероятности процесса Л ((). ! Ответ: р„(Л)= ( — ) Лг'" — ' е — х*'и. Л) О, т > —.
8. ТОЧЕЧНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ П РОЦЕССЪ| 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕИИЯ 1. Пуассоновскнй процесс. Последовательность случайных событнй (требованнй, заявок, отказов н др.), прнсходящнх во времена, можно характерязовать случайными моментамн времени ях появления 1х, гз, 1з, ... на временной осн (рнс. 8!1. Такую последовательность событнй называют случайным точечным процессом нлн случайным потоком. Если точка неразчнчнмы, то вместо ннх можно рассматривать целочисленный случайный про.
цесс дг(Π— число событий (точек), пояаляющнхся в полуннтервале (О, 1), причем а дальнейшем принято дГ(0! = 0 (рнс. 8.1). На рнс. 8.1, б н а нзображены так>не соответственно производная з(1) = од!(1)1ог, представляющая собой последовательность дельта-функций в точках 1ы 1з, 1з, ..., н прнращевне п(!) процесса ДГ(1) за некоторое время в: и 69 = [йг (1 + е)— — Ф(1)]1з. Имеется два тесно связанных между собой метода опясання случайных точечных процессов. Первый нз ннх базируется на рассмотреннн случайной последовательности точек во времени, а второй — на аналнзе целочнсленного случайного процесса «1(1 [45) Введем интервалы между соседннмн точками к!=1! — 11 х > О, 1=1, 2, 3, (8.1) где под 14 поннмается начало отсчета времени, прнннмаемое за нуль.
Тогда последовательность точек можно характернзовать и-мерной плотностью веРонтностн Р„(тх, ..., т„) интеРвалов междУ точками нлн же плотностью веронтностн Р„(1„..., 1„) коордннат самих точек. Между зтнмн плотностямн вероятности ймеются очевндные соотношения: ФЮ Р«(11 1« " 1«) = Р«(11 1е 1г 1«1«-О (8.2) Р«(т, т,...., т ! = Р«(т, т,+ 'т гк ". !|+те+" +т«). (8.3) .Ф бег 21 хх г» .г г»кг »1 Вз 2»ег Ф »121 2 в 1 в Вга е» фег ер Рнс. 8,1.
Целочнсленаый случайный процесс (а), его производная (б) н прнращенне процесса (в) 204 7.32. Вычислить среднее время Т, и дисперсию времени О пер- вого достижения поглощающих границ с, !( чисто диффузионным проц«сспм о(1), описанным в задаче 7.26, предполагая, что началь- ное значение процесса о, находится внутри границ (с ( оз ( с(), Опшет: Т,(с, о,, г() = (2/Л'з)(!( — о,) (о, — с), О (с, оз, г() = = ([168!о)[(г( — с)' — (д + с — 2оз)4). 7.33. Определить среднее время Т, первого достижения одной по- глошающей границы, расположенной в точке Л = г(, случайным про- цессом Л ((), описанным в задаче 7:28, считая р ) О и Лз< с(.
Оптант: Т, ( — оо, Лз, г() = (с( — Ло)lр, р ) О, 7.34. Для случайного процесса Л(() такого же, как и в задаче 7.29, вычислить среднее время Т, первого достижения поглошающей границы !(, если граница с = О является отражающей. Начальное значение процесса Л, находится внутри границ (О Л, ( с[). Ответ: Т,(О, —, — ) = — ! — (е' г — [)г(х. Лз ~~ ! ! к1 г а а) у,) х Выражения для плотностей вероятностей Р„н Р«даже в случае стацнонарного точечного процесса, вообще говоря, будут различными, когда начало отсчета времени выбрано произвольно н когда за начало отсчета взята какая-либо нз выпавшнх точек. Вместо зтнх плотностей вероятностей можно рассматрнвать целочисленный случайный процесс йГ(1).
Если 1; — координата 1-й яз выпавшнх точек (1д < гз « ... 11 < ...), то «1(1) 0 тогда н только тогда! когда т, > 1, и Лс(/)(и тогда и только тогда, когда т, + тз + ... + + ть > !, т. е. Р[//[1) = О! = Р(т, > 1), (8.4) Р(Л/(1) < и) = Р[г, + г, + ... + т„> 1), и = 1, 2, 3, „.. Следовательно, если известно распределение целочисленного случайного процесса /у(1), то можно найти одвомерные и многомерные плотности вероятности случайных величин т,, та, тз, ..., и наоборот. Основой для формирования различных точечных процессов является простейший пуассоиовский поток.
Целочисленный простейший пуассоновский точечный процесс (Л/ (1), 0 ( ! ( + со) определяется тремя свойствами. !. Он ординарен, т. е. вероятность наступления более одного события на любом малом интервале времени Л! имеет более высокий порядок малости, чем Л1( Р[/у(1+ Л!) — д/(1) = 1) = Р((у(Л1) = 1) = чб!+ о(Л1), (85) Р(/у(!+ Л!) — Л(1) > 1) = Р(/у[Л!) > 1! = о(Л!), .
(86) Ро(т) = ехр [ — чт) а вероятность наличия одной точки (Э = 1) Рг[т) =- »с ехр ( — чт) (8.10) Если в (8.9) и [8.10) положить т = Л/, глеб! — малая величина, удовлетворяющая условию »Л! се 1. то получим Р [Л!) 1 — Л! + [1/2) ч"(Л!)', Р,[Л1) »Л! — «[Л1)« Зги равенства согласую(ся со свойствами (8.7) и (8.5) пуассоновского закона Кроме того, нз второго равенства имеем ч=11гп Р, [Л1)/Л/.
ы о (8 11) Математическое ожидание (и и дисперсия 0 закона Пуассона равны друг другу: (л= 0= »1. (8. 12) Поскольку ш определяет среднее число точек, иыпавших в полуинтервале (О, ![, то параметр ч= т/1 (8. 13) можно трактовать как среднее число точек, приходящихся на едяничный интервал времени. Поэтому ч часто называют параметром интенсивности пуассоиовского потока. где ч — неноторая положительная величина, имеющая размерность, обратную времени [см. (8.13)[.
Следствием этих двух соотношений является равенство Р(//[! + Л!) — Лс(1)=0) = Р(/У(Л!) = 0) = 1 — »Л!+ о(Л/). [8.7] 2. Процесс стационарен, т. е. его вероятностные характеристики не изменяются прн сдвиге всех точек вдоль оси времени на произвольную, но одну и ту же величину Л, 3. Он имеет независимые приращения (значения) иа неперекрываюшихся интервалах времени (отсутствие последействня). На основание этих свойств можно показать [45[, что вероятность Рь(/) наличия й точек в полуннтервале [О 1) определяется законом Пуассона: Рх (!)=(ч!)а е ч'/Ы, 2=0, 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
