Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. Р (А . т ) » Рз(А. т), Р (О„) = Р (6) прн разных». 2 Параметры разных нмпульсов А„в т, а также О„взанмно неэавнснмы, т е. слУчайные велнчнны А, т„, О, » 1, 2, ..., и, н А, т„. Оп, Р 1, 2, ..., и, прн )« ~ » незавнснмы. Представнм рассматриваемую реализацию з(1) случайных неперекрыч вающнхся нмпульсов в анде суммы к(1) = 2 А„з (1 — 1 т„). полставнв этв » 1 выраженне в (8,34), получнм — спектр тнпового нмпульса последовательностн (см.
табл. 8.1). Очевндно, что квадрат модуля спектральной функцнн (Е Пв)Е= Е ()в) Ег()в)= а а ° (в ( в Г») А А Е (в т)Е («з т )е в=~ »цы где через Е* обозначена комплексно-сопряженная функцня. Еслн вычнслнть математнческое ожидание этого выраження, учтв прн этом прннятые предположення относнтельно параметров нмпульсов, а также равенство Вальда (8.25), подставнть полученный результат в походную формулу (8,33) н затем перейтн к пределу прн Т со, получнм следующую окончательную формулу ) ~М (А«(Е) (в т) 1«)+2М (АЕ (га, тЦ М иэ Во (в) )СМ (АЕ' (в, т)) ((е 1+2пи~й б (в) ° ...,1 ожнданве ннтервала между нмпульсамн; и =м (В (1))= — М(АЕ«(о т)) 1 (8.39) ио ожнданне (постоянная составляющая) случайного нм- — характернс стаческая функцня ннтервала между нмпульсамн.
С ая плотность в общем случае является непрерывно-д р - нск етпектральн Ю [в) в нск ет. ной, т. е, состонт на двухсоставляющнх: непрерывной частн Ю«[ ) д р ной линии на нулевой частоте Зк (в): о(в) З«(в) + ок(в) (8.4!) Рнс, 8,3, Модулирующне случайные импульсы прн амплитудно - импульсной модуляция (8.42) (8 .
46) '(8.47) 21$ 214 Дискретная линия обусловлена отлнчным от нуля математическим ожнданнем случайного импульсного процесса. Формула (8.37) справедлива для многнх практически важных импульсных случайных процессов В частности, если дополннтельно к ранее сделанным предположенням прннять, что «амплнтуда» А н длительность т одного н того же импульса есть также незавнсимые случайные величины, т. е. р,(А, т) = р(А)р(т) то форчула (8.37) упрощается н принимает внд Г 8„(Ч) 1 5(в) = — ~ М'А»»+2М» (А~ )»е ~х те ! — 8й (в) ~ 2п х М( ! Г, (в. т) !') -]- —, ]Л! (А) М (Е, !О, т))!» 6(в). т» Рассмотрим прямоугольные импульсы н вместо интервала д введем интервал между импульсамн А„=д — т . (8.43) В этом случае формула (8.42) примет внд 2 5(в)=, + ~М(А') Ке(1 — 8 (в)]+ ( ° 8,(вД! — 8,(в)] !8,(в) — !]) +т»о Ке ~ ! тл» ~ — ) 2лб(в).
(8А4) ! — 8,()8 () ~ (,,+,) Здесь т», тд н тл — соответственно математнческне ожидания длнтельвостя импульса, промежутна между импульсами н амплитуды импульса, 8 (в) = М(ехр(/вт)) — характеристическая функция длительности прямоугольных импульсов я 8з(в) = М(ехр(/вЬ)) — характеристическая функция промежутков между двумя соседними импульсами. В том частном случае, когда незавнснмые прямоугольные импульсы имеют одннаковую амплитуду (А» = А, = сопз!), справедлнвы равенства М (А') = тл =- А» При этом формула (8.44) упрощается ч оказывается симметричной относительно характеристических функцнй 8 (в) н 8 (в): 2'1« ]! — 8»!в)] ]! — 8д(в)! г т, в»(»л, +т ) ! — 8,(в) 8,( ! (8.45) Приведем окончательные формулы для спектральной плотности пернодн.
веских н квазвперяоднческнх импульсных процессов, встречающвхя в радиотехнических системах (27, 56]. Рассмотрим случай, когда импульсы заданной формы /(/, те) имеют по. стоянный период повторения д = до = соп»1, постоянную длительность т = т = сопз1 (т ч де), но случайные н коррелированные амплитуды А (рнс. 8.4, а).
Такое задание параметров нмпульсов характерно для амплнтудно-вмцульсной модуляции (АИМ). Прн амплнтудно.импульсной модуляции периодически, через тактовый интервал де, берутся выборки 5(яде + + )() случайного процесса Ь(/), поторые затем превращаются в периодйческую последовательность импульсов Аа/(/ — еде — )(, т,) со случайными амплитудами Аь = ь(ддо+ )() (рнс.
8.3). Считаем, что точная «прнвязка» моментов отсчета к исходному процессу отсутствует (несивхронные периодические нмпульсы) н случайная величина Х равномерно распределена в ннтервале О ~ )( < де а /тех(/, то) = !. Предположим, что случайный процесс ь(/) является стационарным, нмеет математическое ожнданне т»ь М(ь (/)) соп»1 н корреляционную функцию /71(т) ()1»1(т), где г»(т) — нормированная корреляционная функция. Спектральная плотность полученного таким образом случайного вм. пульсного процесса определяется формулой 5(в) =2пт1» де» ! Е» (в, 'го) !» уа 6 ~в — + до а= — аа + — ! Е, (в, те) !' ~~ гй(Аде) е/""В' до 5(в) =до ' ! Е». (го, то)!» 2лт~ 2 6~в — — ~+ де а= — ао ° х (.—;)1 Из этих формул видно, что спектр состоит нз непрерывной частя н дискретных спектральных лнннй прн частотах /=й/де. Этн днскретные линии имеются только в том случае, когда т1+ О.
Оня обусловлены периодическим стробврованнем постоянной составляющей процесса, Прн ть — — О спектр является сплошным. Волн период до валик по сравненню с временем корреляции ть процесса ~(/), то в последней сумме в правой частн (8.46) будет отличным от нуля лншь слагаемое прн й = О, и формула (8.46) упрощается: 2пй»~ 5(в) =5а(в) ~ д~в — — )+5«(в). до >> та (8 48) де а — со где 5а(в)=2пт~д;*! Е»(в, т) !'. 5 (в) = (01/д) ]Е»(в, т)]а (8 49) Здесь 5а(в) — интенсивность («высота») дискретных спектральных линий, 5 (в) — непрерывная часть спектральной плотности.
В табл. 8,2 прнведены результаты вычислений спектральной плотностн импульсов прн АИМ по формулам(8,49) для разных распределений амплитуд импульсов, представленных в табл. 8,3 (5Ц. Спектры одиночных вндеоям- пульсов разной формы были указаны в табл. 8, 1, Последовательности квазвперноднческих случайных нмнульсов встреча- ются при разлнчных видах нмпульсно-временной модуляции.
Различают четыре основных вида такой модуляции. На рнс. 8.4, б — д показаны «нна- Таблица 8.2 Спектральная плотность импульсов при ДИМ и Плот«асс вераотвоств вмалвтуам в«пульсов о(х) *а(м)а!м «ыав «=о, хп вт.... Зо Пю ! ха р( ))в 2да 2л — глв [Г, (еа, се) [в д(ы — пыо) а Сннусо- ндальная ов — ! Гв (ы, та) )в дв 2п ла ! гг (ю, той б (ы — «ыв) о Нормальная хв [гв(ы тв)[ Зд 2п ш„[ гв (ы. та) [в б (ав — 'выо) й Равномерная се 2п — [рв (х,— хв)+ха[ах да х ! р, (ы, та) !'6 (ы — лыа) Сумма двум дельта-функ. пнй р, (! — рд (хв — х,)в )хв (ы то)[в.
до й с в м м о м и о ы м Ю кочастотныев импульсы, соответствующие разным видам модуляции„до того, как онн воздействуют на колебание несущей частоты. Для простоты изображены прямоугольные импульсы одинаковой амплитуды; Прн ямпульсно-фазовой модуляцви (ИФМ) импульсы имеют постони« ные амплитуду и длительность, а их положевие от периода к периоду меняется в соответствии с передаваемым сообщением (рис. 8 4, б).
2. Прн односторонней модуляции длительности импульсов (ОДИМ) все импульсы начинаются в моменты времени, отстоящие на постоянный период д, а длительность их изменяется в пределах некоторого интервала (д, ты], меньшего до (рнс. 8.4, в). 3. При двухсторонней модуляции длительности импульсов (ДДИМ-!) интервал времени между середннамн любых двух соседних импульсов одинаков (до = сопок, а длительности импульсов случайно изменяются (рис. 8.4, г). 4. При двухсторонней модуляции длительности импульсов (ДДИМ-2) изменяется как длительность, так и положение фронта импульсов, но каждый .импульс не выходит за пределы своего тактового интервала (рис. 8.4, 8). При всех четырех вилах модуляции не допускается перекрывание импульсов, а их положение ограничивается половиной тактового интервала до/2, Приведем выражение спектральной плотности для несколько обобщенного варианта импульсно-фазовой модуляции.
Пусть длительность каждого типового импульса / (д т,), гле Лоах(Г. та) = !, постоянная т; = т, = сопз(, а амплитуды Ач и смещения фронта еа случайвы, стационарны и независимы как для одного импульса (т. е. прв ч й), так и для импульсов в разных тактовых интервалах (при ч Ф й) Для устранения перекрынания импульсов считаем, что сумма длительности импульса то и максимального смещения вшах не превышает д /2. в о д Е .ц л и м Е ! к й с й и 8 м ! ! л и в св о 2! 7 2)В (8.5!) где Ва (ы) =2пАою Оо ! ох (ю то! !о !Во (ы) ! (8 52) (8.53! (8.54! где ео — — 2 з„=1, лж) ° 219 218 Спектральная плотность такой случайной импульсной последовательности определяется формулой Б(ы! = — ! Р; (го, то) !' ~ М (А ) — гл 4 ! В (э) Р+ "'л ! 2пй) +2н —, ~6„(ы) !' ) 5~ю — — ~~, (8.50) Оа ' о= — о где 6 (ы) М !ехр (/ыв)! — характеристическая функция смещения а.
ПРв ао = ео сопз1 РассматРиваемаи последовательность импУльсов пеРио. двческая, ! 6 (ю) ! 1, и формула (8.50) переходит в (8.48). Из формулы (8.50) видно, что прв тл ~ 0 спектр является дискретнослошным. Днскретиыс спектральные линни отсутствуют при шл 0 Рис. 8.4. Различные виды импульсной модуляции Для импульсно-фазовой модуляции с постоянной амплитудой импульсов Аа Ао сопз1 (рис.
8.4, б) формула (8.50) принимает вид йпй 1 8 (ю) =Зд (го) ~ 5 ~ы — — 1 +бе (го), Оо о-- бо (ы) =Ао Оо ! рх(ы то) ! (1 ! Во(ю) ! ) ' В табл. 8.4 приведены результаты расчетов по формуле (8.52) для разных плотностей вероятностей р(в) смещений моментов появления импульсов з = к (см. табл. 8.3).
Амплитуды импульсов считаются одинаковыми, рав. ными А,. Спектральная плотность стационарной последовательности неперекрывающихся импульсов постоянной амплитуды Ао при односторонней модуляции их по длительности (рис. 8.4, о), когда импульсы следуют периодически через интервал Оо, а длительности импульсов случайны н независимы с плот. постыл вероятности р (т) = р (х), определяется формулой (8.51), в которой нужно полагать Бд (а) = 2пло Оо о ! М (г! (ы, т)) !о, Бо (ы)=Ах Оо [М ( !Г, (го.
т) 1*) — )М (Е~ (е1, т)) !"!. Результаты вычислений по этим формулам для импульсов прямоугольной формы при различных распределениях длительностей. импульсов приведены в табл. 8 5 (хо(х) — функция Бесселя нулевого порядка). Спектральная плотность стационарной последовательности неперекрывающнхся импульсов постоянной амплитуды Ао = сопз1 при двухсторонней модуляции нх длительности (рнс.
8.4, г), когда интервал времени между срединами любых двух соседних импульсов постоянен и равен Оо, а длитель. ности импульсов случайны н независимы определяется формулой (8.51), в которой ба (ю) = хпАоо 0„1М (р, (ы т) е~~~~ )!о 5 [го)=Ао д-' (М (! Р (ы т) !о) — ! М (р (ы т) е)нтгз) !о) Результаты вычислений для двух форм импульсов прн разных распределениях их длительности ~рнведены в табл. 8.6. В заключение укажем формулу, которая часто используется в данной главе при решении примеров и задач. Она получается в результате представления периодической последовательности дельта-функций рядом Фурье и имеет вид Х е!онп = ~) е„соз лабо — х б !1ю — — )1, (8.55) 1)о 'о' ° Оо о=— о=о о=— ) Ф, ! х з 22 сс 3 о л Ф Ф О о .с й Ф с Ф Ф О О х Ф з з з з х Ф О 3 о Ф Ф Ф М Ф $ с Ф Ф с с Ф о о с\ Ф с з Ф.
о 221 з з з с\ Ф ОФО Ф Ф ФФ С\ Фху з з "О ! с х с 1 з — з Ф х 3 Ф Ф Ф с и о О. Й з сч з э сс з з Ц 'с' х х ~" » Ф.з. с з» Ф О Ф Ф Ф Ф с Ф Ф. Р Ф с О Ф 60 з! з 8 "'з ь с "з Ъ + с ОР з э Ъ к .О х з Ъ СЧ + сч с О х « к ъ СЧ .с о с О Ф » з к к с з 'О з с 1 з з 1 з О 2 о о З О к "з + Ъ "з з з О. х Ф с + 'з 'О с ОС з 1 л 63 О с сэ с. х О с « х ( с хй з х э й Р.. » о'з. с 4 О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
