Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 33
Текст из файла (страница 33)
! > О. (8 .8) Из этой формулы следует. что вероятность отсутствия точек (д =-0) на каком- либо полуинтервале т (8.9) Плотность вероятности времени /э появления Ьй точки определяетсв гамма-распределением (с параметрами й и ч): Ргь (!)=че ч [ч0а /(Ф вЂ” 1)1, (! 1, 2, 3, ..., ( > О.
(8.14) Математическое ожидание и дисперсия случайного времени 1ь тг„=я/», 0 =й/чз. [8. 15) Последовательность тг, ( = 1, 2, 3, ..., временных интервалов между соседнимн точками пуассоновского потока является последовательностью независимых и одинаково распределенных случайных величин с экспоненциальной плотностью вероятности р[т) = »е — ', т > О. (8.16) Математическое ожидание и дисперсия интервалов между соседними точками соответственно равны и = — 1!ч, О, = !/»'.
Справедливо обратное утверждение: если имеется последовательность независимых случайных величин хг, ! 1, 2, 3... имеющих одну и ту же экспоненциальную плотность вероятности (8.16), то соответствующий ей точечный процесс, оказывается пуассоновским. Пуассоновский поток точек можно получить следующим образом. Пусть случайным и независимым образом во временном полуинтервале (О, Т[ размещено и точек, причем вероятность попадания какой-либо точки на малый интервал Л11=. (О, Т) равна Р = Л!/Т ч,' 1. Тогда при Т со, и со, и/Т ч зеро»тность наличии Ф точен на полуинтервале длиной 1[5 (О, Т[ будет определяться законом Пуассона (8,8). Известно несколько различных обобщений процесса Пуассона.
Укажем здесь два таких обобщении: неоднородный пуассоновскнй процесс и профильтрованный пуассоновский процесс. Пуассоновский пропесс называется неоднородным, если его параметр интенсивности зависит от времени ч (!). [[ля такого процесса вероятность наличия Ф точек з полуинтервале (О 1[ дается неоднородным законом Пуассона: При ч сопз! (однородный процесс) этот закон переходит в обычный закон Пуассона (8.8).
Математическое ожидание н дисперсия неоднородного процесса Пуассона равны друг другу: ш0) = 0 (!) =) »(т)(гт. (8 Н8) о Профильтрованный пуассоновскнй пропесс (д(1), 1 > 0), часто называемый дробовым шумом. можно представить в виде ы(0 $(!! = ~~ д (1, !г, а!). (8.19) ( Здесь (й/(1), 1 > О) — в общем случае неоднородный пуассоновский поток с интенсивностью ч(!), [аг/ — последовательность взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин, не зависящая от (/у(/), ! > 0), д(1, т, а) — детерминированная функция трех вещественных переменных. Во многих практических задачах отдельные величины в записи (8.19) допускают следующую интерпретацию: 1; — время появления случайного события, а! — «амплитуда» элементарного сигнала, связанного с этим событием, д (!, 11, а!) — обусловленное этим событием значение элементарного 207 ~н Ь Э+1 З' зй (8.20) сигнала в момент времени 1 и Цс) — значение при 1суммы элементарных сигналов, обусловленных событиями осуществившимися во временном полуинтервале (О, 1).
Для задания профильтрованного пуассоновского процесса необходимо указать: 1) интенсивность т (1) порождающего пуассоновского потока, 2) общее для всех случайных величин (ас) вероятностное распределение и 3) конкретный вид функции Д (1, т, а). Если выполняется условие М(ЙО(1, г, а)) «ОО для всех т, Рис. 8.2, Случайная последовательность иеперекрывающихся (а) и перекрываю- щихся (б) импульсов с) КИ ЗЭА1 а7 (8.291 (8.30) (8.31) м УФ~ Х; != 1 (8.24) (8.25) ч сч-и+тч — н ~ сч )с (ч' то математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция про- фильтрованного пуассоновского процесса определяются формулами: тй(1) = ( ч(т) М (й (1, т, а)) с(т, о с Л,(1) =) ч(т) М (йз (1, т, а)) Ст, о !О!01!,,С,! Рд(1! Сз) = ) «(т) М (й (1,, т, а) Ь(сз, т,а)) с)т. (8.23) о При вычислении этих и других характеристик точечных и импульсных случайных процессов вида (8.19), представляющих собой сумму случайного числа взаимно независимых случайных величин, используется тождество Вальда.
Пусть (Хс) — произвольные случайные величины с одинаковыми математическими ожиданиями М(Хс) = сп и Дс.— случайная величина, принимающая неотрицательные целочисленнйе значения 1, 2, ... и ие зависящая от Хс прн 1 О йС. Тогда для суммы справедливо равенство Вальда: спа = М(У) = ш~з((йС). Кроме того, если случайные величины Хс не коррелированы и имеют одинаковые дисперсии М((ХА — слх)0) = Лз. то М(УО) = шОАМ(дсз) + Л„М(дс). (8.26) В частном случае, когда йС(1) есть простой пуассоновский поток (8.8), в этих формулах нужно положить М((уЯ) = «1, М(д(з(1)) «1 (1 + «1), (8.
27) Частный вид процесса (8.19), часто применяемый в качестве модели стационарного дробового шума, описывается выражением ~ (1) = ~ Ас й (1 — 1;,тс), — со(1< со (8.28) !=в Здесь(А;) и (т!) — взаимно независимые случайные амплитуды и длительности импульсов, имеющие одинаковые для всех ! плотности вероятности р(А) и р(т) соответственно, 11 — случайное время появления каждого из элементарных импульсов, не зависящее от (Ас) и (тс) и описываемое простым пуассоиовским потоком с параметром интенсивности ч.
Если М(Ас й'(1 — 'с, тс)) < со для всех 1, то математическое ожидж иие, дисперсия и корреляционная функция определяются формулами Кемп- белла (см. пример 8.6): ОО .,=, (,1 ..„,.) Ф О! М(А! 1 Ос. А ). АО 0!!= 0(А! 1 Ас,„! ! Осг!,,)О). 00 Были указаны импульсные процессы, базирующиеся иа пуассоновском потоке. Приведем справочные сведения для импульсных процессов более общего характера.
2. Спектральная плотность случайного импульсного процесса [15). Слу. чайный импульсный процесс Е (1) представляет собой последовательность импульсов в общем случае разной формы, следующих друг за другом через некоторые промежутки времени. Если форма импульсов известна, то случай. пымн могут быть отдельные параметры импульсов: высота илн «амплнтудас А, длительность т, время появления 1 и др. (рис.
8.2). ч' ч Случайные импульсы могут быть неперекрывающимися и перекрывающимися. Под перекрыванием импульсов понимается возможность полног! или частичного наложения разных импульсов друг иа друга. Если в случайной импульсной последовательности никакие два импульса ие налагаютсв друг на друга, то зто последовательность неперекрывающихся импульсов. В последовательности неперекрывающихся импульсов отдельные импульсы должны иметь конечную длительность т . Условие отсутствия перекрывания импульсов можно определить неравенством 1 -)-т +! < 1«+ „«=0, 1, 2, (8.32) Очевидно, что если иеперекрывающиеся импульсы воздействуют на какую-либо инерционную систему, то иа выходе системы, как правило, получаются перекрывающиеся импульсы. В.случайной последовательности перекрывающихся импульсов условие (8.32) не выполняется для всех или части импульсов, т.
е. Ег((в)= Х А»Е«(в, т,)е '"' ° гле Е,(в, т)= ) э,(1.т„)е 1~'41 (8.36) гле ггг Ег()в)= ) «(1)с ' 'й — тгг (8.34) (8.37) Здесь и =М(О)=~ ОР(О)«(0 (8.38) — математнческое — математнческое пульсного процесса; 1 (8 АО) ВО (В) = М (Е(вб) ~ ~1вОР(ОНО 2П 210 Прн рассмотреннн случайных нмпульсных процессов форму отдельных ампульсов часто предполагают нзвестной. Прн этом нсследованне неперекрывающнхся нмпульсов обычно своднтся к решенню двух задач: нахожденню плотностей вероятностей для отдельных параметров нмпульсов («амплнтудэ, длнтельностей, временн появлення) н вычнсленню спектральной плотностн (коварнацновной функцнн). Прн нсследованнн перекрывающнхся импульсов, кроме того, часто рассматрнвают еще третью задачу — вычасленне плотностей вероятностей для мгновенных значеннй результнрующего процесса, представляющего сумму налагающнхся нмпульсов.
Однако эта задача в дальнейшем не рассматрнвается, так как нмеется очень мало простых решеннй ее. Решенне первой эадачн обычно связано с фазнческнм аналнзом конкретного устройства нлн механнэма, генерирующего случайную последовательность нмпульсов.
В дальнейшем зта задача также не рассматрнвается. Предполагается, что необходнмые вероятностные характернстнкн заранее нзвествы. Спектральную плотность стационарной последовательности взанмно неаазнснмых неперекрывающнхся нмпульсов следует вычнслять-по формуле ~(в) = "ш ° М((Ег (1в)11 (8 33) г Т вЂ” спектральная функцня усеченной реалнзацнн нмпульсного случайного процесса $ (1), т. е. реалнзацвн на конечном времевном интервале ( — Т12, Т12) относнтельно пронэвольно взятого начала отсчета временн. Пусть усеченная реалнзацня Ц1) содержнт и нмпульсов.
Пронумеруем отдельные нмпульсы в порялке нх следования на осн временн. Если 1 — момент времена начала»-го нмпульса, то — Т12 < 1«< 1, < 1, « ... 1„, < <1„< Т12. Отметнм тот существенный факт, что длйтельность ннтервала Т чавнснт от и. т, е. Т=- Т,. Еслн через д = 1 +, — 1 обозначать длительность временного ннтервала между двумя соседннмн импульсами, то Т» .
Х О »=! Пронзвольвый одиночный импульс последовательностн обозначим через А з (1 — 1, т ), где з«(г, т»), 1» < г < 1„+ т», з(1 1» 0 г < 1„1~ г»+т, (8.35) Предполагается, что функцня з, (1, т ) является детермнннрованной. Чтобы понятне «амплнтуды» А» нмело смысл, прнннмаем, что макснмальное значенне з,(1, т„) равно еднннце. Слеловательно, случайный характер рассматрнваемого одиночного нмпульса заключается в том, что его «амплнтуда» А, длнтельность т н момент цоявлення 1 янляются случайнымн велнчннамн.
Срэвннтельно просто н математнческн корректно можно выполнить вычнслення по формуле (8.33), прн слелующнх прелположеннях отвоснтельно параметров нмпульсов н всей импульсной последовательности. 1, «Амплнтулаз А„н длнтельность нмпульса т не зависят от интервала Ф» между соседннмн нмпульсамн. Совместная плотность вероятностн случайных велнчнн А» н т, а также плотность вероятностн О не завнсят от временн н одннаковы для всех нмпульсов последовательностн, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
