Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ПРИМЕРЫ р, = рь (1 — а) + ряр, Р, + рв = 1 Отсюда находим финальные вероятности р, = р/(а + р), р, = а/(а + р). (7.54) На основании (7.!3) получим следующее выражение для матрицы вероятностей перехода за п шагов а — (1 — а — ~)л а+р ' а+В а (1)в) а+ — (1 — (1 — а — ())" 1 а+В + (1 а ни)п а а+В а+ В (7.55) а+ ~ФО и а+~~2, то Так как 1 1 — а — ()! ( 1 при (1 — а — р)"- Ои ля Р1 Рв где р„— финальные вероятности. д/в) Я,т д Рнс. 7.3. Цепь Маркова с двумя состоят! та тв г ннямн !86 7.!.
Однородная цепь Маркова с двумя состояниями. Пусть цепь Маркова (О„, п = — О, 1, 2, ... ) имеет два состояния д, и де (рис. 7.3) с вероятностями начального состояния р,(0) = р'„р,(0) = р'„ где р', + р', = 1. Одношаговые вероятности перехода не зависят от времени и чадаиы л„=! — а, л„=а, л„=(), л,в=! — р. Исключим из рассмотрения два тривиальных случая: 1) а + р = О, т.е. а=р=О, 2)а+р=2,т.е.а=1, р=1. В первом случае не происходит смены состояний (оба состояния являются поглощающими) и система остается в заданном начальном состоянии. Во втором случае смена состояний происходит детерминированно, и если начальное состояние задано, то поведение системы будет неслучайным. Требуется найти вероятности перехода лт„(п) за и шагов, безусловные вероятности р„(п), финальные вероятности р„и относительную долю времени, проведенного системой водном из состояний в течение большого интервала времени.
Решение. Применительно к данному примеру в уравнениях (7.10) и (7.17) нужно положить й = 1, 2: Рвс. 7Л. Одномерные дискретные случайные ей/ бдуждвння г По формуле (7.!4) находим безусловные вероятности состояний через и шагов е'(и) =- (Р ~ Р т)л" = — [!т+ (ар1 — ррт) (! — а — Я" +,а + а+В (!тр1 ар() (1 а р)л! (7.56) Отсюда при и — оо получаем прежние значения финальных вероятностей (7.54).
Вычислим относительную долю времени нахождения системы в каждом из состояний. Для этого формально отождествим состояние 6, с нулем и состояние д, с единицей. Пусть случайная величина Х„= (О, 1) означает состояние системы в момент времени !„, причем интервалы времени между соседними скачками одинаковы, т.
е. 7„+, — !„= сола!, и = О, 1, 2, ... Тогда сумма Х, + Х, + + .. + Х„определяет, сколько раз из общего числа и проведены системой в состоянии 1. Обозначим начальное состояние через ' и лм (и) = Р(Х„= 1) Хе = /). ! Известно, что математическое ожидание случайной величины Х, принимающей лишь два значения 0 и 1, совпадает с вероятностью Р (Х вЂ” 1). Поэтому М (Х, + Х,+ ... + Хн(Х„=/) = ли (1) + ли(2) + .„-! лт, (и). Среднее значение относительного времени, проведенного си- СтЕМОй В СОСтОяНИИ 1, ОЧЕВИДНО, раВНО (ЛМ(1) + Лтв(2) + " + + Л7,(и))/И ЕСЛИ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ (ан ) ПРИ И вЂ” ОО равен а, то предел последовательности (а, + а, + ... + ач)/и также равен а. Поскольку л/, (и) -ь р, при п — со, то среднее значение относительного.
времени, проведенного в состоянии 1, стремится к финальной вероятности р, при и — со. Аиалогйчно предел среднего значения относительного времени пребывания в состоянии 0 равен р,. Финальные вероятности р, и р, даются формулой (7.54). 7.2. Неограниченные случайные блуждания. Частица совершает случайные блуждания вдоль оси О, представляющие собой однородную цепь Маркова со счетным числом состояний: из любого состояния / через некоторую единицу времени возможны переходы лишь в три ближайших состояния 7+ 1, /, / — ! с вероятностями л/ тет (1) = р, лт / (1) = 1 — р — д, лт 7, (1) = д (рис. 7.4).
Пусть начальная координата частицы д = 0 при 7 = О. Нужно найти вероятность того, что в момент времени ! = п коорди- 187 дл>> «о, О д< (Л+)'>ям((о» 1)+>< (7.58) + ~ — ) — '+, =г — уо ~ О. Л+>< Рис. 7.5, Случайный двоичный сигнал 188 ната частицы 0„= й, где й = О, »-1, +2, ..., ~-п, а также математическое ожидание и дисперсию случайной величины 0„. Решение. Обозначим через е,< изменение координаты частицы в дискретные моменты времени ( = 1, 2, „, п, ... Случайная величина 2< может принимать три значения: 1, О, — 1 с вероятностями Р(Х< = 1) = р, Р(Х< — — О) = 1 — р — <), Р(У~ = — 1) = д. и Через п шагов координата частицы будет равна 0„= 2, 2<.
Случай» ! ная величина О„может принимать различные значения й = О, д-1, ~2, ..., ~п. Чтобы попасть в точку й, частица должна сделать п, положительных шагов, п, отрицательных шагов и по онулевых», где п„п, и п, — неотрицательные целые числа, удовлетворяющие ра- венствам п, — п, = й» по = п — (п, + по). (7.57) Вероятность того, что 0„= й, определяется обобщенным биномнальным законом о (6 й) ч' Ро, (1 Р ч)о, чл» ло! и>! ло! где суммирование производится по всем значениям п„п„п„удовлетворяющим равенствам (7.57).
Обозначим через т, и Р, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Я; (за один шаг): т, = р — <), Р, = р + а— — (р — <1)». Тогда математическое ожидание т, и дисперсия Р„ случайной величины 6„будут определяться формулами т„= М(9„) =- пт„Р„= М((0„— пт,)') = пР,. (7.59) В том частном случае, когда р + <) = 1 (сохранение предыдущего состояния ие допускается), формула (7.58) примет вид Р (Π— и) — С<о-<-о><2 р<»»-»о><и <(<и — и>/2 и 7.3.
Дискретный марковский процесс с двумя состояниями (случайный двоичный сигнал). Пусть процесс 0(1) в любой момент времени может иметь лишь одно из значений 6> = 1 или ба = — 1 (рис. 7.5), причем вероятность перехода 6< — би за малое время И равна Лб(, а вероятность перехода 6» — 6, равна рЛб Известны вероятности начального состояния р( = Р(0(1,) = 1) и ро = — Р(0((о) — ! ) — 1 р<. Нужно вычислить вероятности перехода п<>(1», 1) = Р(0 (1) = = 9>(6((о) = 0<), где О> = 1, бо = — 1; <, / =- 1, 2, вероятности стационарного состояния р, и р,, а также математическое ожкдание и корреляционную функцию процесса 6 (1). Решение.
Для данного примера а„= Л, а„= р. Из (7.23) находим а„= — Л, а„= — )< Так как все четыре коэффициента ам— постоянные величины, не зависящие от времени, то процесс 0 (1) является однородным. Дифференциальные уравнения (7.24) принимают вид д д< ( о' ) »> ( о ) + Рп <2 (Го' Г)' д г<м(го' <)= (оп<о (го О +Л ' и (го Г), < = 1, 2. (7,60) Из условия нормировки (7.18) имеем п>а ((о, () = 1 — пм ((о 1). Поэтому первое из уравнений (7.60) можно записать иначе Общее решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием п„(1„1») = 1, которое следует из (7.20), известно: Г) — !» ( Š— <и-<-И>и — о> <(З+ Š— <Х вЂ” И> « — »д = ! + В результате решения системы уравнений (7.60) для любых т ) 0 получим и <т)= » е — <льи>» и (т) =<( .)(1 — е — шеи>»1 Л+и ~Л+и! ' " ~Л+и.
(7.6!) п»1(т)= +~ " )е-<" +и>', п»>(т)=( " )(1 — е — <ло.и>'1. Л Л+ и Л+ >» Л+ <» Отсюда при и — » со находим вероятности стационарных значений Р> = >»<(Л + )<) Ро = Л< (Л+(<). (7.62) Этн вероятности можно было легко найти из уравнений (7.30). ой в 18й (7.63) [~ж [!< 191 190 Зная еероятгости начальных значений и вероятности перехода, записываем выражения для безусловных вероятностей значений процесса Р<(го+а) =Р< г<п(з)+(1 — р<) лгг(з) = ~ +(р! — < ) е — <"юо, Рг(/о+ з) = (1 — Р!) лег (з) +р! л„(з) = — (ро, — — ") х Л+« хе — <г+ю ', з'=»О.
На основании определения находим математическое ожидание процесса тв (Ц = М ! О (/Ц = 1 ' Р< (1) — 1 Рг (1) = .[-2 [Р! — — "[е-<г+ю', т=/ — Го. (7.64) н+Л ( 1-[-«/ Аналогично вычисляем корреляционную функцию Йо (з, ) = М (О (<, + е) 0(1, + з + тЦ вЂ” М (О (г, + зЦ М (О (1, +а+ х (ро< — " 1!е — <""-о>'~е-<г+ю'. з, «»0. (7.65) ) Нетрудно убедиться, что в стационарном состоянии те = (р — Л)/(Л+ [г), /7о(т) = 4Л[г(Л+ р) 'ехр[ — (Л+ [<)[т ! | Укажем, что если дискретный марковский процесс Ф (1) имеет два произвольных значения <рг и <р„то его можно выразить через случайный процесс О (1) с двумя значениями ~1 при помощи следующего линейного преобразования Ф(1) 2 [(Ч<< -гЧ~г) +(<«< — Ч'г) 0 (/Ц, (7.66) 7.4.
Линейный процессрождения и гибели [46|.Рассмотрим дискретный процесс 0(1), в котором допускаются как положительные, так и отрицательные скачки. Этот процесс называется процессом рождения и гибели и определяется следующими постулатами: 1) если в момент времени 1 система находится в состоянии / (/= 1, 2,...), то вероятность перехода / — / + 1 в малом интервале времени (1, 1 + Л/) равна Л»Л/ + о(Л/); 2) если в момент времени !система на. ходится в состоянии / (/ = 1, 2, ...), то вероятность перехода /— -».
/ — ! в интервале времени (С, 1 + Л/) равна [< <Л/ + о(Л/); 3) вероятность перехода в состояние, отличное от двух соседних, есть а(Л/); 4) вероятность сохранения прежнего состояния равна ! — (Лг + [<<)Л<+ о(Л/); 5) состояние / = 0 является поглощаю- щим; если изображающая точка попала в это состояние, то процесс прекращается. Решение. На основании постулатов 1 — 5 записываем уравнение (7.26): др/(О =Лг <р< <(1) — (Л<+[<<) р<(1) [-[г<+<р<+г(/), / =1,2,...
(7.67) В рассматриваемом конкретном случае, когда состояние / = 0 является поглощающим, нужно полагать Л, = Л, = ро = О. Поэтому [Ро(1)/«[1 = р<Р<(1). (7.68) Предполагается, что в начальный (нулевой) момент времени система находится в некотором состоянии /„ О С /, ( оо, н, следовательно, начальные условия имеют вид (7.69) ! 0 прн /~/о. В общел< случае, при произвольных функциях Л/ и рь решение уравнений (7.67) и (7.68) оказывается затруднительным [46! В том частном случае, когда процесс рождения и гибели является линейным: Лг — — Л/, !г = р/, Л = сопз( ) О, р = сопз! ) О, решения при начальном условии О (0) = /о = 1 даются выражениями Ро(1) = «<(1) рг(1) = [1 — гг(1)П| — [)(1)[[)/ <(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
