Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 27
Текст из файла (страница 27)
с неп е в менем) и непрерывнозначный марковский процесс (непрерывный п процесс пое р ры ным временем). Характер временных реализаций перечислен ных д гие, бо р ц ссов показан в табл. ?.1. Помимо четырех основных видов, воз о д, озможны Ру, олее сложные процессы марковского тина (дискретно-непрерыв. ные, различного характера смешанные н т. д.) [45!.
О пределяющее свойство всех видов марковских процессов состоит в следующем. Случайный процесс $(1) называется марковским, если для любых л моментов вРемени 1, < гх « ... 1„из отРезка (О, Т) УсловнаЯ фУнкциа ~асп аспРеделениЯ «последнего» значениЯ 5(1я) пРн финсиРованных значениах (1«), 3 (1,), ....
$ (1„,) зависит только от $(1» х), т. е. при заданных значениях 5м $», ..., д» справедливо соотношение Р(5(1.) <».12(1 ) =5. "" 5(г.т.) =5.- ) = =Р(5(1 ) <5.1$(1.- )-5 -). (7.1) Для трех моментов времени 1» > 11 > гь формула (7.1) принимает вид Р(ь(1») <5»1»(гь)=за 5(11)=а1)=Р(ь(11) <4(з(11)=э1) (7 2) Поэтому часто говорят, что характерное свойство марковских процессов состоит в следующем если точно известно состояние марковского процесса в настоящий момент времени (1,), то будущее состояние (прн 1») не зависит от прошлого состояния (при 1а). В качестве опрелеления марковского процесса можно также принять следующее соотношение, симметричное относительно времени: Р ($(1») < "1, 2 Па) < йь(" (1 )=21) = =Р(5(1») < $»15(11) 51) Р(5(гь) < йь)5(11)=51) .
(7 3) Такая запись означает, что при фиксированном состоянии процесса в настоящий момент времени 11 будущее (при 11) и прошлое (при 1а) состояния марковского процесса независимы. Укажем еше одно общее и важное свойство марковских процессов: для них эволюция вероятности перехода Р (а (1) < $ ( $ (1») = 5») описывается уравнением вида г)РАН = РР, (7.4) где »э — некоторый линейный оператор (матрица, дифференциальный оператор и др.). Это позволяет исследовать поведение марковских процессов при помощи хорошо разработанных методов решения соответствующих дифференциальных уравнений.
При этом характер решаемых физических задач может быть различным, в зависимости от заданных начальных и граничных условий для уравнения (7.4). Пусть, например, поведение рассматриваемой системы описывается некоторым уравнением, удовлетворяющим условию (7.2), и заданы начальные условия (состояние системы в начальный момент времени 1»). Тогда в отсутствие каких-либо ограничений нужно сначала записать уравнение вида (7.4) и затем при заданных начальных условиях найти его решение. Если же на поведение системы наложены некоторые ограничения, то для полученного уравнения вида (7.4), кроме начальных условий, нужно дополнительно задать граничные условия, отражающие эти ограничения.
Характер граничных условий может быть разным. Например, точка, отображающая поведение системы, начиная движение из начального состояния $ (1») = $», при достижении границы $ (1) = с «поглощается» ею и работа системы прекращается (нарушается) (траектория 1 на рис. 7.1); точка «отражается» от границы с (траектория 2) н т, д, Если граница . поглощающая, то, помимо отыскания вероятности перехода Р для $ < с, можно интересоваться вероятностью «поглощения» за некоторое время Т или же математическим ожиданием, дисперсией я другими характеристиками времени Т, но истечении которого траектория в первый раз достигнет границы с.
!77 о о о с ь 3 о х 3 х о Ф о х Ч О ч ь о Ю о ь е А г* х В о ж с и Ф х и 6. о х (7. 5) В и о х г х ь тк ), Д.', О < р < п, п О, г( . я О. С. ш ь „х Ф » ь и о Ы и х и х Б х х х я о. с Ф Рис. 7.1, Влнянне поглошающей и отражаю. ь(г) шей границы на траекторию процесса ' С Задачи указанного характера имеют математически строгое решение только для марковских процессов. Конкретизируем уравнение (7 4) для четырех основных видов марковских процессов (45).
1. Простая цепь Маркова. Пусть случайный процесс 0(1) может принимать конечное число К Различных дискРетных значений Вх, Вз, ..., Вк. В НЕКОТОРЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МОМЕКтЫ ВРЕМЕНИ Гз < 1т < Гз « ... (и атн Зиачения могут мгновенно изменятьси, т. е. имеют место переходы Вг Вр г,(=!,К. Характеристическое свойство простой цепи Маркова состоит в том, что вероятность Р (0„) значения процесса В„в момент времени гя зависит лишь от того, какое' значение имел процесс в непосредственно предшествующий ему момент времени (и и и не зависит ат значений процесса в более ранние моменты времени, т. е.
Р(0„10„, 0„..., В„,) =Р(0„10„,)= 10„) 0„,). Поэтому для простой цепи Маркова совместные конечномерные плотности вероятности определяются формулой и Р(0, Вг, ..., 0„) =Рг(йз) П л (О ) 0 1). и ! Условные вероятности л„(0 ) Вн ~) принято называть вероятностями перехода из состояния Ви ~ в состояние О„за промежуток времени()я — 1„~). Одна из основных задач в теории простых цепей Маркова следующая. Пусть задано начальное значение процесса прн гз н указан вероятностный закон смены соседних значений процесса (т.
е заданы соответствующие вероятности перехода). Каким образом можно найти вероятности различных значений процесса в момент времени (я ) 1з и, в частности, при п сор Введем следующие обозначения для безусловных и условных вероятностей: рь(п)=Р(В„=Щ, л)з(р„п) Р(О„Ва)О ВД, (7ьВ .Величина рз (л) есть безусловная вероятность значения Ва на л-и шаге (т. е.
в момент времени Г = га), а ра (Гз) р$ — начальная вероятность значения Вь. Услоиная вероятность мю(р, л) определяет вероятность значения Оь при Гп, если в более ранний момент времени 1 < („ значение процесса было равно Вр Очевидно, что введенные иероятности неотрицательны и удовлетворяют условию нормировки; К ~~ Ро (п)=1, рз(п! > О, и =О, д(; (7. 7) ь=! К ,х71 лса(Р л)=1, лсд(Р, л) > О, ) =1, К. 17.8) а=! На основании правила полной вероятности для введенных вероятностей можем написать уравнения Маркова: К рь(л! ~', р (р)лсь(!ь, л, д 1, К, Ок.р <и! (7.9) 1=! К лсь(р, л) ~ л !(р,т)лсь(т,л), 1, д 1, К, 0<рсгл<л. (7.10) Среди простых цепей Маркова выделяют однородные цепи. Онн характеризуются тем, что вероятности перехода лсь (р, л) зависят талька от разности аргументов, т, е.
л (р, и) = лсь (и — р), и > р > О. (7.11) Обозначим одношаговые вероятности перехода через лсь = л!ь (1). Полное вероятностное описание простой однородной цепи Маркова дости- гаетсЯ заданием начальных веРоЯтностей (Разу и матРицы одношаговых вероятностей перехода лм лсо сс2! !!ой ' ' ' ссэК (7.!2) ЛК! ЛК2 " ЛКК Можно убедиться, что для простой однородной цепи Маркова матрица вероятностей перехода за л шагов равна л-й степени матрицы одношаговых вероятностей л (л) = л", (7.13) а матрица вероятностей различных значений процесса определяется уравнением Рт (л) — Рт (О) ссо (7:!4) Здесь Рт (и) — матрица-строка безусловных вероятностей различных значений процесса на и-и шаге, Р'(0) = [р',, Ро, ....
Ро.[ — матрица-строка начальных вероятностей (при 1о). Однородная цепь Маркова, для которой вероятности (рь(л)1 (рьс не зависят от и, называется стационарной, в противном случае цепь называется нестациоиарнок. В общем случае вероятности рь, если они сущелвуют, находятся в результате предельного перехода рь = 1пп рс, (л), й = 1, К, (7.!6) и называются финальными вероятностями.
Однако, если начальные вероятности (рйс совпздают с соответствующими финальными вероятностямн (Рэс, то Цепь Маркова будет стационарной начиная с Со. 189 6' Финальные вероятности должны алгебраических уравнений удовлетворять системе К линейных К Рь = —. ~ р! л!ь, !г = 1, К, (7,!6) 1- . и дополнительному условию К Рь=! Рь >О ° о=! Суммируя обе части всех равенств (7.16) по й н учитывая соотношение (7.8), приходим к тождеству.
Поэгому К уравнений (7.16) являются линейно зависимыми, и К финальных вероятностей следует определять из (К вЂ” 1) уравнений (7.16) и уравнения (7 !7). 2. Дискретный марковский процесс. Пусть по-прежнему случайный процесс 0 (1) может принимать галька дискретные значения Ос, Оо, ..., Ок, но смена этих значений происходит не в фиисированные, а в любые случайные моменты времени. Вероятности перехода лО(1„, 1) = Р (О (1)=8, ! 8(го) =91(, 1 > 1о, (7.18) удовлетворяют следующим соотношениям К ~', л,!(со, !)=1, лы(со, !) > О, 1, ! 1, К, (7.!9) 1=! (7.17) 1 при с=П лш(С, 1 )=~( (7.20) ~), 0 при 1~(. Кроме этого, для них справедливо ) равнение Колмогорова — Чэпмена к лм(Со. 1+31) Ч ', лсз(Со С) лас(С, 1+31), с > со. Ас > О ° (7 21) ь ! Характерное свойство рассматриваемых процессов состоит в том, что для малых временных интервалов 61 вероятность льь того, что значение не изменится, превышает вероятность изменения значении: льь(1, 1 + бс) ! + лхь (1)С(1+ о(ЛС), (7.22) лс,с(1, ! + 61) аь !(С) 31 + о( дс), где символом о(дс) обозначены члены выше первого порядка малости атно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
