Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В формулах (6.12) — (6.19) спектральная плотность 5 (а) определена для положительных и отрицательных значений круговой частоты, причем 5(а) = — 5 ( — а). Если же вместо тэкога спектра, называемого двухстороннимм, ввести одностороннюю «фаз очес ную» спектральную плотность отличную от нуля лишь при) > О, то формулы (6.12) — (6. !9) можно записать в виде Яй () = 4 ~ Кй (т) соз 2п)тдт, (6.21! о Соотношения, анадогичные (6.2!) — (6.24), справедливы н для взаимных корреляционных н спектральных функций. Иногда в качестве характеристик случайных процессов используют равличные параметры их спектральных плотностей.
Наиболее употребительным иэ ! два —.— ~ 5!о! !Ев 5!О (6.26) 2 гл =М(в)= — —, ) го5(в) !Ев, о (6. 26) 2 Г =М(оз'! — — — ~ в' 5(в) дв, о (6.34> (6.27) (6.28) (6.37! ~ й(Е-с Т вЂ” 1!!> >!ш >!) " —;-(!)~ .=О. го(~То~> дгл Кй(1,, Ез) К (Еы 1з) 4!л! дгл д(л 1 3 до" >т (Ез, Ео) Е( (Е„гз>- $!лЗ ' дгл дгл (6.38> (6. 39) г!лзо ЕП т: (1> =- д! (. ! !)) = —, о! (6.29) да КО(1ю 1,) К (1,, 1,> =-и (х' П,> > 1,>) = (6.30> д!, дго д Кй(..., ! > — М(Е„(1,>"., ! з) (6 Ец> (6.41) 'г 143 149 таких параметров являетсн эффективная ширина спектра Лв„определяемая соотношением Помимо этого, находят применение такие параметры, как средняя частота тл — — М(в> спектральной плотности, средний нвадрат частоты т М!во! н средняя квадратическая ширина а спектральной плотности, соответствен!ю р;шпыс 2 Г ат =М (вз) — М'(го) = —, ~ (в — т )э 5 (в>дв, лз ) ы о При решении задач статистической радиотехники иногда возникает необходямасть установления непрерывности и днфференцнруемости случайных процессов.
Необходимым н достаточным условием непрерывности случайного процесса о (1) в момент 1 является непрерывность ега корреляционной функции Я((1,, Ез) при 1, = Ез = .1. Для стационарного в широком смысле случайного процесса О (1) необходимым н достаточным условием непрерывности является непрерывность его корреляционной функции Кь(т) прн т= О. Случайный пропесс с (1) называется днффереппнруемым в момент времени 1 в среднеквадратическом, если существует такая сл>чайная функция е.(1) = — дй (1> д! называемая произв зднззй! в среднекзалратичсскам процесса с (1), для хо!арой Математическое ожидание т( (1), каваРнацианнаЯ К( (Ез, Ео) и коРРелацион ная Яй (1,, 1,) функции производной О(1) случайного процесса О (1) определяются соотношениями Здесь тй (1), Кй (Ее, Ео) И Кй (1,, Ео) — математическое ожидание, ковариацион ная я коррелнционна з функция случайного процесса о (1). Для стационар ного случайного процесса о (1) соотношения (6.29) — (6.31) приводитси к вид д'К,(т д*)>й(т т.
(1) =О, К, (т) =-Е(г (т) =— (6. 32 о дтэ дтз а спектральная плотность 5 (в) производной о(е) определяется формулой 5. (в)=о!э 5- (в), ( (6.33) где 51 (в) — спектральная плотность стационарного случайного процесса Оо(1). Взаимные коваРнационнаЯ К (Ет, Ез) и коРРелЯционнаЯ Е(11 (Ег, 1,) функции дифференцируемого в среднеквадратнческом случайного процесса О (1) и его производной $ (1) равны дК, (1,, Ез> К . (Е„Е,) =м(Ц(ез>о(гз>)= Ы д1, д)т (1, Ео) (Ев Ез)=М(йо((з) йо(гз)) = ' (6.3о з — .о д(з' Для стационарного случайного процесса в (1> соотношения (6.34) и (6.36) при нимают вид К 4(т)=ЕЕ (т)= — К. (т) — Е(.
(т)л дК1(т)/дт=зЕЕЕй(т>1дт, (6.36,' (4 (1 а взаимная спектральная плотность 5 .( )=-Ев54 (в). 1( Из (6,36) н (6.37) следует, что значение взаимной корреляционной функции Я ь (т) стационарнога случайного процесса о (1) и его производной о (1) 1 в совпадающие моменты времени (т. е. прн т = 0) равно нулю (это означает, что любая днфференцируемая стационарная случайная функция О (1) н ее производная $ (1) в совпадаюшие моменты времени не коррелнрованы), а их взаимная спектральная платность является чисто миямой функцией. Для производных о!"> (1) и-го порядка случайного процесса о (1) сира. ведливы соотношения: Если о (1) является стационарным случайным процессом, то (6.38) и (6.39) приводятся к виду пол)( (т> дзл а (т) = Ес (т> ( — 1)л ( — 1)л 1!л> 4!л> дтол дтзл (6.
40, а спектральная плшность л-й призводной о (1) равна !л> 5 (оз) — взл 5 (в) 4!лЗ ссх+~ Р (т! — ! )/г дххчд (6.44! 2. ПРИМЕРЫ мм то находим !6! Взенмные коеарнлинонные н корреляннонные функннн й-й н 1-й про. взводных йссч (1! н асс'(О случлйного процессе Е(6 определяются свешенными производными вида 1(й (11 12! К ии сп (1, 1.! = сх 1 (6,42! д'-с-' ЛС(1,, 1,! Р „и,(1„1,! = (6.43! 4 дс дсс с х Для сгапнонзрных случайных пропессон формулы (6.42! н (6.43! прннодятся к виду дечс 1( (х! К „ Ст! = Р , (х! = С вЂ” !!е ч' ' Ьи' дте+1 6.1.
Определить, обладает ли функция Р(т)= о'е — "<(с! снос+ — "зй соо1т!), а) О, во)0, сох свойствами корреляционной функции. Решение. Для ответа на поставленный вопрос необходимо проверить выполнение следующих условий: 1) Р(0))0; 2) Р(т)='Р( — т); 3) 1Р(т)1(Р(0); 4) 5(се) =- ! Р(г)е — 1 ° с(т) О. Положительный ответ относительно выполнения условий 1) и 2) следует непосредственно из анализа выражения для Р(т). Лля проверки выполнения условия 3) представим функцию Р(т) в виде Р(,) сс ~ е — сх — мох! + !! е — сохе хх! !)~ т) О 2 с не соо Так как Р(0) =0 = о', для выполнения условия 3) необходимо, чтобы выражение в квадратных скобках по модулю не было больше 2. Можно показать, что при а ( в, это условие не выполняется, так как при т- оо и а ( в, значение ехр ! — (а — в,)т) неограничен.
но возрастает. В случае а = в,функция Р(т) — 1 и только при а ) ) в, условие 3) выполняется. К такому же выводу приводит анализ вьсрамюння Р(т) при т ( О. В ссютветствии с формулой Винера — Хиичииа (6 14) имеем 5() = Р() -1" с(— !(а — вч)с+ вх! Каты !х+ых! Отсюда следует, что условие 4) выполняется также при а ) в . Следовательно, анализируемая функция Р(т) обладает всеми свойствами корреляционных функций при а ) в,.
6.2. Найти корреляционную функцию Рх(т) и спектральную плотность 51(в) для стационарного случайного сигнала $(!) = А з!п(во! + ср), где А и в„— постоянные амплитуда и угловая частота; ср — случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале ( — и, и), Решение.
По определению корреляционной функции (6.6), имеем Ре (т) = М($ (!)$ (1 + т)) — те~. Поскольку лсй = М Д (!))о = ~ А з(п (озо1+ ср) р, (ср) с(ср= О, Р„(т) =М(1(1) х(1+т))„- ~ Л' зсп(во(-! сР) Пс(сР)Х Хвп(охог+соо т+ср) с(йс = Лы зсп (соо!+ ср) Х Х Зс п(соо ! + во т + Ч') схсР Учитывая, что 1171 зсп а зщ р = 1соз(а — р) — соз(а + ои)1/2, Рй(т) = (А' /2) созсоот. Спектральная плотность вычисляется по формуле Винера — Хинчина: Ю А' 5 (в) = " Рт(т)е-с хс(т = —" ~ е — с"'созозотс(т= $ — !есиох кч 'с +е !сею+ос х) с( с, 4 00 Учитывая, что !171,— 1 е1 хс(т = 6(в), окончательно получаем Б 51(в) = (иА,'„/2)!6(в + во) + 6(в — во)1 6.3.
Определить корреляционную функцию йь(т) и спектральную плотность 5! (и) стационарного случайного процесса 5(!) — -- Асов(и! +»г), (6.45) где А, и и»р — независимые случайные амплитуда, частота и начальная фаза. Случайные величины А и и заданы одномерными плотностями распределения вероятностей р„(А) и р„(и), а начальная фаза»р предполагается равномерно распределенной на интервале [ — л, л!, т.е.
Рв(»Р) = 112л, — л -.. »Р ( л Решение [431. В соответствии с определением (6.2) искомая корреляционная функция представляет собой двумерную центральную моментную функцию второго порядка и равна йз(!» (») = М([$(!») — ть(!»)[[$((,) — тз((,)1). ' (6.46) Поскольку в нашем случае тв(!) = М(З(!)) = О, то (6.46) приводится к виду йз(! (о) = М Б(! )$((.) ).
(6.47) По условию задачи стационарный случайный процесс $(!) зависит от трех независимых случайных параметров А, и и»р, в соответствии с чем в (6.4?) необходимо выполнить усреднение по каждому из этих параметров. Таким образом Ф В й: (!», ге) = ~ ~ ~ ~(!»)Ц(!»)рд (А) р„(со) ро(с(»)с[Ас(ис(»р= ! — ( 1 Л'соз(иг, +»!») соз(со!о-[- с;) р„(А) х 2л х р,, (о>) с(Ас(о»с!ф, (6.48) После несложных преобразований находим следующее выражение для корреляционной функции стационарного случайного процесса (6.45): й.„((„(е) = — М(А') ~ р,„(о!)созсоЫи=й!(т), т=(,— !». (6,49) ! Полагая в (6.49) т = О, находим дисперсию случайного процесса $ (!): ес! = — М(Л') ~ р (и)с(и (6.5О) 2 »52 Для определения спектральной плотности 5ы(и) воспользуем ся соотношением (6.19) и запишем корреляционную функцию йс(с) в виде йз(т)= — ! 5ы(и)созитс(г.
! (6.51! 2л А' йз(т) = — [ р„(и) созсотс(и, 5! (со) = (лЛ'!2)р„,(и). (6.53) (6.54) 6.4. Выяснить разницу между спектральными плотностями ста ппонарных случайных процессов 2»(!) и $,(!) с нулевыми математи ческими ожиданиями и корреляционными функциями й;,(т) = о'е — "' '', йы(т) = — о'е — "»'! соз иот. Решение. Корреляционная функция йы (т) является частным случаем корреляционной функции йы(т). Поэтому вначале най- дем спектральную плотность 5; (и), соответствующую й=,(т), а затем из 5ы(со) получим 5м (со). Согласно формулам Винера — Хинч!»на имеем 5ы(и) = ) йы(т) е — !"' с[т=по ) е-"!'»-!»поз иост = г о „,~.
»- [,---'...с,~, о Учитывая, что [171 соз и,т = (ес'"'+ е-с"")/2, получаел» ! ! 5ы (и) = ао' + а'-г»и — ио!' а'+(и+ ио!' 1 газ Сравнивая (6.51) с (6.49), видим, что 5ь(и) = 5ы(и) = лМ(Ао)р„(и), (6.52) т. е. спектральная плотность колебания (6.45) с точностью до по стояниого множителя совпадает с одномерной плотностью распреде ления вероятностей случайной частоты этого колебания. Для частного случая А = А = сопз1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
