Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 35
Текст из файла (страница 35)
о Х с 1 з с э О х с~ с~ с. с О и с и О с к! х «! ч з с — ! т с. х В З! х ф- х с сс э СЧ з ь, к х ь СЧ к к с !О .1 хэ- х -В Ъ~О О. х О к з з О к с з с 2. ПРИМЕРЫ Рис. а 3 Случайный двоичный сигнал ! ~Т с 224 8.!. Вычислить плотность вероятности времени (и появления и-го события в неоднородном пуассоновском потоке с интенсивностью и(!).
Решение, Два события ((и ( !) и (Лс(!) ) и — ! ) являются эквивалентными в вероятностном смысле, так как осуществление одного из них достоверно влечет осуществление другого, т.е. Р((„( () = Р(Н(!) ) и — !) =- ! — Р((У(() ~( и — !). На основании этого равенства и формулы (8.17) записываем выражение для функции распределения времени (и Х и-1 сс "Р( с "сср — 1 с ср ),рьр.
1 и М о и=в о Плотность вероятности времени (и появления п-й точки определяется формулой р.ссс- — 'р.ссс-.срс .р( — ( с.ср.) сп о -с и — с си ) -"2," —,', '() с сс ) )- с и — 1 — срс * (-)" с си — ) сср . сисис 1 (и — 1Р о о 8.2. Пусть тэ(Р) — отрезок времени от некоторого фиксированного момента Р до момента появления первого события после Р (расстояние от Р до первой точки справа — рис. 8.1, а) в неоднородном пуассоновском потоке с интенсивностью т(1).
Найти плотность' вероятности случайной величины т+. Решение, Для произвольного т) 0 события (т+ ) т) и (Лс (Р + т) — Ас (Р) = 0) вероятностно эквивалентны, т е, С +р рс" и.с=рсисги-и — исс'с-ос=-р( — )' .сОр*). На основании этого равенства записываем функцию распределения величины т+ при фиксированном р: с ' -1- с и.« ~рс=ри'ч с-с —.*р( — 1 .сср) Отсюда находим плотность вероятности Р,, (т!Р) =- — Р,,(т1Р)= . (Р + т)ехр — у(а)с(з (8.57) 8.3. Вычислить ковариационную функцию квазислучайвого двоичного сигнала с(1), сформированяого на основе простого пуас- соновского потока упорядоченных временных точек((ш й=О, 1, 2, ... ) следующим образом: $(() = 1, если число точек в интервале (О, 1) четное, и $(() = — 1, если число точек в интервале (О, 1) нечетное (рис.
8.5). Решение. Так как события (й точек в интервале (О, ()) при раз- личных й = О, 1, 2, „. несовместны, то вероятность наличия четного числа точек в интервале (О, !) в соответствии с (8.8) равна Ро(г) +Рв(г) -1- „.=е — 1 ~1+ ("! +...~ =е-"се!сий 21 Аналогично вероятность получения нечетного числа точек в интер- вале (О () равна Р ( ( ) + Р ( ~ ) + е р и ~ ~ ( 1 1 ~ е и с з 1 3! Следовательно, Р(й(!) = 1) = е — рл с(1 у(, Р(й(1) = — 1) = е-" з(1 ир1. По этим вероятностям находим математическое ожидание М (с(() ) = 1 Р(2(() = 1) — 1 Р ($(() = — 1) = = е — ' (с(1 и( — з)с и)) = е-"'. (8.5г) Для вычисления ковариациоиной функции Кй((с, (2) = М(ь((1)х 'оса((2)) нужно знать совместные вероятности случайных величин Б((1) и й(1)2.
Пусть сг — 12 = т ) О. При заданном значении й((,) = ! случайная величина $(11) = 1„если в интервале ((„сс) имеется четное число точек. Поэтому Р(й((с) = 11$((2) = 1) = е-" сЬ ит. Умножив это выражение на Р(й((2) = 1), получим Р (й((1) = 1, $((2) = 1) = е-" с)с ут е — "" с(1 у(2. Аналогично находим р (й((1) = — 1 2((2).= — 1) = е — ст с!с ит е-чср з)с и(„ Р(й((1) = 1! й((2) = — 1) = е- зй тс, Р(ив(с ) = 1, гй(!2) = — 1) =- е- ' з)с ут е ' з)с ир(2, Р(ь(~1) = — 1 $((2) = 1) = е- з)сите- сйугв В Зии. 1222 22З йхйс ее ег аа аз та тете 27 а Рнс.
а.в Случайный фототелс. графный сигнал Записав развернутое выражение для ковариационной функции н подставив в него найденные вероятности, получим Кй((г, Са) = = ехр[ — 2т(С, — С,)1. Поменяв местами С, и Са (т. е. положив Сг( с. С,), придем к окончательной формуле Кй((ы Са) = ехр ( — 2т ~ С, — С, [). (8.59) Из формулы (8.58) видно, что процесс $(С) нестационарен. Это объясняется тем, что начало отсчета времени было выбрано вполне определенным образом (на положительном импульсе). Чтобы аначальное условие» было случайно выбранным, рассмотрим случайный двоичный сигнал Ч(С) = АЦС), (8.60) где А — независимая от $(С) случайная величина, принимающая лишь два значения: +1 и — 1 с одинаковыми вероятностями: Р(А = 1) = Р(А = — ! ) = 1/2.
При этом М(А) — О, М(А') = 1. Нетрудно убедиться, что процесс г((С) стационарен, так как М(ч(С)) = М(А)М(Е(С)) = О, Кч((п Са) = М(А»)М(2(Сг)й(С»)) = ехр ( — 2у[С, — С 1). (861) Процессы Е(С) и Ч(С) асимптотически (при С- оо) имеют одинаковые вероятностные характеристики. 8.4.
Вычислить ковариационную функцию и спектральную плотность случайного фототелеграфного сигнала $(С), сформированного на базе пуассоновского потока упорядоченных временных точек (Са, й = О, ~1; ~2, ...) следующим образом [501. В интервалах между соседними точками $(С) — постоянная величина, равная 1 или Ос вероятностями р и 1 — р соответственно. Значения ЦС) в разных интервалах независимы. Типичная реализация процесса показана на рис. 8.6. Решение.
Для произвольно выбранного момента времени С математическое ожидание процесса МД(С)) = [.Р($(С) = 1) + 0 РД(С) = О) = р. (8.62) Запишем выражение для ковариациониой функции: Ка(С, С + т) = М Д(С)$(С + с)) = Р($(С) = 1, $(С + т) = 1). Фигурирующая здесь совместная плотность вероятности зависит от того, находятся ли моменты времени С и С + т в одном и том же интервале или в разных: ~р, если С и С+ т в одном интервале, (р', если С и С+т в разных интервалах. Вероятность того, что С и С + с находятся в одном интервале, опре- деляется формулой (8.9) и равна Р,([т[) независимо от С, а вероят- ность того, что С и С + т находятся в разных интервалах, равна 1 — Ра([! [).
Следовательно, Кй(т) = РŠ— "!'1+ р'!1 — Е-"!ч![ = Р(1 — р)Е "'"+ р'. (8.63) По ковариационной функции находим спектральную плотность случайного фототелеграфного сигнала ы 5(го) = ~ К;(т)е — ( с(т=,, +р'2пб(о») (8.64) Спектральная'плотность состоит из непрерывной части и дискретной спектральной линии на нулевой частоте. 8.5. Для случайного фототелеграфного сигнала $(С), описанного в предыдущем примере, вычислить математические ожидания времени между переходами 1 — н 0 и 0- 1 и между обратными переходами (рис. 8.6), а также среднюю частоту переходов.
Решение [501. Пусть случайная величина т, есть время между соседними переходами 1- 0 и 0- 1. Принимая во внимание основные свойства случайного телеграфного сигнала, можем записать Р(т( т, ( т + Лт) = Д Р (наличия й — 1 точек в т) Х а=! ХР(отсутствия переходов вэтих я — 1 точках) Р(наличия и-й точки в интервале (т, т+ Ьт))Р(наличия перехода в й-й точке ) = Ю а -1 Ра,(т)(! — р)а ' (тбт)р = ртбт Д ( ) е — "(1 — р)" ' = а ~ (а — !)! , й- = ртС(те-а"'. Математическое ожидание времени между указанными переходамп М (т!) = ртте-ачг г(т = ! чр В силу симметрии среднее время между обратными переходами 0 - ! и 1 - 0 определяется выражением М (г, ) = 1!т(1 — р) Следовательно, среднее время между любыми двумя переходами равно 1 1 Г 1 1 3 1 — (М (т!) +М(т )) — — ~ — + — ~— 2 2 1 чр ч(1 — р)1 2»р(1 — Р) ' что соответствует средней частоте переходов 2тр(1 — Р). 8.6.
Вычислить ковариационную 'функцию случайного процесса (8. 65) ~(7)= ч7, Аай(7 — !д), й~О, д где (А д) — стационарная последовательность случайных величин с одинаковой плотностью вероятности р(А), не зависящая от последовательности значений (1д), которые упорядочены и описываются потоком Пуассона с параметром т. Решение (501. Примем произвольную точку 1 = 1 за начало отсчета времени и затем пронумеруем (!д) в реализации $(!) так, что !8 — пеРваЯ точка спРава от Ол 1, — пеРваЯ точка слева от !а и т. Д. (см. Рис.
8.2, а). Тогда все случайные величины !д — !а при й) 0 и !а — !д при й 0 имеют плотность вероятности (8.14). По определению, математическое ожидание процесса тз=М(й«)) = '~' М(А„)М(й« вЂ” !8)» = О =М)8) Д)))Р)р,,)Р)РР). ~ »8) — ))р,,)))а]- д=)0 — а о =8)М(А» ] 7)«)е — ' У 1' ! 8(! + ] !1«)е")х ерн (Д вЂ” 111 о д= ) Р)] М)А)» 8)))«. )8.88) () — 1!) При вычислении ковариационной функции предположим, что случайные величины последовательности (А д) взаимно независимы, так что М(А') при 1=!~ О, М(Ад Ад= Мя(А) при йчьй 0 при й или ) =О. Тогда имеем Кд«-»-т, !)= М Д«+т)5«)) = ~я~', ~ М(Ад А)) Х Д= ОО)= — ОО х М (й « — (д + т) й « — 18) ).
Двойную сумму можно вычислить путем раздельного рассмотрения восьми членов, для которых й) 1) 1, й =. 1< — 1, й = 1) 1, !)й)1, )<й< — 1, й«'1, й)1, !< — 1, !)1, 228 — РЮ , Дбг(г! ) 5~16 Рнс. 8.7. Способ полу«анна составного сигнала Ч)(11 й < — 1. Эти вычисления весьма громоздки и здесь не приводятся. Окончательный результат имеет простой вид: ОО а Кд(т)=тМ(Аа) ] !)«)й«+т)г((+ 8)М(А) ] й«)Ж . (867) ОО ОО 8.7. Вычислить математические ожидания и ковариационные функции трех видов составного (манипулированного) сигнала (рис. 8.7) ),«) =(П2)П+Л«)»й,(7)+(!72)(1 Цг)»аь,«), ч,«) = й«)й.«)+ П вЂ” Л«)»~,«), Па«) = Цг — Л)Б)« — б) + (1 — 7« — й)Цૠ— Л) или 8! «) = !8« — Л)Б~«) + (1 — 7)« — ЬЯ «), где з)«) и $»«) — не зависящие от 78«) стационарные, не коррелированные между собой случайные процессы с ковариационными функциями К, (т) и К, (т).
В составном сигнале (8.68а) Х«) — «переключающий» стационарный случайный двоичный сигнал (например вида, указанного в примере 8,3) с ковариацнонной функцией Кд(т), принимающий лишь два значения: +1 и — 1, При этом сигнал )!)«) = д„«) при Х«) = = 1 и т!г«) = $8«) при Х = — 1, т. е. случайный процесс Ч,«) представляет собой случайный манипулированный двоичный сигнал, состоящий из последовательности случайно чередующихся двух «элементарных» сигналов $)«) и $»«). В сигнале (8.686) Л«) есть периодическая (с периодом Т) (синхронная) последовательность детерминированных прямоугольных импульсов длительностью Т, (рис.
8.8): 1'! при йТ(7<йТ+Т,, й=0,~1, -Ь28 ..., ~0 при других К В сигнале (8.68в) ))« — Л) — периодическая (несинхронная) последовательность тех же прямоугольных импульсов со случайным смещением )д относительно начала отсчета времени. Случайная величина Л считается равномерно распределенной в интервале (О, Т). Рис. 8.8 Периодическая иереключаюясая функция Л(0 4) т гт гт 8. Решение. Используя независимость Л«) от 5,«с) и $я«я) при рявличных („(я и й для математического ожидания и ковариационной фУнкции сигнала Чо«) полУчим М(Ч,«Ц = (1(2)[! + М Р«Ц[М (й,«Ц+(1 (2) П вЂ” М (Л«Ц[ Х х М(4«) ), Кии(т) = М(Чл«)Чл((+ т)» = (1(4)[1+ Кл(т)ПКл(т) + К,(т)1 + + (1(2)11 — К)„(т)[К„(т). КогДа злементаРные сигналы сл«) и $я«) не коРРелиРованы междУ собой (К„(т) = 0), из последней формулы получаем К», (т) = (1(4)[! + Кл(т)ПК,(с) + К,(т)). (8.70а) Для сигнала т),«) находим М(Ч,«Ц = М(Л«ЦМ(й,«Ц+ и — М(Л«)»)М(8,«Ц, К,«.
(+ т) = М(Ч (ОЧ «+ Ц = Л«)Л«+ )К (т) + + [1 — Л«)П) — Л((+ т)1Кя(т) + (Л«)11 — Л«+ т)1+ + Л«+ )11 — Л(!)1)М(Е,«) )М Д,«)». (8 70б) В силу периодичности Л«) сигнал Ч,«) является периодически ста- ционарным, так как М(Ч,«+ тЦ= М(Ч,«Ц, К„,«+ т, (+ + т) = = Къ(! (+ т). Наконец, математическое ожидание и ковариационная функция си)'нала Ча(() Равны т т М(т) (()» =- МД «)» — ~ Л« — Л) с(Ь + М(Е «)» — ( 1— Т т 8! о —.« — иА =+м(8,(т)»+фм(,«)», К ()- — 4()К «+~ — — — [1 — 4(к)1)К ( )+ +2МД (О»МД*(О»+[1 ф(т)1, (8.70Я) гте д(т) = — 1 Л«)Л«+ т)сй. Периодическая функция о)(т) пока- Т,о вана на рис. 8.9. Сигнал Ч,«) является стационарным в широком смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
