Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 37
Текст из файла (страница 37)
а! 8,!О. Вычислить плотность вероятности временного интервала яа = /а — !а ! между Й-й и (Й вЂ” 1)-й точками неоднородного пуассоновского потока с интенсивностью т(!), считая момент времени /а ! известным и фиксированным. 1а +» о °: ~„л!«,>=.!«,+ ! л( — 1 .!!«). 'и- ! 8.! !. Вычислить плотности вероятности случайных величин т+ и т для простого пуассоновского потока с интенсивностью», где ч« — длина временного интервала от произвольно выбранного момента времени Р до ближайшей точки справа, а т — до ближайшей точки слева. Ответ: р,+ (т) = р, (т) = » ехр( — тт). 8.!2. Найти плотность вероятности промежутка времени Т„= — /,+а — /! между 1-м и (!' + й)-м событиями в простом пувссоновском потоке с интенсивностью ».
Опгеет: рг„!/) = »е "(ъ!)"-г,'й — 1)! Пуессслсдслсу лрсеесс Прсеесс Зрлела» Рис, 8 13. Иллюстрация формирования потока Эрлаига иа пуассо- иовского при а=3 8.!3. В простейшем пуассоновском потоке с интенсивностью» производится операция «разрежениям Пусть все точки, начиная с некоторого начального момента времени, перенумерованы в порядке их появления. Исключим все точки, кроме тех, номера которых кратны некоторому целому числу й (на рис.
8.13 приведен пример для й = 3). В результате такого разрежения получим новый точечный процесс — поток Эрланга. Найти плотность вероятности временных интервалов между соседними собятнями в потоке Эрланга. Ответ: р,„(т) = »е ' (»т)а Ч(й — 1)1, й = 1, 2, 3, ... 8.!4. В законе Пуассона (8.8) длительность временного интервала / является случайной величиной с зкспоненциальной плотностью вероятности -р(/) = а ехр ( — а/), а ) О, ! в О.
Найти вероятность Р„ ровно л событий. / » тл Ответ Р„=а~ е-!'"+»н 1 И=в и! а+» '!а+»~ 8. ! 3. Телефонные вызовы отдельных абонентов являются пуассоновскими потоками вида (8.8), но с разными математическими ожиданиями. Найти вероятность поступления ровно и вызовов на телефонную станцию за время /, если параметры интенсивности разных абонентов можно аппроксимировать гамма-плотностью вероятности р()= ! а»+!»ие-и» г(и+В 8.!6. Пусть (Уг(!), 0( !( оо) и (Уа(!), О( !( оо) есть два независимых пуассоновских процесса с йнтенсивностями ч, и», соответственно.
Вычислить вероятность Р„того, что во временном промежутке между двумя любыми соседними событиями процесса Уг(/) появится ровно п событий процесса Уа(/), Ответ (» т)" и! »,+ »а 1»! +»,/ о 239 Рроцесс 47/Е/ е //роцесс Лх ГЕ/' /7рОцЕОЕ ее /Е/ Суеверный процесс ИЮ Рнс, 8.14. Наложе- ние трех точечных процессов ! !7 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! !! !7 8.17. В законе Пуассона р„= Ль ехр ( — Х)/й! сам параметр Х аспределен также по закону Пуассона: Рх = а" ехр ( — а)/Л(. айти безусловную вероятность появления ровно п событий. жчЛ»е ха ье" 1 г 1» Ы Л! Д! е Х )'„Хь~ — ) ехР ~ — — ") — '= — ехР [ — а(! — — )~Мь(а/е), где М» — й-й начальный момент распределения Пуассона.
8.18. Имеется конечное число г взаимно независимых пуассоновских потоков /)/,(/), ..., й/„(/) с интенсивностями е„..., о, соответственно. Показать, что суммарный поток (рис. 8.14) й/(/) = й/т(/)(-... ... + й/„(/) является также пуассоновским с интенсивностью и = =е,+ ... +о,. Ответ: Нужно убедиться, что для суммарного потока й/(/) выполняются три определяющих свойства пуассоновости потока: ординарности, стационарностн и независимости приращений на неперекрывающихся интервалах времени. Из условия ординарности (8.5) для потока й/(/) определяется параметр интенсивности о = о!+ ...+е„ 8.19. Имеется два независимых целочисленных пуассоновских процесса й/т(/) и /)/е(/) с законами распределения р (п)= ' е '*', рт(т)= * е е!!, п,т=0,1 2,... (ч, /)" (ч«!)ж и! в! Найти закон распределения р(й) для разности й/(/) = й/,(/) — /и'в(/).
Ответ: 7 тт та/а р(/г)=е-!'+"*!!~ — ' /!м(2/)' о,те), /«=О, -(-1, л-2,..., т где /ь(х) — функция Бесселя й-го порядка от мнимого аргумента. 8.20. Вычислить математическое ожидание и корреляционную функпию случайного двоичного сигнала т)(/), который отличается от квазислучайного двоичного сигнала $(/), описанного в примере 8.3, лишь тем, что принимает значения А, и А „а не +! и — 1.
Оп!вепт: М(т)(/)) = (1/2) (А, + А,) .+ (1/2)(А, — Ае)е-»ч! // (/„ /,) = (1/4)(А, — Аа)»!е — »"'' -'*' — е-»е!!с+! ° !1, У к а з а н и е. Нужно воспользоваться соотношением т)(/) = (1/2)(А, + А,) + (1/2НА! — Ав)$(/), а также формулами (8.58) и (8.59). 8.21. Вычислить математическое ожидание и ковариационную функцию случайного двоичного сигнала т)(/), который отличаетгя от случайного фототелеграфного сигнала $(/), описанного в примере 8.4, только тем, что принимает значения А, и А „а не 1 и О. Ответ: М(т)(/)) = А,р + А,(1 — р), Кп(т) = !Аьв + А,(1 — р)!' + (А,— Ае)'р (1 — р)е-"1'!. У к а з а н и е. Нужно воспользоваться соотношением т)(/) = = Аа + (А, — А,) $(/), а также формулами (8.62) и (8.63). 8.22.
Найти спектральную плотность стационарной пуассонов- ° О ской последовательности дельта-импульсов 4(/) = ~ А ьб(/ — /„), где (Аь) — последовательность взаимно независимых случайных величии с одинаковой плотностью вероятности р(А), (/ь) — независимая от (А„ ) пуасгоновская последовательность точек на осв времени с интенсивностью потока ч (рис. 8.15). Ответ: В (в) = оМ (Ав) + (оМ (А ))«2пб(в). У к а з а н и е.
Целесообразно сначала по формуле (8.67) найти ковариационную функцию К(т) = оМ(А')6(т) + (оМ(А))', а затем по ней вычислить спектральную плотность. 8.23. Получить спектральную плотность суммы двух взаимно независимых стационарных последовательностей дельта-импульсов «высотой» А„и В,: 5(/)= ~ Аьб(/ — /„)+ ~ В,.б(/ — /,). Здесь первая последовательность описана в задаче 8.22, а вторая последовательность аналогична первой: (В!) — последовательность взаимно независимых случайных величин с одинаковой плотностью вероятности р,(В), (/!) — не зависящая от (В,) пуассоновская последовательность точек на временной оси с интенсивностью потока р. Ответ: В(в) = оМ (Ае) + РМ (В') + (иМ (А ) + РМ (В ) !в 2пб(в).
Рис. 8.!о, Стационариан ч пуассоновскан последова- тельность дельта-функций 8.24. Рассмотреть два частных случая задачи 8.22: !) р(А) = 8(А Ао)' 2) р(А) = (8(А — Ао) + 6(А + А~!(/2 Ответ: 1) 5(со) = оАоо(! + 2птб(ю)), 2) 5(со) = оАо. 8.25. Получить выражение ковариационной функции бесконечной последовательности чередующихся биполярных дельта-импульсов А,б(1 — 1») и — Аоб(1 — 1»ет) (рис. 8.16), где (1») — стационарная пуасссновская последовательность точек на оси времени с интенсивностью о. Ответ: К(т) = тА',6(т) — тоАое-тт ~ '~.
У к а з а н н е. Рассматриваемую последовательность чередую- шихся биполярных дельта-импульсов можно получить путем дифференцирования стационарного случайного двоичного сигнала, приведенного в примере 8.3, принимающего два значения: А,/2 и — А,/2 (рис. 8.6). Ковариацнонная функция такого сигнала с(1) согласно формуле (8.61) равна Ко(т) = (Аоо/4)ехр( — 2о!т!).
Поэтому К(т) = — с(оК4(т)/4тх. При вычислении второй производной полезно воспользоваться представлением (см. рис. 8.17) вк4(т! )'(тАо*/2) ет"' пРи т < О, Вт 1 (оАр/2)е-ттт прн т >0 где /х(т) = ~Ао/2 при т<0, 1 — (оАоо/2)(! — е'") при т О, /о(т)= [ — тА',/2 при т)0, [ (тА',/2)(! — е-' ') при т О. 8.28. На основе простого пуассоновского потока временных точек с интенсивностью о сформирован случайный процесс б(1) = А„при 1» <1< 1»+„й = О, ч-1, ~2, ..., где (А„) — независимая от (1») последовательность взаимно независимых случайных величин с обшей плотностью вероятности р(А).
Вычислить математическое ожидание и корреляционную функцию процесса $(1). Ответ: М(8(1)) = М(А») = ) Ар(А)ЫА = та, Р(т) =' М(А')Ро(т) + тлП вЂ” Р,(т)! — тл = х)ле — "~", где 0л = М(А') — тл — дисперсия случайной величины А». 8.27. Вычислить корреляционную функцию и спектральную плотность стационарного случайного сигнала а(1) = Асов!юо1 + ф(1) + фо!.
у которого А, и юо — постоянные амплитуда и частота, фо — случайная начальная фаза, равномерно распределенная в интервале ( — л, я), ф(1) — модулирующее случаиное сообщение вида ф(1) =' =-ср„, 1» < 1 < 1»~„й = О, + !. +2, ... Рис. 8дб, Стационарная пуассоновская последовательность чередующихся биполярных дельта-функций Рис.
8.17. К вычислению производных ковариапноиной функции Здесь (ф») — случайная последовательность взаимно независимых случайных величин, равномерно распределенных в интервале ( — и, и), (1») — не зависящая от (ф») стационарная последовательность пуассоновскнх временных точек с интенсивностью о. Ответ (461: К(т) =- — А е-т!т! сов юот, 8(со) = — А' ! ! то+(ю+ю„!' о'+(ю — юо)о 1' 8.28. Случайная функция $(1) образована последовательностью примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов, амплитуды и длительности которых случайны и независимы (рис. 8.!8). Плотности вероятности для амплитуд н длительностей заданы %.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
