Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 41
Текст из файла (страница 41)
СЮ соо 2) т,=~р(У) с)1= Г с!. =-1100 — !=у! =- ,! 100 о о 1!оо — — = — 50 ч. 100 2 ~о 3 ) р ( г ) Л ( ! ) Р ( Е ) ч 1 100 — с ! 100 — с 100 100 9.3. Три системы, состоящие из с(вух элементов, образованы тремя способами соединения элементов (рис. 9.4). Отказы элементов независимы и описываются простыми пуассоновскими потоками с интенсивностями Л, и Л,. Выключатель абсолютно надежен. г Рве 9.4, Трн системы, состоясине иэ двух элементов Требуется: 1) определить вероятности безотказной работы, средние наработки и плотыостн вероятности отказов для каждой из систем; 2) нарисонать зависимости вероятностей безотказной работы систем от времени при Лс = — Л, = Л; 3) сравнить системы по надежности прн Л, = Л, = Л.
Решение. 1. Вероятность безотказной работы для системы нз последонательно соединенных элементов (рис. 9.4, а) определяется формулой (9.25): 2 Ро(!) = ехр — ~ч', Лс! =ехр! — (Л, +Л,) !). с ! Используя (9.5), получаем выражение для среднего времени безотказной работы тс = ~ Р (!) с(7 = е) е 'х'+х'и с(! — (Л +Л ) с о о По формуле из табл. 9.1 находим плотность вероятности отказов рсо(!) = — с(Ро(!усМ = (Л, + Л,)ехр ! — (Л, + Л,)!).
Для системы с параллельным соединением элементов (рис. 9.4, б) соответствующие характеристики равны 2 Р,(!) = 1 — П и — Рс (!)) = 1 — (1 — е — ' с)(! — — хи) = = ехр ( — Лс!) + ехр ( — Лв!) — ехр ! — (Л, + Ле)!1, тс = ! Р (!)с(1= о = (Л! + Л,Л, + Ле))Л,Л,(Л, + Л,), р„(!) = — с(Р,(!Ус)!- = Л, ехр ( — Лс!) + Л,ехр( — Лв!) — (Лс + Лв)ехр ! — (Л, + Л,)Д. Третья система (рис. 9.4, в) работает так. Если первый элемент, начав работать в момент ! = О, откажет через интервал времени Т, = !с, то мгновенно автоматически включается второй элемент. Если отказ второго элемента наступает в момент Т, = )е после его подключения, то время безотказной работы системы Тв = Т, + Т,. Поэтому плотность вероятности отказов третьей системы есть плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин: Рс„(Г) = ~ Рс (сс) Рв(! — сс) с(гс = ' ' (е-'*' — е-"*'), $ — Лс о где р,(!) = Л,ехр (Лхх), рв(!) = Л,ехр ( — Лв!) — плотности вероятности случайных велычиы Т, и Т, (плотности вероятности потока отказов первого и второго элементов).
По влотиостн вероятности р, (4) найдем вероятность безотказыой работы Р (!) ы среднее время безотказыой работы тс„ Р„(2) = (Л,е-"н — Л,е-" )/(Ле — Лс), тс„= (Л, + Лв))дхЛв. 263 Рис. 9.5, Вероятности безотказной работы систем, пряведениых иа рнс. 9.4 Чилло влеменеов л !штук! х.!о ! л/ х, !о 1. Ламиы приемно-усилительные 2.
Полунроводннковые приборы 3. Резисторы 4. Конденсаторы 5. Трансформаторы 6. Дроссели 7. Катушки индуктивные 8. Батареи заряженные 9. Резонаторы кварцевые 1О. Переключатели 11. Разьемы штепсельные 2 0,5 0,25 0,15 0,5 0,025 0,63 7,2 0,3 0,5 0,2 4 5 45 42 3 3 5 1 1 3 7 8 2,5 11,25 8,30 1,50 0,07о 3,15 7,2 0,3 1,8 1,4 //еб УЮ 24 ЛФ 43,5 Итого 119 Р,(1) = ехр ( — 2Л/), тв, = 1/2Л, для второй системы для третьей системы 265 264 2. При Л, = Л, = Л характеристики систем опредедяются нледующими выражениями: для первой системы Рр(/) = !2 — ехр( — Л/))ехр( — Л(), т, = 3/2Л, Р, (7) = (1 + Л() ехр ( — Л/), и„= 2/Л. На рис. 9.5 изображены зависимости вероятностей безотказной работы систем Рв (/), Р» (/), Р„(/) от времени при Л, = Л, = Л.
3. Из графиков видйо, что наименее надежной является первая система и наиболее надежной — третья. По среднему времени безотказной работы третья система лучше первой в 4 раза, а вторая — в 3 раза. Результат справедлив при абсолютной надежности выключателя, В противном случае, при известной надежности выключателя надежность третьей системы следует вычислять по формулам для смешанного соединения. 9.4. Определить вероятность безотказной работы аварийной радиостанции за время 1, = 100 ч при заданном 'среднем времени безотказной работы и, = 250 ч.
Решение. Задача типична для поверочного ориентировочного расчета надежности, когда требуется определить один или несколько показателей надежности радиостанции (системы) по известным показателям ее элементов. Для расчета нужно воспользоваться техническим описанием и принципиальной схемой радиостанции, а также справочными данными по интенсивностям отказов элементов. Удобно составить таблицу: 1. Определяем суммарную интенсивность отказов м !! Ло= ~ а!Л! = ~ луЛ7= 43,5 10 в ч '. /= ! 2. Среднее время безотказной работы т, = 1/Ло = 1/43,5 10 '= = 2,3 10' ч. Расчетное значение больше заданного: т, ) т! в = 250 ч. 3.
Вероятность безотказной работы радиостанции за время /, = = 100 ч Р (/=100)= е "егв — е-!злы !о-' !ов ж 0,96. Целесообразно для 5 — 8 моментов времени в пределах от / = 0 до 1) и, определить значение функции Р (/) = ехр ( — Л„/) и построить график зависимости Р (/), по которому можно определить вероятность безотказной работы за любое время /, При использовании данных по интенсивностям отказов элементов следует соблюдать определенную осторожность.
Более точные результаты будут тогда, когда используются данные, полученные по опыту эксплуатации образцов, близких по конструкции и назначению к рассчитываемой системе. 9.5. В контрольно-поверочную лабораторию поступает пуассоновский поток приборов с плотностью 4 прибора в час. Определить: 1) вероятность того, что за час в лабораторию поступит й приборов, где й = О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; 2) вероятность того, что за время проверки прибора, на которую затрачивается в среднем 30 мин, в лабораторию поступит не менее трех приборов. 3. Р(/г ) 3) ='Ро + Р, + Р„ =0,0129, 3. Согласно (9.62) получим 287 Решение.
По условию задачи входной поток — пуассоновский. Поэтому вероятность того, что за время т в лабораторию поступит ровно й приборов, определяется формулой (9.35): Р(/г, г)=- ( 1 е — !л. ы 1. В данном случае Л = 4, т =- 1, й = О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Поэтому Р(0,1) =- — е-' "- 0,0183, Р(1,1) = — е " 0,0733, 1 1! Р (2,1) 0,147, Р (3, 1) 0,195, Р (4, 1) 0,195, Р (5, 1) 0,156, Р (6,1) 0,104, Р (7,1) 0,0595. т Найдя значение суммы ~~ е —, получим ко о ы о=о '~' Р (/г, — ) = '~' — е — ' = 0,677, о=о о=о где о = Лт = 4(1/2) = 2.
Следовательно, Р(й = 3, 1/2) = 0,323. 9.6. На вход светел!ы обслуживания поступает простейший поток заяввк с плотностью Л = 4 заявки в час. Время обслуживания распределено по показательному закону, причем среднее время обслуживания одной заявки т!,б = 15 мин. Вычислить: 1) количество необходимых обслуживающих аппаратов, чтобы вероятность отказа в обслуживании заявки не превышала 0,01; 2) среднее число занятых аппаратов; 3) вероятность Р(л '=о 3) того, что будет занято не менее трех аппаратов. Решение. Имеем р = — 1/т! об — — 1/0,25 = 4, а = Л/р = 1. 1. По формуле (9.51) вероятность отказа в обслуживании Цеебводнмо найти такое число и, чтобы вероятность Р„„не превосноднла 0,04.
При л = 4 имеем Р = 4! 1+ — + — + — + — ~1! 0,0154, т! 2! 31 4! / нрн ог = 5 получим =-~5!(1+ — '+ ' +...+ — '!! '=0,00306. 11 2! 51д Таким образом, чтобы выполнить условие Р„„~~ 0,01, необходимо иметь 5 обслуживающих аппаратов. 2. Согласно (9.52): л!о =Р, о —" =0,368 т' — = Д.— Д =0,368(1+1+ — -1- — + — ! 0,996. 2! 3! 4! / Ро = — Ро = — 0,368=0,0611, Ро=О 0153 Ро= 0 00306. 3' 3! Следовательно, Р (й ~~ 3) = 0,0798. 9.7. Для уничтожения вновь обнаруживаемых воздушной разведкой наземных целей выделен наряд из пяти батарей.
Число обслуживаемых целей представляет собой простейший поток с плотностью Л = 8. Время обслуживания подчинено показательному закону. Среднее время обработки одной батареей одной цели т! „б = = 30 мин. Определить: 1) наличие установившегося режима работы СМО; 2) вероятность того, что при поступлении очередной заявки на обстрел все пять батарей будут свободными; 3) среднюю длину очереди.
' Решение. 1. По условию, лп — — 30 мин. Следовательно, р = об = !/ль — — 2, а = Л/р = 4. Так как а ( и, то установившийся об режим существует.. 2. По формуле (9.59) находим бо 4' 1! Г 4о бо 4о 4' , 4о 1 Р, = 'ь —.1- = ~1+ 4+ — 1- — + — + — + — ~ ~ ~юг Ы 51(5 — 4)~ ~ 2! 31 4! 5! 51~ о-о лго = Ро = 0,0129 = 2,2.
л.л! (! — в/л)о 5 5! (! — 4/5)о 9.8 [31. На станцию текушего ремонта автомашин поступает простейший поток заявок с плотностью Л = 0,5 машины в час. Имеется помешение для ремонта одной машины. Во дворе станции могут одновременно находиться, ожидая очереди, не более трех машин. Среднее время ремонта одной машины т,,б = 2 ч. Найти: 1) пропускную способность системы; 2) среднее время простоя станции; 3) насколько изменятся эти характеристики, если оборудовать второе помещение для ремонта.
Решение. Имеем Л = 0,5, р = 0,5, а = 1, т = 3. 1, По формуле (9.64), полагая и = 1, находим вероятность того, по пришедшая заявка покинет систему необслуженной: Р„= Р,.„= 1/(1 + 1 + 3) = 0,2. Отлгогителыгая пропускная способность системы д = 1 — Р„= 0,8. Абсолютная пропускная способность О = Лг/ = 0,4 машины в чап. 2. Среднюю долю времени, которое система будет простаивать, найдем по формуле (9 63): Р„= 1/5 = 0,2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
