Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 45
Текст из файла (страница 45)
10.3, а и б. Дельта-функция 6(у — х) обращается в бесконечность, как это следует из рис. 10.3, лишь на том участке биссектрисы координатного угла плоскости переменных х и у, который определяется наименьшим из пределов ! или !г. Поэтому при вычислении интеграла (10.23) оба предела нужно полагать одинаковыми и равными наименьшему. Так, при т) 0 наименьшим из пределов интегрирования является 7 (!, = (-1- т и, следовательно, !г) !). Поэтому г с /=~~си!*+и 6 (у — х) г(хс(у = ~е"*!(х~е"о 6 (у — х) ау= о о о а 1 ез. г(х (е™ 1) 2сг о Подставляя (10.24) в (10.22) и производя замену !, = 1 -)- т (т ~ 0), имеем: р„(йт) = (сей/ /4) е от (1 е — '"'), т) О.
(10.25) При т(0 наименьшим из пределов интегрирования является !, и, следовательно, ь ь сп / =- е" га+ю 6(у — х) с(хг(у = — (е' ' — 1), (10.26) 2а со Подставляя (10.26) в (10.22) и заменяя ! через !, — т (т ( 0), имеем )7„(С т) = (а/1/о/4) еат (1 — е ™ ), т ( О. (10.27) Объединяя (10.25) и (10.27), получаем следующее выражение для корреляционной функции )7и(йт) случайного напряжения т((!) на конденсаторе емкостью С: Гси(1, т) = (ай/о/4) е "!'1(1 — е-' '). (10.28) Полагая в (10.28) т = О, найдем дисперсию 0ч(!) случайного процесса т! (!) 0и(!) = (аМо/4)(1 — е-то!).
График этой зависимости приведен на рис. 10.4. Сравнивая функцию 0и (/) с графиком тч (!) на рис. 102, нетрудно установить, что достижение дисперсией уровня 0,957)ч (со) происходит за время установления ! = 1,5 И С, т. е, вдвое быстрее, чем достижение уровня 0,95 ти (оо) математическим ожиданием лто (!). тзз В стационарном режиме тч(1) = та = тн, /сн (й т) = (ай/а/4) е-"'т! = )с (т) 0„(!) = ай/е/4 = (т„ 10.3. Работа пропорционально-интегрирующего фильтра (рис. 10.5) описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка: (!) Т( Р+ 1 (! 0.29) тл+! Для фильтра, изображенного на рис.
10.5, а, коэффициенты Т и Т, соответственно равны (см. табл. 10.1): Т= С(и+Я), Т,= яс, а для фильтра рис. !0.5, б: Т=Я(С+С), Т,= КС,. На вход фильтра поступает случайное напряжение $ (!), пред- ставляющее собой стапионарный гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием птт = 0 и корреляционной функци- ей (10.20). Определить спектральную плотность Ян (щ) и корреляционную фУнкцию Ян (т) напРЯжениЯ т) (1) на выходе фильтРа. Решение. В соответствии с (10.29) комплексная частотная харак- теристика пропорционально-интегрирующего фильтра Л'()ю) = !. (Р = )и() = (! + )юТ()/(1 + )юТ), а квадрат ее модуля определяется выражением (Л()ю)1 ' =- 1! + (юТ,)Ч/(1 + (юТ)а). (!0.30) Подставляя в (! 0.17) соотношение (10.30) и спектральную плотность входного шума Яь(от) = /!/е/2, находим спектральную плотность процесса т1(/) на выходе фильтра: ~ (м) , + !ы (!' (10.31) 2 1+(ыТ!т График спектральной плотности оч (ю) на' выходе пропорцио- нально-интегрирующего фильтра представлен на рис.
10.6. Видно, что при ю — оо н Т, ~ Т спектральная плотность Зн (в) стремится к некоторому постоянному уровню, равному )(/еТ(/2Та. Если по- Рис. 10.8. Спектральнан плотность на выходе пропорпнонально-интегрирующего фильтра стоянные времени Т, и Т равны, Ян(ю) = !!/е/2, т. е. процесс иа выходе фильтра в этом' случае равен входному белому шуму. При Т, = 0 пропорционально-интегрирующий фильтр ведет себя как обычная интегрирующая цепь )7С. Для вычисления корреляционной функции /7н(т) воспользуемся формулой Винера — Хинчина: )(н (т) = — () 3н (щ) е/ ' ((ю ° 1 2л (10.32] После подстановки (10.31) в (10.32) имеем Ян(т) = — ' Лг, 1 Г !+(ыт(!а е/мт((оь 2 2п,) 1+!ют!т ОО Производя далее замену е/'" = соз(от + )5!и ют, находим: а((с) = — — ~ У, 1 ! Г 1+!ытыи СО5 Ютйо + 2 2п ~,) ! -(-!ыт,е 1+ !ют(р 1+!ыТ!т (10.33) Второй интеграл в (10.33) в силу нечетности подынтегральной функции и симметричности пределов равен нулю, поэтому (10.33) приводится к виду Рнс !ОЛ, Два варианта схемы пропорннонально-интегрирующего фильтра Ч,(.) = — — ~ Ле 1 ! сот юг (((о + 2п ~,) !+!ыТ!т т,( ! г Г соь ыт + ) соз ют((ю — ) (/(о т ,) 1+ !ыт)т 287 др/с) ~ ,Ь т, 1 — соз ютс(о> = 8 ( т), 2п Учитывая, что !171 с(/о — е-~ ' ~/г 1+1иТЛ Т Рис, !0.7.
Коррелипионнаи функции на выходе пропорпнональноинтегрирующего фильтра Рис. 10.8. 11епочка ЯЕ /г' окончательно получаем л' т /7п(т) = — "( — ') 5 (т) + —" — 'е-''1/г. (10.34) 2 1 Т 4Т Та При Т = Т, из (10.34) имеем Ип (т) = (Л'о/2) б (т) = /71 (т). В случае Т, = 0 /с» (т) = (/у' о/4Т) е — ! г ~ /г что согласуется с результатами примера 10.2. График корреляционной функции (10.34) приведен на рис. 10.7. 10.4.
На цепь, составленную из последовательно соединенных индуктивности / и сопротивления /с (рис. 10.8), воздействует напряжение $ (1), представляющее собой белый шум с нулевым математическим ожиданием т1 = 0 и спектральной плотностью 81 (го) = й/о/2, — оо ( ю ( оо (10.35) Найти спектральную плотность Яп (го) и корреляционную функ-, цию /сп (т) напряжения Ч (1) на сопротивлении /7.
Решение. Комплексная частотная характеристика исследуемой цепи определяется соотношением (см. табл. 10.1) Л'(/го) = Я/(/с + /ы/.), а квадрат ее модуля ! Я'(//о) ! ' = Гсе/Ие + (гоА)а!. (10.36) Подставляя (10.35) и (10.36) в (10.17), находим спектральную плотность напряжения Ч (1) 8п(го) =81(о/) ! 7Т(/ео) !' = —,', — (<о( /7о+ (ы/ )о По спектральной плотности согласно формуле Винера — Хиичипа находим корреляционную функцию /сп(т) = — ~ оп(о/) е/"'/(го = — ' — е-'" и/".
2п ,) 2 2Д 288 Аналогично решаются все задачи, связанные с воздействием на линейные системы белого шума. В табл. 10.2 приводятся результаты решения задач подобного вида для случая воздействия на некоторые простейшие линейные системы стационарного гауссовского белого шума с нулевым математическим ожиданием. В таблице даны нормированные корреляционные функции и соответствующие им спектральные плотности процессов на выходе. 10.5.
Определить корреляционную функцию /71 (т) случайного напряжения 5 (1) на входе линейной цепи И. (рис. 10.8) при условии, что выходное напряжение Ч (1) представляет собой стационарный гауссовский случайный процесс с корреляционной функцией /сч(т) = Рче "". (10.37) Решение. Случайный процесс $ (1) на входе рассматриваемой линейной системы определяется уравнением ь(11= — — Ч(1)+ Ч(1) =У(1)+ Ч(1) Д и/ в соответствии с чем )71 (т) = М Йо(1) 5о(1 + т)) = М ((Уо(1) + Чо(1)! (Уо(1 + т) + + Чо(1 + т)!) = /С// (т) -Ь К~ (т). (10.38) Учитывая, что У(1) = — — Ч(1), находим: 7.
Я и'/ / 1. 1о /1 хо Я (т) = — — — Я (с) =2аР ~ — ) (1 — 2ат')е- '*. (10,39) '1 г) ' " "177) После подстановки (10.37) и (10.39) в (10.38) получаем / 1. Я1(т)= Р„е- '* 1!1+2а ~ — ) (1 — 2ат') 1. 10.6. На цепочку /сС (рис. 10.1), начиная с момента ! = О, воздействует случайное напряжение $ (1), представляющее собой стационарный шум с нулевым математическим ожиданием и/а = 0 и корреляционной функцией /71 (т) = Рае-р ~ е!. ' 1О зон.
!аоа ы х 'О а й 1 в ч х Ы Ф с о к л В и О О Ы ю" 291 гео тч(<) = тя(1 — е ас). Рис, !0.9. Области интегрирования о о (10.41) ] Е2аг <(Х ~ Еая — ЗС В <[2 (10.42) 293 Определить корреляционную функцию ссч (т) напряжения т! (1) на емкости С. Решение. Процесс т) (1) на выходе цепочки РС (см. пример 10.2) т!(1)=ав "~] е' 9(х)<[х, а=— = гс' о в соответствии с чем его математическое ожидание Так как по условию задачи та = О, то т„(1) = О. Корреляционная функция Яч (1, 1,) процесса т) (!) (см.
пример 10.2) <с< !Сч (1, ! ) = а' е — а <<+ с,> ~ ~' еа <я+о> Ре (У вЂ” х) <(хс(У. Так как в нашем случае ста (т) = ьгае-а<тс, то )~„(1 ! ) =ать>ае <'+с > ] ] е" < +ю-Зсо с<[х<(у. (10 40) Сделаем в интеграле сс, ,[ — ~ ) еа <я+и> — з си-яс <(хну ос замену у = г + х. При этом (10.41) преобразуется к виду с,— я Так как в подынтегральном выражении аргумент 2 берется по модулю, необходимо определить области интегрирования так, чтобы в пределах каждой из них аргумент г имел бы только один знак. Области интегрирования для случая, когда !< = ! + т- ! (т.
е. когда т 0), и для случая, когда М< = 1+ т( <, (т. е. когда т ~0), показаны на рис. 10.9, а и б. Таким образом, при т ) 0 при интегрировании по г в пределах [ — х, 0) аргумент г(0, а при интегрировании в пределах [О, !>в — х! аргумент г~ О. В соответствии с этим при г,з. 0 интеграл (10.42) можно представить в следующем виде: о С — Л Г ! 4* ! (ВВ 4 4. ! ~ — В 4] <!043> о — л о Подставляя (10.43) в (10.40) и учитывая, что !< — ! = т, получаем следующее выражение для корреляционной функции при т) 0: аЯРО г р ,<>ч(1, т) = — о>( в (1 —,е — вас)е '+[е — <а+а>' — е — оа)е !Р— ав а — [1 — е <а+а>с )е — йт), т~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
