Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Рис 10 29. Отношение сигнал/шум на выходе колебательного контура при экспоиенцнальиои коррелиционной функции входных нвазпгармовических флуктуаций 10.37. Стационарный случайный процесс $ (!) со спектральной плотностью 5!(в) воздейстует на линейный фильтр с комплексной частотной характеристикой Я' (/в) — (! е — 1гот)п Определить спектральную плотность 5„(в) выходного процесса т! (!).
одТ 'дго Ответ: 5„(в) = 5! (в) (2 з!п — ) 2) !0.38. На колебательный контур с комплексной частотной характеристикой 2ав ~(/в) =~о 2ав+/ (в' — в!) воздействует случайный процесс х (!) = в (!) + и (!), где з (!) = [1 (!) — 1 (! — Т)! в (!) представляет собой полезный сигнал в виде отрезка (импульса) длительностью Т стационарного квазигармонического шума 5 (!) = А (!) соз [во! + <р (!)! с нулевым математическим ожиданием т! = О и корреляционной функцией /(й(т) = Р!е-Р!'~ соз вот; и (!) — стационарный белый шум с корреляционной функцией Я„(~) = (й/,/2) 6 (~). ОпРеделить коРРелЯционнУю фУнкцию Ич(!, т) пРоцесса т1 (!) = = т),(!) + т1„(!) на выходе контура и отношение сигнал/шум в конце импульса р (Т) = Р„(Т) /Рч, где Р„(!) — дисперсия составляющей т1,(!) выходного случайного еь процесса т1 (!), обусловленная воздействием колебания в (!); Р„ дисперсия выходного шума т)н(!).
Ответ [бб[: Яи (!, т) = Ян (/, с) +/!ч (т), аВ 'уь"оо /!н (!, и) = ! [(ае — Р1 1 — [)е — ""~)+ о ао [)о (СХ +Д) Š— ат — гаС,Х (Š— ат ! Š— ат) Š— [а+11)Г[СОЗ ! ~~0 Ян (т) = " ' " е-а1т1ссводо с, ауо тд'! о 2 р(Т) =2д !1 р 2е о(1+в~)+!1+и ) е г/= Р1 Т/!/„а = аТ, )дд = р/а.
График функции р(Т)/д = /(а, р,) дан на рис. 10.29. 10.39. Решить задачу !0.38 при условии, что )!! (т) = Рйе-т~'соьчоот. Ответ (65) ,о!уу ' К Рис. 10.30. Отношение сигнад/шум на выходе контура при гауссовой корреляционной функции входных квазигармонических флуктуаций Х 7 г и-аг Ответ (651: Яй (т) = 1зй — соз в, г. з1пбе . бт тЮ 2 л мт й11 а!0 Я (1 с) 1 )г зс е — аызтз) ф ( !с+27 2у т 1/2 / — Ф(" ~ '").г[Ф[" ч~).~ф[" — 2 ~ — ч' ) е — за! ! ф !к+27 !+2уз'с — Ф[ ) е'а"! е — а1'1созв с, 1~0, г сс+2уз !т1 'г з р(т)=20 1'" е!/4и* ф '+~ч~з ф 1 + + ф — ' — ф — е-з Ч = Ой ПЛгз, а = ссТ, рз = у(а. Графики функции р (Т)/д приведены на рис.
10,30. 10.40. Решить задачу 10.38 при условии, что !с, аО, Жез 1 !-,Мп бк па к с(х пз ' 2 [3 бх — ! ~ 5~ | ~ и ~ х ~ ~ ~ ~ ~ 5 | ~ и ~ » ~ з а | бх Д бх е о 1 еза1т! ~ еах — с!х е — а!т1созвет, 1~)0, з!п бх бх — ! — т и е о 1в' рзк,1 Рзх е е в = Г11Т(1те, а = ссТ, рз = 6(а. График функции р (Ту(0 = 1 (а, рз) приведен на рис. 10.31. 10.41. На вход линейного нешумягцего четырехполюсника с комплексной частотной характеристикой рз" Цв), модуль которой определяется соотношением (оз" ()в) ! = ~ 11 при ве — Лв ~в< в,+Лв, [[О при других в, воздействует собственный шум $ (1) параллельного колебательного контура с резонансной частотой в, (рис. 10.32). Вычислить дисперсию Оч напряжения 0 (1) на выходе четырех- полюсника в зависимости от его полосы пропускания Лв = Лв, + +Лв.
Рис. 10.31. Отпо-— р,в шеиие сигнацгшум на выходе колебательного контура при примоугольной спектральной плотности вход. ных квазнгармонических флуктуа- 'Ю ций Рис !0.32, Линейный четырехполк!с- ник Рис 10.33. Модуль комплексной частотной ха. роктеристики фильтра нижних частот ~т в 3!3 О твепг. Для случая апериодических колебаний в контуре (аоо — а'( О, аб = 1/ЕС, а = — )х/2Е, добротность контура Я = = отоЕ/Й ( 1/2): Е)ч — — 4йТР, ~ — агс1п —— ао)/20о Г 1 / С 2п )х1 41)о ~ А ~! А 11 '! — агс1я — /! — — !1 агс1я — — агс1в — ~~, А/ В ~ В в~ ' А-! 1 — 2о' — т ! — 4о', в р'!-оо'ч-!!! — 4о, С = (1 + бх) Я)' 2 Р =- (1 — бх) Я)/2* 6х = Ло)х/ао бо = Лтоо/ао. Для случая периодических колебаний в контуре (аоо — ао ) О, при этом О ) 1/2): ать .О/ 2 )/40о-1 20(!+б ) +2(!+б ) У4Š— 1+20 20 (! +6,)' — 2 (! +6,) ')'40х — 1+20 — )п 20(1 — бх)о+2(1 — 6„) )/40х — 1+20 1! ~+ 20 (1 — бх)' — 2 (1 — 6,) )т40в — 1+ 20 !+б, "' 1 †, При Я )) 1 последнее выражение приводится к виду Е)ч = ' ~ — 1и — '+агс(я — ' йтйа 0 г ! бхб Обо 6 а 120 ба ! ьб, — агс1н ' ~, а = 2 — бх! Ь ='2+6 .
1 — б, Если полоса пропускания четырехполюсника симметрична от- носительно ао (т. е. если Ла, = Лах = Ла/2), то при О >) 1 имеем Р„= — ~ — 1и — + агс1и Вй Г 1 4-рб 06(4+6) и ~ 2!) 4 — б 2(2+6) — 06(4 — 6) 1 Ла — агс1я в= —. 2(2 — 6) ), ао Если к тому же 6 = Ла/а, ч(; 1, то Р„= Р1 — агс1й Яб. 2 Здесь Рй = 'аТ/С вЂ” дисперсия собственных шумов контура (см. пример 10.8). 10.42.
Стационарный случайный процесс $ (1) с корреляционной функцией /!!1 (т) Рйе — а ! т ! воздействует на фильтр нижних частот, амплитудно-частотная характеристика которого приведена на рис. 10.33. Найти дисперсию Р„выходного напряжения т) (1). Ответ: Р„= Рй — агс1И вЂ”. о3о и а ' 10.43. Линейная система имеет амплитудно-частотную характеристику, равную постоянной Юо в интервале (а, — Ла, а + Ла) и нулю вне этого интервала. На вход системы подается белый шум 5 (1) со спектральной плотностью 51(а) = Лто, 0 ( а( оо. Найти корреляционную функцию Яч (т) процесса т! (!) на выходе.
Как следует выбрать Ла, чтобы дисперсия Р„выходного процесса не превышала заданного значения Р? Ответ: /1ч (т) - — то'о !уо Ла '" соз ао т, Ла ( Рп/4З'о Л/о. 10А4. Определить эффективную шумовую полосу пропускания интегрирующей цепочки ЯС (рис. 10.1). Л/а = 1/2ЛС. 10.45.
Фильтр состоит из двух последовательно соединенных однонаправленных линейных систем, частотные характеристики кол торых соответственно равны 1/(1 + /аТх) и 1/(1 + /аТ,), где Т, и Т, — положительные числа. Йайти корреляционную функцию /сч(т) и дисперсию Р„процесса т) (1) на выходе фильтра, если спектральная плотность процесса $(1) на входе фильтра 51(а) =- 5о/(а' + а'). 313 Ответ: ! с!ддп (т) = 8о — '' ~, е —" ! ! + 2 ~а ٠— ад) (()д !в аа) '+ е — в !'!+ е 3 !т! 1 ! ()д(йзд — 61)(ад — 61) ()д (ад — вд) (()1 — ()1) 8, =17т„~а =1(Т„ ()д ()е а+()д+()д 2а (а+()д] (а+Рд) (()!+йд) 10.46. Выразить корреляционную функцию ссп (т) процесса д) (1) на выходе суммирующего устройства с линйей задержки (рис.
10.34) через корреляционную функцию ссй(т) стационарного случайного процесса 5 (1) на входе. Ответ: ! „(с) = 2ссй (т) + ссй (и — Т) + ссй (т + Т). 10.47. На вход линии задержки, имеющей ст' отводов через временные интервалы 8 (рис. 10.35), воздействует стационарный случайный процесс $ (!) с нулевым математическим ожиданием лдй = 0 и корреляционной функцией Яй (т). Определить корреляционную функцию Яп(т) и спектральную плотность Бп(ю) процесса т! (1) на выходе сумматора. Ответ (66): 1 1 зс — ! )хп (т) = — ссй(т) + — 'Е (сдг — д) ссй (к +18) + дс лсд с ! 1 М вЂ” ! + — ~)' (У вЂ” д) Рй (т — 18), с ! вю яп дс— ~п(со) =о$(ю)— срд еед 2 График функции Яп (ю)с51 (ю) = 7" (8ю) приведен на рис. 10.36.
10.48. На линеййое устройство, состоящее из линии задержки на время г„л = Т и вычитающего устройства (рис. 10.37), воз- Ф-гФ-иву ~уй) Рис. 10.36. Спектральнаи 3в сад) плотность процесса на выходе сумматора Юо 62 с(ул' Ю,2сг 63дг 6Всг Ы т действует случайный процесс $ (1) с математическим ожиданием тй (!) и ковариационной функцией Кй (1„(в). Определить математическое ожидание сп (1), ковариационную функцию Кп (1„!д) выходного процесса ) (1) = ~ (1+ Т) — ~ (1) и взаимную ковариационную функцию Кйп (!д, !з) = М (й (1,) Х Х т) (1,)) процессов на входе и выходе, Овсвет: всп(1) = тй(! -!- Т) — тй(2); Кп(1„!з) = Кй(с! + Т, уе + Т)— — К,(1„1, + Т) — К,(1, + Т, 1,) + К, (1„1,), Кй„(1„(а) =- Кй(1„1а + Т) — Кй(2„1а).
10,49. Решить задачу 10.48 при условии, чти входной процесс $ (1) является стационарным с математическим ожиданием лдй и ковариационной функцией Кй (т). Вычислить спектральную плотность Я(ю) выходного стационарного случайного процесса т) (1) = й (1+ Т) — 5 (1) и взаимную спектРальнУю плотность Яйп (ю) стационаРно свЯзанных слУчайных процессов й (1) и д) (!). 314 315 Рнс, 10.34 Суммирующее устройство с линией задержки Рис.
10.35 Суммирующее устройство с многоотводиой линией задержки Рис. 10,37 Нычитающес устройст- во с линией задержки Ответ [14): гпн(с) = О, Кч(т) =-2К1(т) — Кх(т+Т) — Кй(т — Т), Кйн (т) =- К! (т + Т) — Кй (т), М Ян (га) = ~ К„(т) е /"т с(т = 4 з(па — 81 (го), ыг 2 ,Чйн (от) ~ Кьн (с) е — /лт с(т (е/л г 1) 81 (со) где О> Кй (т) е — /мт г(т 10.50. На вход фильтра, схема которого представлена на рис.
10.38, поступает случайный процесс й (!) с корреляционной функцией Я (с) = Ойе-аг*. Найти дисперсию Вн процесса т) (с) на выходе фильтра. Ответ: Он — — ' 2Рй (1 — е — т*). !0.51. Найти спектральную плотность 8н (ю) процесса т)(() на выходе фильтра (рис. 10.38), если спектральная плотность процесса й (1) на его входе (,),! л~ м, 1 85(, 20Л 1 Т / где 5 (х) — дельта-функция; Т вЂ” время задержки в линии. Ответ: 8н(ет) =-4Ае — а*"*з(па~ — ) . 2 10.52. Найти корреляционную функцию /сн(т) процесса т) (() на выходе фильтра, схема которого представлена на рис.
10.38, выразив ее через корреляционную функцию /с!(т) стационарного случайного процесса $ (/) на входе. Ответ: Кгч(т) = Рй(т) — 4/~3(т — Т) — 4/~й(с + Т) + йй (с — 2Т)+ + Яй (т + 2Т). 10.53. На вход радиотехнического устройства, состоящего из последовательно соединенных дифференцирующих устройств и Рнс. 10.39. Последовательное соеднневне днфференннрующнх устройств н сумматора сумматора (рис. 10.39), воздействует стационарный случайный процесс $ (с) с нулевым математическим ожиданием тй —— 0 и корреляционной функцией /сй(т).
Определить корреляционную функцию /сн(т) процесса т) (1) на выходе сумматора. Ответ (4): )~н (т) = /(й (т) + — йй (т) + — /~й (т). ДЗ ага . г(та 10.54. Вычислить одномерную плотность распределения вероятностей рс(т)) для напряжения т).(1) на конденсаторе емкостью С в стационарном состоянии, когда на последовательную цепочку /сС (рис. 10.40, а) воздействует случайный телеграфный сигнал $ (1) (рис. 10.40, б). Сигнал й (/) с одинаковыми вероятностями, равными 1/2, принимает лишь два значения: +! и — 1. Моменты перемен знака (нулей) распределены по закону Пуассона, т. е. вероятность получения п нулей в интервале (;, 1+ т) равна р,(п .с) ()гт)ле — ат 1 л) где ). — среднее число нулей в единицу времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
