Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Определить прибдиженные выражения для математического ожидания т„и корреляционной функции /«п(т) напряжения на выходе детектора Ч (1) = У (1) при больших (а = А„/а )) 1) и малых (а (( !) отношениях сигнал/шум. Ответ: А (1 ! ! ), !Рч(т) ойе — л" (1+ — 'е — ""), а))1, -- р'-'. (" — '.) Г41» ° /» (с) ок " о~ ) е-злз' +' — а'е- "1, а((1. [ ййй 12. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Среди нелинейных преобразований случайных процессов простейшим является такое преобразование (рис. !2.1), прн котором значение выходного процесса ч (!) в любой момент времени определяется только значением вход. ного процесса $ (/) в тот же момент времени: Ч(/) =/Б(!)1, (12. П где /131 — некоторая нелинейная функция. Такое нелинейное преобраэова. ние называют безынерционным или функциональным.
К безынерционному сводятся также нелинейные преобразования, прн которых входной!и выходной процессы 3(/) и Ч (!) подвергаются дополннтель* ноА траясформацви линеАнымн системамя (рис. 12,2), ие оказывающими реакции яа нелииейиыА элемент. Такое преобразование можно записать в форме ь (1) Ез/ (Е а (!)1 ГДЕ Ег И Ез — ЛИНЕйнЫЕ ОПЕРатОРЫ, ОПИСЫВаЮЩВЕ ПОВЕДЕВНЕ ЛиивйНЫХ СнетЕМ. Поскольку правила преобраэованвя характеристик случайных процессов линеАными системами известны (см. гл.!О), для изучения указанных нелннейных преобразованиА достаточно рассмотреть преобразование (12.!).
Общее правило. В общем виде принципиальное решение задачи о нелянейных безынерционных преобразованиях случайных процессов дается известным свойством инваризнтностн диффереяциала вероятности. Пусть известна л-меРнаЯ плотность РаспРеДеленин веРоЯтностЕй Рп ($„$», ..., $п) случайных величин $»„5», ..., $п н нужно найти плотность распределения веРоатностей Рп (Ч,, Чз, ..., Чп) длЯ слУчайных величин где /з — кусочно-непрерывные функции. Если существуют однозначные обратные функции сз = Фз (Чо Чз " Чп) йз = Фз)Ч» Чз " Чп1 (12.3) Рнс, 12.2.
Тппоеое рзлггогезннческое устройство то интересующая нас плотность распределения вероятностей определяется формулой Рв(Чъ Чв ° ° ° Чв) = Рп (Чъъ [Чъ Чв ° Чз1 ° фв[Чъ, Ч,,", Чп! ° ° ° Фп[Ч» Чв. ° Чз!)[Д/з[ (12.4) где Йъ $в" Ы (12.5) д (Чъ Чв " Чл) — якобиан преобразования от переменных ]ъ, 5„..., $в к переменным Чъ в " Чп. ' Ъ' "' тех случаях, когда обратные функции йц неоднозначны, в правой части формулы (12.4) следует взять сумму по каждой нз подобластей.
Рассмотрим следующий частный случай. Пусть Чъ /ъИъ]=$» Ч, Ч-/ъИъ, И. пРнчем обРатные фУикцни йъ ~Ръ[Чъ] Ч„фв = ъуз [в)в, ъ[з] однозначны, В данном случае икобиаи преобразования (12.5) 1 О ° в ~$ а совместиаа плотность РаспРеделеииЯ веРоатиостей Рв (Ч„Ч) слУчайиых величии Ч, я Ч в соответствии с (!2.4) определяется формулой Ръ(Ч« Ч)=Ръ(Чъ Чв [Чъ Ч]) ~ (!2.5) Интегрируя (12.5) по Чъ, получаем одномерную плотность распределения вероятностей для случайной величины Ч вв Р (Ч) =- ) Р, (Ч» ф. [Ч» Ч!) ~ — ~ дц» дйъь (12.71 (12.8) При применении формулы (12А) к практически интересным нелинейным преобразованиям могут возникнуть трудности. Так, если функции/в являются полиномамн выше третьей степени, в общем случае затруднительно найти функции ф» т.
е. аналитически разрешить систему нелинейных уравнений (12.2) относительно $ь Аналогичные трудности возникают и прн трансцендентных функциях /» При кусочно-линейной аппроксимацяи функции /в оказываются разрывными и производные дйч/д/; во многих типовых случаях в некоторых точках могут быть равными бесконечности. Ввиду сложности непосредственного вычисления плотностей распределения вероятностей часто ограничиваются нахождением более простых, но менее полных статистических характеристик выходного процесса, например математического ожидания и корреляционной функции.
Применительно к разным видам нелинейных преобразований для определения этих характеристик можно указать несколько методов. Полиномизльное преобразование [29]. Пусть характеристика нелинейного элемента Ч = / [$] является аналитической функцией в окрестности некоторой точки С. Тогда ее можно разложить в ряд Тейлора: ъ) =/ [5! = аз+ а, ($ — С) +... + аз ($ — С)", 1 д«/И!1 а«= —— ъъя ~!=с число членов которого определяется точностью аппроксимации.
Обозначим начальные моментные функции процесса 5 (/) через т, а Ч(/)— через т. Статистически усреднив левую и правую части равенства (12.8), цолучнм т,(/) =- м(ч(/)) = П) = + м(%П) — с)+ ... + М(И(/) — с1"). (12.9) Перемножив левые и правые части равенств (12.8) для двух моментов времени гъ,ъ/ъ и выполнив операцию статистического усреднения, найдем выражение для двумерной моментной функции (ковариацнонной функции); т»л (/» /,) = М(Ч (/ъ) Ч (/,)) = К (Г» /,) = авъ + авц [т, (/ъ) + +т,(/в) — 2С]+ а] [т, ъ (!» /в) — Ст, (/ъ) — Ст, (/з) + Сч]+ ...
+ -[- авМ('[й (/) — С]в И (/~) — С]") (12.10) Аналогично находятся выражения для высших моментиых функций. «[ли получения выражения моментиых функций процесса Ч (() в иэном виде череа момеитиые функция процесса $ (/) нужно воспольэоватьси форму. лой бинома Ньютона « (з С)« ~ «1 ь«-1Сг 1 0 1 1 ( й ! ) раскрыть члены вида [5(/,) — С]«Я(/,) — С1'И(/,) — С] ..., й, 1, < и затем выполнять статистнческое усреднение.
При атом, если процесс 5 (/) задан своими моментными фуикцнямя, сразу получаем нужный результат. Если же процесс $ (/) задан плотностями распределения вероятностей или характеристическими функциями, то по инм необходимо предварительно вычислить его моментные функции. Моментные функции сравнительно просто находятся для гауссовского стационарного процесса 5(/).
Пусть математическое ожидание тй такого процесса равно нулю; обозначим его дисперсию через Рй - о', а нормированную корреляцяониую функцию — через гй (т). Нетрудно убедиться 16], что при этом одномерные момеитные функции стационарного гауссовского процесса определяются формулой [!.3 5 .... ° (ч — 1) о~! прн четаом т, ,(/)=м(5'(/))=~ ' ' "'"' О при нечетном ч, а для двумерных моментиых функций справедливо соотношение н т ~ тн,(т)=М(йя(/)5 (/+т))=он+» р — «/~«/,ьг«(т), «=э //г«= 1 $гФ'«+'1($)ъ$. Здесь Ф1"1(з) = двФ(з)/дз" — л-я производная от интеграла вероятности ъ 1 Ф (г) = — ( е "'/в ъ(х (12.11) [/2я ) 541 Совокупность коэффициентов /1';„образует матрицу, приведенную в табл.
5.3. Трехмерные моментные функции гауссовского процесса определяются аналогично [26]. Общее правило вычисления многомерных моментных функций установлено в работе [69]. Из формул (12.9) и (12.10) видно, что моментные функции процесса Ф) (1) линейно выражаются через моментные функции процесса $ (1), однако формулы для цементных функций выходного процесса включают более сложные моментиые функции входного процесса. В этом состоит одна из характерных особенностей любого нелинейного преобразования (в том числе и полино. миального) по сравнению с линейным. Кусочно-разрывные и трансцендентные преобразовании.
При рассмотре. нии воздействия достаточно сильных сигналов и помех на нелииеАиые устроАства часто применяют аппроксимацию их характеристик кусочно-разрыв. ными или трансцендентными функциями 1 [Ц, поскольку они позволяют лучше передать существенные свойства участка нелинейноА характеристики.
Вычисление моментных функций выходного процесса для нелинейных преобразований (12,1) такого вида можно выполнять двумя тесно свяааннымн методами: прямым я методом характеристических функций [36], В прямом методе используются сами нелинейные характеристякн н статистическое успеднение выполняется при помощи плотностей распределения вероятностеА. йри этом одномерные моментные функцни находятся согласно очевидной формуле ОО .(1)=М(ц'(1)7= ] ГК(1)]рт(ц )ж, — ОФ а для двумерной момеитной функции ш,л (12, 12) справедливо соотношение тцх(1,.
1,)=М(Ф)(1,) ц(гф= О О !И[АР (62 $2' 12 12) Ж2/6 (12 12) О гДе 5, = 5 (12), $2 = 4 (12). В методе характеристических функций нелинейная характеристика представляется при помощи преобразования Лапласа: ! 2) =-1 [4] = — ~ Р ([и) е)"1/(и, 2 'а где Š— соответствующим образом выбранный контур интегрирования в комплексной областя и.
Внд контура интегрирования и выражение функции Р()и), представляющей собоА прямое преобразование Лапласа нелннейноА функции 1[Я Из (!2.12) и ([2.13) следует, что как метод характеристических функций, так и прямой метод требуют одних и тех же априорных сведений о входном случайном процессе А (1), ибо характеристические функции и плотности расу еделения вероятностей, как известно, связаны преобразованием фурье.
ри выб/ре того или иного из рассмотренных методов решающее значение имеют ие столько теоретические соображения, сколько вычислительные трудности. В заключение отметим, что если $ (1) является гауссовским случайным процессом, то естественным результатом прямого метода является выражение ответа через табулированные производные от интеграла вероятности (12.11), а при использовании метода характеристических функций ответ чаще выражается через гипергеометрические функции [71].
Однако это не имеет существенного значения, так как производные от интеграла вероятности и вырожденная гипергеометрическая функция связаны друг с другом известными соотношениями [70]. Если на вход рассматриваемого нелинейного элемента воздействует гауссовский стационарный процесс $ (1) с нулевым математическим ожиданием я/4 — — О, дисперсией Т)4 — — и( н нормированной корреляционной функцией гй(т), то процедура вычисления интегралов в правых частях формул (12.12) и (12.13) может быть упрощена с помощью специальных приемов.
Применительно к формуле (12.12) один из таких приемов, названный методом дельта- функции, был развит в работах [72, 73). Позже аналогичный метод, называемый методом Прайса [74[, был применен к вычислению интегралов вида (12.13), ° О Метод дельта-функции базируется на представлении двумерной плотности распределения вероятностей гауссовского стационарного процесса в (1) с нулевым математическим ожиданием, имеющей вид [ Ц вЂ” 2гй (г) $2 ~О+Аз О] в форме ряда [6] ОФ 1О+/1~ ьх ) ф1а+/1~ ьз ) и(я) «=з На основании этого разложения формулу (12.12) можно представить в виде О ОО 2 й,,/*/= 1О 2' д [) /и/Ф'"2" 1 )22) 2/О, //2./2/ а=/ где математическое ожидание выходного процесса 2) (1) определяется соот- ношением Е(!)=~'[Ю] -1"4В е приведены в табл. 12.1 [34].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
