Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Найти двумерную плотность вероятности огибающей А (1) стационарного гауссовского процесса $ (!) с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией (11.3). Решение. Значения квадратурных составляющих А, = 'А,(1), А,=А,(!), А„=А,(1+т), А„=А,((+т) в два момента времени ! и 1+ г имеют совместную нормальную плотность вероятности, причем квадратурные составляющие есть стационарные и стационарно связанные процессы. Дисперсии компонент соглано (1!.16) одинаковы и равны ай, а матрица нормированных корреляционных функций в соответствии с (11.6) и (11.16) имеет вид Записываем совместную нормальную плотность вероятности случайных величин А;, А„А„, А„: р (А„А„Азы А;т) = 1 1 ехр! — х (2па1)з (1 — гз) ( 2а( (1 — г') х [А', +А, '+А,',+А,',— 2г,(А, А„+А,А„)— — 2г, (А, А„— А„А,)), (11.38) где г' =- г'(т) определено формулой (11.4): г'(т) = г,'(т) + гз(т).
Перейдя по известным правилам в этом выражении для плотности вероятности к новым случайным величинам согласно равенствам (11.12), т. е. положив А, = А соз ф, А„= А, соз ф„ АА, р,(А, А„ ф, фт) = Х (2па1) з (1 — гз) Х ехр — (А' +А,' — 2АА, (г, соз (ср, — ф) + 1 2а( (1 — гз) +гзейп(фт — ф))! = ехр — * ! ехр ~ (2пазй)з (1 — г') ~ 2аз (1 — г') ! ~ а' (1 — гз) (11.39) где (ну (г) = г,(т)(г,(т), На основании свойства согласованности плотностей вероятностей эта формула позволяет получать различные одномерные и двумерные плотности вероятностей огибающей и фазы гауссовского стационарного процесса. В частности, путем интегрирования по ф, и ф из (11.39) находим двумерную плотность вероятности для огибающей ра(А, А,)= ~ ! рз(А, А„ф, ф )с(ф "с(ф.
При выполнении интегрирования следует воспользоваться определением функции Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента я — х 1з (Х) ) се Ф (ф 1 (11.40) 2м В результате получим интересующую нас плотность вероятности На основании этой формулы можно придти к выражению (11.34) для корреляционной функции огибающей гауссовского стационарного процесса. 11.2 Вычислить плотность вероятности огибающей суммы двух детерминированных гармонических сигналов яд(1) = А,соя ва(, яг(Г) = А,соз(ва! + ф,) и гауссовского стационарного узкополосного процесса 5 (г), представленного в виде (11.11). Реигсние. Введем огибающую У (1) и случайную фазу ф (1) интересующей нас суммы, воспользовавшись следующей записью суммы заданных детерминированных сигналов и случайного процесса: т[ (1) = яд(1) + я,(1) + $ (1) =- Адсоя дое1 + А,соя фгсоя в,1— — Ага!п фгя!п ва1 + Ае(1)соя ве1 — Аа(1) яйгд ве1 = = [А, + А,соя фг + А,(1)1 соя в,!в — [А,(1) + Агя!п ф,! я1п ве1 = У (1) соя [ва1 +'Ф (1)1, (11.42) где У (1) соя 'ф (1) = А,(1) + А, + А, соз дРг (11.43) У (1) я!п ф (1)= Аа(1) + А гзйп дРг У (1) =- ([А с(1) + А, + А,соя ф,!' +[Ад(1) + Ага[и 'рг1')' ', 16 д!д(1) = [А,(1) -1- А,яш фа[ПА,(1) + Ад + А,соя фг!.
Из равенств (11.43) следует, что А,(1) = У (1) соя ф(1) — А, — А,соя ф„ (11.44) А,(1) = 1'(1) я!пд[д (1) — А я!п фг Записав совместную нормальную плотность вероятности независимых квадратурных составляющих А,(1) и А,(1) 1 / Ак+Аг 1 р(А„А,) = — ехр ~— 2по[ 2о4 и перейдя в ней к новым случайным величинам У (1) и д[г (1) согласно равенствам (11.44), получим совместную плотность вероятности для огибающей и Фазы: р (У, ф) = — ехр ~ — [У' + А1+ Аг +2А, А, соз др,— У ! 1 2но2 ~ 2о[ — 2УА, соя др — 2УА соя (ф+ф )] (1!.45) Отсюда находим плотность вероятности для огибающей У (1) Рр(~) — ~ Рг(У Ф)д[д[г. При интегрировании следует воспользоваться выражением (11.40), предварительно применив сдевидное соотношение Агсоя (ф + фг) + Ад соя деь = Агг + Аг + 2А,А,соя фг соя(ф + 7).
После выполнения интегрирования получим У д' Уд+Аде+Аее+2АдА соа о[ 2ог Х 7а ~ — )' А', +Ага+2Ад А,соа дР1 . 1 о[ (11.46) Ф. ф Рис. ! 1.3. Упродцениан функцноиааьнаи сиена радиоприемника 327 Из этой формулы как частные случаи следуют ранее приведенные результаты. Так, полагая в (11.46) А, = О, приходим к формуле (11.27), а при А, = А, = Π— к формуле (11.32).
Отметим, что если бы в рассматриваемом примере детерминированный гармонический сигнал яг(1) имел вид я,(1) = А,соя (дог! -! + др,) = А,соя [ве! + (в, — ве) 1+ др,[, т. е. его частота в, отлична от центральнои частоты в спектральной плотности случайного процесса $ (д), то все предыдущие выражения остались бы в силе, нужно лишь в них вместо фг подставить (в, — в,) 1+ фг, При этом огибаюдцая сумма У (Г) была бы нестационарным процессом. Пользуясь записью вида (11.42), понятия огибающей и случайной.
фазы можно распространить на сумму нескольких детерминированных гармонических сигналов и гауссовского стационарного процесса. 11.3. Пусть на вход радиоприемника, упрощенная функциональная схема которого приведена на рис. 11.3, воздействует сумМа дстсрМИНнрпнаННОГО ГарМОНИЧЕСКОГО СИГНаЛа я(!) = А Спя2П!еГ и гауссовского стационарного белого шума а (1) со спектральной Иу(т)= (! 1.49) з,(1) = Я;А соз 2л141 (11.47) о[ = Ю[й/оа/,- .те,.й; А (1+ — ), а)3, Лооо11 / — "('[+ — 'а1, а~1.
2/ 2(' 4 (11.51) 8с(/) = Бу())]зог(//)] (11,52) лоу-А Л' (1-]- —,) а) 3' 1 4ао оо Яз (т) = ~ оз (1) соз 2л/т4(/. (11.53) плотностью 5'„(/) = л/о. Квадраты модулей частотных характерис- тик усилителя промежуточной частоты (УПЧ) и усилителя низкой частоты (УНЧ) имеют вид гауссовых кривых ]Л' (//)]о=Я'1ехр[ — л(/ 'Цо Л/о((/о, ] Л'о (//) ]' = Л'2 ехР [ — — ( — ) ], где Ь/, и Л/о — эффективные полосы усилителей.
Вычислить математическое ожидание и корреляционную функцию напряжения ь(1) на выходе УНЧ'при больших и малых отношениях сигнал/шум. м аоо Решение. Очевидно, что сигнал на выходе УПЧ равен а спектральная плотность шума на выходе УПЧ определяется из- вестным соотношением 3 (/)=й/о! ЛГ И)]'= Л'[Л/оехР [ — л(/ ~') ]. Такой спектральной плотности соответствует корреляционная функция /[,(т) = ~ ЯЯ) соз 2л/Ы/ = п1 ехр [ — л (Л/1т)о] соз 2л/от, 4 Гауссовский стационарный шум на выходе УПЧ при условии /о )) Л/, является узкополосным, причем его спектральная плотность симметрична относительно центральной частоты /о.
Поэтому сумма гармонического сигнала и узкополосного шума на выходе УПЧ может быть записана в виде (11.18). ' Введем отношение сигнал/шум на входе линейного детектора огибающей а = дз',А /по = А /$~У~~~,. Воспользовавшись результатами решения задачи 11.23, а именно, соотношениями (11.56) и (11.57), найдем математическое ожидание напряжения на выходе детектора ,1/ — (1.~. ~ Ф), (1. а148) Для интересующих нас случаев больших н малых отношений сигнал/шум корреляционная функция напряжения на выходе линейного детектора огибающей дается формулой (11.36), которая применительно к рассматриваемому случаю принимает вид о[ехр[ — л(б/,т)о](1+ — ехр[ — л(Л/,т)о]), а~3, 2а' — п1 (ехр[ — 2л (Л~, т)о]+( — ) а' ехр [ — л(А/,т) оф, а <1.
Воспользовавшись известным интегралом П7] о» е — з" соз Ьхйх = — 1 ~ — ехр ( — — ~, р ) О, (11.50) 2 1/ Р 1 45 о найдем спектральные плотности, соответствующие корреляционным функциям (11.49), 3у(/)= 4~/Ь(т)соз2л/Ыт = о — ехр [ — л ( — ) ].(1 + — ехр [ — ~'-( — / ф, а)3, ехр [ - ( — ) ]([ + Н )' 2 ао ехр[ — - ( — ) ]), а~-1. Так как коэффициент усиления УНЧ при / = 0 равен Л'„ то среднее значение напряжения на выходе УНЧ, очевидно, равно Спектральная плотность напряжения ь(1) на выходе УНЧ определяется соотношением Согласно известной формуле по спектральной плотности находим корреляционную функцию Выполнив вычисления при помощи (Н.50), получиы Г 1 / (2З/ь т)а 1 2а', Хаао — — ехР( — и- 1+ ~ 3Г 1+4та (, 1+ 4оа / /41(т) = ;де о = Л/а/Л/,.
Можно рассмотреть частные случаи формулы (1! .54). Например, можно убедиться, что при т )) 1 справедчиво соотношение й4 (т) ж Юа/~и(т), и )) 1. ' (11.55) Этому результату можно дать следующее объяснение. Если полоса пропускания усилителя низкой частоты значительно больше полосы пропускания усилителя промежуточной частоты (т. е. т )) 1), то низкочастотный спектр напряжения на выходе линейного детектора огибающей воспроизводится усилителем низкой частоты практически без искажений; все спектральные составляющие усиливаются в оаа краз. 3. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ 11.1. Случайный стационарный процесс $ (1) с корреляционной функцией /сз(т) = айе- 'Я1соз е,т записан в виде (11.11): $ (1) = А,(!) сов оо! — А,(1) з!п вой Определить корреляционные функции /с,(т) и /с,(т), а также взаим- ную корреляционную функцию /с„(т) для двух случаев: 1) во чь ео и 2) соо = ва !441 Ответ: 1) /р (т) = Я (т) = а~о-о1т ~ сов Лот, /с„(т) = айе-"1а1збп Лот, Лв = в,— во', 2) /!е(т) = /с,(т) = айе- 1'1, /1„(т) = О.
11.2. Случайный стационарный процесс $(1) с корреляционной функцией Я (т) =а1 е-"1к ~~савва т+ — вгпеа(т! ) 1 аа записан в виде 3 (!) = Аа(1) сов вае — А,(!) в(п ва1. 333 Рис. 11.4. Функциональная схема синхронного детектора Найти корреляционные функции гс,(т) и /с,(т), а также взаимную корреляционную функцию /с„,(т). Ответ: Я (т) /( (т) а~ е-а1т1 Я„(т) = — — аз Š— о1'(вяп т, Ю аа 1, х>0, ввп»= О, х О, — 1, х<0.
11.3. При тех х(е условиях, что и в задаче 11.2, вычислить спектральные плотности В,(в) и Яа(е), а также взаимную спектральную плотность Я (е) Огпвет: 8е (в) =За (в) = 2айа ай а 8-(в) = — —, и (аа+ аа) " аа а'+ о' , 11.4. Случайный стационарный процесс $ (!) со спектральной плотностью !оо при вт(е в„ ~1(в) = !О при в (е„в )е, 331 записан в виде $ (1) = А,(1) сов оо/ — А,в!и о,'1. Найти корреляционные функции /с,(т) и /р,(т), а также взаимную корреляционную функцию /с„(т) для двух случаев: 1) ао — — а, = = (в, + в,)/2; 2) соо = вт. Ответ: 1) Р,(т) = й,(т) =- а~ яп (!тфт, Р„(т) = О, а$ = Во(ва — в,), Д = (вя — гог)/21 2) Я,(г) = Я,(т) = а1 з!п (ва — в,) т/(в,— е,) с, й„(т) = (Яо/2) !сов (е, — со,) с — 1!. 11 5. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
