Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 51
Текст из файла (страница 51)
11.4 приведена схема синхронного детектора, представляющего собой последовательное соединение перемножи- теля и идеального низкочастотного фильтра, пропускающего прак- тически без искажений низкочастотную часть спектра и не пропус- кающего высокочастотную часть. На один вход перемножителя по- дается гармонический сигнал з (1) = Атв!п во!, а на другой — уз- кополосный стационарный шум $ (1) с корреляционной функцией ЯЗ (т) =а3 е-"1т1(созе,т + ~ в(ив, ! т ! ), а (( е,. ао ОпРеделить коРРелЯционнУю фУнкцию /7ч(т) колебаниЯ Ч (1) на выходе фильтра в стационарном состоянии.
Ответ: /7„(т) = (1/4) А!о~е-а~о~ 11.6. Найти отношение сигнал/шум на выходе фильтра синхронного детектора (рис. !1.4), когда на один вход перемножителя воздействует сумма сигнала и шума з (1) + $ (1), а на другой— сигнал з (Е). Сигнал з (1) и шум $ (/) те же, что и в задаче 1!.5. Ответ: а =Ао/о1 11.7. На один вход синхронного детектора (рис. !1.4) подается сумма АМ колебания А,(1 + тсоз 1)/) соз ео/ и узкополосного стационарного шума $ (/) с дисперсией о1, а на другой — опорное колебание А,соз ао/.
Определить отношение сигнал/шум на выходе детектора (полезным сигналом считать колебание с частотой мо дуляции Й). Ответ: а тА,/о1. 11.8. На синхройный детектор (рис. 11.4) воздействует сумма сигнала и шума в (1) + $ (1), а также опорное гармоническое колебание Аоо соз вой Сигналом з (1) является модулированное по случайному закону гармоническое колебание з (1) ь(1) соз гоо1, где Ь(1) — независимый от $(1) стационарный случайный процесс со спектральной плотностью 3 (/) ) уо при О(/ Р/2, (.0; при других/. Стационарный шум $ (1) имеет нулевое математическое ожидание и спектральную плотность (Л/о при /о — Р/2 ~(1~ (/о+ Р/2, 31(/) = ~ ~0 при других /. Амплитудно-частотная характеристика фильтра низких частот постоянна и отлична от нуля лишь при частотах 0 (/( Р.
Найти отношение дисперсии сигнала о,' к дисперсии ов шума на выходе фильтра. Ответ: ооо/по = (Яо/2л/о). 11.9. На два разных входа перемножителя подаются два независимых узкополосных стационарных процесса $,(1) и $о(/). Показать, что мощность (дисперсия) выходного процесса $ (1) распределена поровну между низкочастотной и высокочастотной областями спектра. У к а з а н и е. Лля решения задачи можно воспользоваться представлением корреляционной фукции узкополосного стационарного процесса (П.З) и учесть,что у (О) = О, 11.10. На один вход синхронного детектора (рис. 11А) подается узкополосный гауссовский стационарный шум $ (1) с корреляционной функцией /7з(т) = наг (т) соз вот, а на другой — опорное напряжение А,соз ооой Получить выражения для одномерной и двумерной плотностей вероятностей колебания и (1) на выходе детектора в стационарном состоянии.
Ответ: Выходной процесс п(1) гауссовский с дисперсией оо = = (А,пг/2)о и нормированной корреляционной функцией г(т). 11.11. Вычислить математическое ожидание тв и дисперсию пдо огибающей А(1) гауссовского стационарного процесса $ (1), имеющего дисперсию о1.
Ответ: тл — — оз )/и/2, ало = (2 — и/2) о1. 11.12. Получить плотность вероятности р (и) для квадрата огибающей А'(1) гауссовского стационарного процесса $ (1): Ч (/) =: А'(1). Ответ: р(о)) = — ехр~ —,~, о) > О. / ч ! 2в! 2в1о ) 11.18. Вычислить математическое ожидание тл. и дисперсию плоо кваРдата огибающей гаУссовского стационаРиого пРоцесса й (1). Ответ: тло = 2п1, одо = 4о(1. 11.14. Гауссовский узкополосный стационарный процесс $(1) со средним квадратическим значением ога = 1 В подается на линейный детектор огибакяцей с коэффициентом передачи Л' = 1. Найти вероятность того, что напряжение на выходе детектора превысит 2 В. Ответ: Р = ехр ( — 2) = 0,135.
11.15. Корреляционная функция гауссовского узкополосного стационарного процесса с(1) равна )71(т) = п1е ~ ~ соз аот. Вычислить корреляционную функцию /7в(т) огибающей А(1) этого процесса. Ответ: /7д '(т) = (2 — — 1оз (0,915 е — ""п~+ 2 / + 0,057 е — '" " ' + ...). 11.16. Решить задачу 1!.15 для случая, когда /71(т) = = о~с — ""'/о соз соот. Ответ: /7л(т)=(2 — — 1оь (0915е '*" + 0057 е-'""* +...). 2 / 11.17, Корреляционная функция гауссовского стационарного процесса $ (/) равна /71(т) = оое- *очвсоз оо,т.
Вычислить корреляционную функцию /7т(т) квадрата огибающей Ао(1) этого процесса. Ответ: /7ла(т) = 4о1е 11.18. Получить двумерную плотность вероятности для процесса и (/) = А'(1), представляющего собой квадрат огибающей гауссовского узкополосного стационарного процсса 1 (/) с корреляционной функцией /7о(т) = о1г (т) соз вот. Ответ: г=г(т), 11/№ При тех же условиях, что и в задаче 11.19, получить совместную плотность вероятности для случайной фазы ~р(!) и ее производной <р(1) в один и тот же момент времени. й !-з/е Ответ: р,(йр, йр) = ~1 — ч) 4пУ гй 11,21. На приемное устройство, схема которого изображена на рис. 11.5, воздействует стационарный белый шум п(!) со спектральной плотностью о,(со) = Ме/2.
Частотная характеристика усилителя промежуточной частоты (УП'1) задана выражением ду(/со)=ийе . й сй((о)е 2сйей+/(ей ейю) а импульсная характеристика /й(!) интегрирующего фильтра /1С равна. /й(!) = уе-й'. Определить: 1) плотность вероятности р(й() процесса г( (1) на выходе квадратичного детектора огибающей; 2) математическое ожидание т„, корреляционную функцию Я„(т) и дисперсию а„', 3) математическое ожидание тг, корреляционную функцию /йг(т) и дисперсию а1 процессса ь(!) на выходе фильтра /сС в стационарном состоянии.
~М-4(Е) вве~юив+/и/Е) и/Г)=4 Ю л(Е) упу ( КВийритичньгй дите»тир ВГ()йп) ивидиютий интвароруюигий ввилетр 4д Ряс. !!.З. упропйенная фупкпяокааькая схема рааяопрпемпяка 11.19, Гауссовский стационарныя узкополосный процесс 4 (1) имеет корреляционную функцию /гз(т) = а1 (т) соз сеет.
Получить одномерную плотность вероятности для производной от случайной фазы йр (Ю). О/ивет: Отвея!: 1) р (й!) = — е ")~~4, г( ) О, аей = — сйЛледео/2' 2) т„=2ае, К„(т)=4аее ййоее йыя, ачй —— 4а1 ий1, сое » а' 3) тих=ай/ л1, /14(т) =а,', т (уе-йы" — 2ае — й'й!), т' — 4ай й й 7 а!= ае т+2а 11.22. Пусть $ (!) = А (!) соз [сое! + йр (!)[ — гауссовский ста- ционарный узкополосный процесс. Рассмотрим случайный процесс г( (!) = $ (!) соз ой,! =- (1/2) А (/) сов[(сое — о4) ! + + <р (/)) + (1/2) А( !) соз [(ойе + сей) ! + 'р(!)[. где частота ой, мала по сравнению с частотой ой„но значительно .
превышает ширину спектра процесса $ (!). Спектр процесса й( (!) расположен в двух практически непере- крывающихся полосах, причем нижней боковой полосе соответ- ствует процесс тп(!) = (1/2) А (!) соз [(ойе — ойй) ! + ~р (!)[, а верхней боковой полосе — процесс т(й(!) = (1/2) А (!) соз [(ойе + ой,) ! + ср (!)).
Показать, что процессы г(,(!) и т(й(!) являются стационарными, хотя их сумма есть нестационариый процесс. Убедиться, что про- цессы г(,(!) и т(й(!) не являются независимыми, У к а з а н и е. При доказательствах целесообразно восполь- зоваться соотношениями (11.15).
11.23. Установить разный характер изменения математического ожидания тр и дисперсии а5 огибающей У(/) в зависимости от от- ношения сигнал/шум а =- А /а1 для малых и больших значений а. Ответ: .! т = а; — "[1+ — ай) ар=аз 1г —" ~1.-[- — ай) а~1. (11,56) тд=А з/'1 + — А /1 + — 1, ар=ай, а)3. (11.57) 2ой !, 4ай/ У к а з а н и е. Нужно в формуле (11.30) воспользоваться сле- дующими асимптотическими представлениями функций Бесселя: !, 2 ) Ы [ 2(2о+2) /„(х) = [1+ — [ ...1, х»1.
(11.59) У5» ! 8» ззз Ответ! .) 2 "~' /п(та)/п(тЬ) созпО, л г Чг=-/ (чз, $», ", эп!, Ч»=1»Бг $», ", Еп), (12.2) Чп=/и 1»з оз ", $ 1, ьп Фп (чз Чз "' Чп1' его г'Г/ РИ® рг/ —,Р/г/ -~~ Ггго/' ~ — -и. пл»' Рнс, 12.1. Нелинейный безынерционный преоб- разователь ,(У) = — 'ехр — "", * /з — ',-- 10 хг.(, ')ед г„( — ', )г.( — ', )г. ( ',, )). У к а з а н и е. Для решения задачи следует воспользоваться интегральным представлением функций Бесселя (17) 1п(х) = = -) е" ""о соз пОг(0, п = О, 1, 2, ..., и частным случаем «теоремы о сложения» бесселевых функций: 1, (т)г а'+Ь' — 2аЬсозО ) =1о(та)1,(тЬ) + где а ) О, Ь ) О и О ) О. 11.32.
На линейный детектор огибающей воздействует сумма з (!) + $ (!) = Амсоз (юз! + Фо) + А (!) соз !шо! + Ф (!)) =- =- У(!) соя !юо/+ф(!)), где э (!) — детерминированный гармонический сигнал; $ (!) — гауссовский стационарный узкополосный шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией /14(т) = = оззе- з'соз шзт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
