Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 54
Текст из файла (страница 54)
На входы перемножителя (рис. 12.6) воздействуют стационарные некоррелированные случайные процессы $,(1) и Дг(1) со спектральными плотностями 5,(о) и 5,(о), соответственно рав- ными 12 зеи «гоа 333 "аг —— А г огг+ А гг А г аг —— А А д А А огг агг+ огг 2 2 г огг+— г А А ог А ог-огг- — ог-ага+ 2 г аг+ег+ 2 плотности 5,(е — тг) слева направо относительно 52(р), такое перекрытие имеет место в четырех случаях, первый из которых соответствует перекрытию составляющей спектральной плотности 52(т) в области т ( 0 с составляющей спектральной плотности 5,(е — т) в области е — и) О. Этот случай перекрытия 52(т) и 5,(е — о) имеет место при значениях частоты е, удовлетворяющих неравенствам (рис.
12.8) л л л л е+ев+ — > — ег — —, е+е, — — ( — ег + — . (12.31) 2 2 2 2 Объединяя неравенства (12.31), находим следунвцую область зна- чений е, соответствующую первому случаю перекрытия функций 52(н) и 5,(е — т): — е,— Л~ е( — ее+ Л где е, = е, + е,' — суммарная частота. Рис. 12.7. Спек. трельные плотно. сти процессов на входах перемно- жителя 50(ее+ Л + е), 5о( — ее+ Л вЂ” е), 50(ер + Л + е) 5о( ер + Л вЂ” е), 50( — ер + Л + е), 5о(ер+ Л вЂ” е), 50( — е, + Л + е), 50(ес + Л вЂ” е), 0 — е,— Л ее+ Л вЂ” е — Л(ес" — е, — р — ер~ е( — е„+ Л, ер Л»(е(ев евине»(ер+ Л, ее Л см е ( ее ес нм е » «ес + при других е, 5 (е)= где 5о =- Агглгв/2н, График функции 5„(е) представлен на рис. 12.0. 12.8.
На безынерционный огранйчитель с характеристикой (!2.23) воздействует стационарный гауссовский случайный процесс $ (1) с нулевым математическим ожиданием ть = 0 и корреляционной функцией Яа(т) = а~21(т). Вычислить математическое ожидание тп и корреляционную функцию 1сп(т) процесса т) (1) на выходе ограничителя. При дальнейшем увеличении е и выполнении неравенств Л Л Л л е+оха+ ~ ег е+еа (»ег + 2 2 2 2 наступает перекрытие составляющей спектральной плотности 52(т) в области т) 0 с составляющей спектральной плотности 5,(е — о) при е — и ) О.
Соответствующая этому случаю область значений е определяется соотношением ер Л(»е~ер+ Л где ер — — е, — е, — разностная частота. Аналогично для третьего случая (перекрытие составляющих 52(ат) в области т( 0 и 5,(е — т) в области е — и ( 0) находим (ор Л ( е нь ер + Л а для четвертого (перекрытие составляющих 52(т) в области о ) 0 и 5в(е — т) в области е — и( О) имеем ее Л(»е»(ее+ Подставляя теперь в (12.30) значения 52(и) и 5,(е — о), определяемые соотношениями (12.28) и (12.29), и производя интегрирование в указанных выше областях, получаем 12о Збб /-;-' А г ог+гог —— г сгг ь— А г о"егг' ' г' Рнс, 12.8.
Области интегрирования Рис. 12рь Спектраль. ная плотность на выходе перемножителя ого А / сгр А / А егв А / гое-А 1 " гое '1 сгг ьА Яд о А ее+А Таблица $2.3 Зниченн» иоиффицнеитои а Симметричное огреничение; а/а!= 0,789 0 О,!12 о 0,042 0 О,О2$ о 5>аз=7<аз 0,646 о О,<$4 о 0,050 о о.озо о 0,735 о О,<11 о 0,048 о О,аот о а, ат ае а, а, а, а, ае О, 837 о' О, <ОЗ о' о,озз о о.о<з о 0,90! о 0,072 о 0,0$5 о о,ооз о а Несимметричное огреннчеиие: 3!аз-о О,ТЗО 0,$42 0,025 0,052 о,оо< О,ага о о,оов 0.736 0,078 0,062 0,042 О,О<2 0,025 о,ооз О,О<5 0,68! 0,007 О,<ОТ 0,007 О,О45 О,ОО4 0,026 О,ОО4 О,ТО4 О,аг! О,'Оов 0,0$5 .0,037 о,о<! 0,0$9 0,009 0,733 О,гвв о' О,Ога о' О, ООО о' о,ооз 0,740 0,$93 О,ОО7 0,043 о' о,о<о о О.ОО2 а ° Р ° а а', ае а, ат а, о<а! аи (12.32) а=! несимметричное огреиичение: а/азлв где Решение (26!.
В соответствии с определением математическое ожидание на выходе ограничителя — а а 1 (в! Р, К) Я = — (> ) Рз (в) 5(В+ 5 ) Ьь, (в) Я + — е — а о +а ) рт(5) Д, и где Р (в) — нормальная плотность распределения вероятностей ! (!2.21) при т = О. После подстановки Рт(с) в выражение для т„ 1 и несложных вычислений получим п<ч = э71 —" ! — Ф вЂ”" — Ф' —" — 1 — Ф вЂ” + "М Лля вычисления корреляционной функции )сч(т) воспользуемся формулой (12.18). После двукратного дифференцирования нелиней- ной характеристики 1 (Ц ограничителя имеем ~"Ц! = 5 (б Я + ~) — 8 Д вЂ” и)), в соответствии с чем из (12.18) находим !26! ' -- ~["--[ — )-"-"[- )]'""= =о„* ~ч', а г" (т), О ! [ 0 3 ! 0 5 ! О 7 [ ! 0 03 [ 05 [ $,0 [ 1,5 ! 20 [ ео л "$ "$''/' $' $' '! '$'' '$ $' О<аз=о,з 5<аз=-о,б О<аз=0,7 5!аз=0,$ а = Ф<" '> — Ф<" и Значения коэффициентов а„для различных случаев ограничения даны в табл.
!2.3, откуда, в частности, следует, что определяющую роль в формуле (12,32) играет первый член с коэффициентом а . Сумма всех остальных коэффициентов даже при сильном ограничении (например, симметричное ограничение а!о~ = 0,1) составляет примерно 36070 от суммы всех коэффициентов. Поэтому иногда при расчетах в (12.32) учитывают только первый член, что по существу соответствует линейному преобразованию процесса в ( ).
12.6. На вход квантующего устройства с характеристикой 7> = ~ (Ц = а„а! ~~ а < а,+„ где ! = 1, 2, 3, ..., $2' — 1, (рис. !2. !0) воздействует стационарный гауссовский случайный процесс В (!) с нулевым математическим ожиданием а<1 = 0 и корреляционной функцией 141(т) = о!71(т). 336 ПРедполагаетсЯ, что фУнкциЯ ! Ц! нечетна, т. е. — 4 ! — 2! .—. 4 (ои), а общее количество уровней квантования а! равно четному числу. Определить математическое ожидание а<и и корреляционную фУнкЦию Яц(т) пРоЦесса 71 (1) на выхоДе квантователа. Решение П !.
Математическое ожидание ич = М (т> (!) ) =- ($' (и! Рг(5) Щ. го 357 аг а, а, ае а, а, ае 0,809 о,озв 0,08! 0,0$9 О,О2$ О',О>1 0,007 0,006 0.819 0,085 0,043 0,029 0,005 о,о<о о,оо! О.ООЗ О,зо< О,В4О О,!о440,0$8 0,006 0,087 0,0$3 0,009 О,ОО! О.Огв 0,002 0,004 0,00! 0,008 о,оо<о,оог 0,859 о',оз< О,аза 0,0$4 О,ОО7 0,005 о,'оо! о,оо! О,884 О,>$0 о',о<$ О,ОО7 О,ОО2 о' О,ОО2 о 0,87$ О,ОО6 О,ОВ6 о,'ооз О,О2$ О',ОО1 О,ОО5 о' О,ззв о,оз< 0,053 о оов о,оов О,ОО2 О,ОО< о 0,902 0,075 0,014 о,ооз о,ооз о о,оог о 0,930 о.о<о 0,049 о.оор О.ОО5 о о о 0,939 0,025 6,029 0,002 0,002 о о о О,О44 о,озв 0,0$5 о' о,оог о' о.оо! о й а-1 т г й чайного процес- о ~' [Ц = е-й'lет' т р'2в находим (12.33) Рис (2 1(.
Амплитудная характеристика сглаженного ограничителя Подставляя сюда плотность распределения вероятностей РЯ), определяемую формулой (12.21) при та= О, и учитывая нечетность функции )[к[, находим гпч = О. Корреляционная функция процесса т) (1) на основании формулы (12.17) равна ОО и я„(,)= — Х 1" 1[арф +)~ /— ~(л —. Выполнив интегрирование по частям, получим: 60 (Ф [Щф(л+1) ~ — 1с(й= [ Р [ЦФ(Я> ( ~ ~,Ц (ой/ СО ОО Для рассматриваемого примера М вЂ” ! ~' [Ц =;т', Л, Ь ($ — а,), с г где Ь; = а~+а — а~ — расстояние между соседними уровнями квантования. Таким образом, находим: ) ~~па '(')а- ть.е ( ') Ф Подставляя это выражение в )гп(т), получаем следующую формулу для корреляционной функции: 12.7.
Найти корреляционную функцию )сч(г) на выходе безынерционного сглаженного ограничителя с характеристикой (рис. 12.11) в т(=([Ц= а+ (Ге-лыет'г(х, 23 2вю где а и у — постоянные величины, при воздействии на вход ограничителя стационарного гауссовского шума с двумерной плотностью распределения вероятностей (12.14). Решение. Для определения Яч(т) воспользуемся формулой (12.20). Подставив в нее первые производные Фе ч Г ~-" х Зг (т) ву' [' ( — г[ (т) ),) 2в '[/Р:Л Хекр~ — ~т а~а+ ~а ~ дайга, 2 (Ьа — аа) таой(та+о3[) — га(т)[) тазг (т) (та+ой)а ой гй (т) ' та+ока [( — гаа (т)[ Двукратный интеграл в правой части равенства (12.33) равен единице, поскольку он представляет собой интеграл от двумерной нормальной плотности распределения вероятностей по всей области изменения переменных.
Следовательно, дл22 2 (т) 2ая / Ь2 ая 2а оа ~ (' о~е 23 (т) 2 2/2 дга(т) птя 122 1 — 21(т) п(о1+тя) ! 1 о!+22 Отсюда находим Р 2 (21 Р1-. 'т' 2а' г 2|х, 2ая оа~ 22 (т) т,,(т) =— 1- С = — агся!п +С, и ~ 1 — хя и а'+т' где С вЂ” произвольная постоянная интегрирования. Она опреде- ляется из условий !ппгя(т)=0, !пп т,т(т)=С=т„'=а'. т-2Р2 т-2 00 Таким образом, искомая корреляционная функция равна 2а' . о1 22 (") !рч (т) = — агся!п ат-~.та $ Если воспользоваться разложением агся!пх=х+ — х + — х +..., 1 а 13 2 3 2 4.5 функцию (12.34) можно представить в виде ряда ~~(),, +, +... 3.
ЗАДАЧИ И ОТВЕТЪ| 12.1. На вход двухполупернодного квадратичного детектора с характеристикой (рис. 12.3) Ч =- (!5! — — а22, а) О, воздействует стационарный гауссовский процесс $ (1) с математическим ожиданием тя и дисперсией Р3 = о1. Найти плотность распределения вероятностей рт(т)), математическое ожидание т„и дисперсию Р„выходного процесса Ч (1).
Ответ: 2'2 2Р2+ 1, Р„=2 'Р22Р2ее 12, ехр —, | + Рис. 12,12. Нслине32вая электрическая цсиь 12.2. Огибающая А (1) узкополосного случайного напряжения на входе квадратичного детектора огибающей распределена по закону Релея: рт(А) е — л /ио А - 0 . Найти плотность распределения вероятностей ра(т)), математическое ожидание тч и дисперсию Р„напряжения 2! (1) на выходе детектора, если т| (1) = (а/2) Аа(1). Ответ: птч = сига, Р„= и' о', р, (т|) = — е — чl ', т| ' и О!. 1 аоа 12.3. На цепь, состоящую из последовательно соединенных полупроводникового диода 12 и резистора Я (рис. 12.12), воздействует случайное напряжение $ (1), представляющее собой стационарный гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием тя — — 0 и дисперсией Р3 = о1.
Характеристика диода имеет вид (яи, и)0, (яти, и<0, где ( пр + ) ' 2 ( 2обр + ) 2 )ет и )ст — внутреннее сопротивление диода в прямом и об- пр Рбр ратном направлении. Определить математическое ожидание тт тока 1(1) в цепи и его дисперсию Рь ая' а' Ответ: т, = — 1(я — яя); Рт = — ~ Ни — 1) (яа+ я1) +2атя). 12.4. Найти плотность распределения вероятностей рт(Ч) напряжения Ч (1) на выходе однополупериодного линейного детектора, характеристика которого представлена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
