Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (1092036), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В некоторый момент времени 1 = (в на третий вход сумматора по- дается сигнал и,(7) =- (/,соз соей Определить отношение (шы) +* (шы) а= (оы),+$ где (т,), — математическое ожидание процесса у (г) на выходе устройства при воздействии на его вход процессов $ (1) и и,(1), (т„),+, и (оы),+, — соответственно математическое ожидание и среднее квадратическое значение при воздействии процессов $ (1), и,(1) и и,(1). О«лвет [2(/.~- — ) — —,Р [ —— где (/' = (/', + (/3 + 2(/,(/,созф.
При 1/е/2пяй « 1 и с/е(2а1 « 1 имеем а — ( — ) ((/и+ 21/, (/, соз ф) ай 1 ( и 11(2 чя 4 (,4 — и) при 1/е/2пг ~) 1, (/,'/2п1 >г 1 а =- (1/ — 1/,)/ой. Графики функций а = /([/,/ай, [/,/ай) приведены на рис. 12.30. 12.21. На вход, безынерционного однополупериодного линейного детектора с характеристикой (рис. 12,13) )а$, $>0, [О, 5<0', воздействует стационарный гауссовский шум $ (1) с нулевым математическим ожиданием т3 = 0 и корреляционной функцией Кй(т) = Пги«3(т). Определить математическое ожидание т„, корреляционную функцию Кч(т) и дисперсию О„выходного процесса т! (1).
3 х ае/вв «3 х аи/вр Рис, 12,30, Относительное нриращеиие математического ожидания на выходе линейного детектора огибающей 372 Ответ [33[: о' и' 1 — — — К, (т) = 3 ([1 — «1 (т)[ г + )' 2и 2и ое Г (73~ (т) [ а иег +«1(т) агссоз[ — «1 (т))) — т' — Я1(т) —,'-; В = У к а з а н и е: Следует воспользоваться разложениями в ряд: 1 агссоз( — г) = — +г+ — г'+ ..., 2 2 3 гг)1(г 2 24 12.22. На вход безынерционного двухполупериодного линейного детектора с характеристикой (рис. 12.14) [ .В .
И > О. ( — а$, 5<0, воздействует стационарный гауссовский шум $ (1) с нулевым математическим ожиданием тй = 0 и корраляционной функцией Я3(т) = а1«3(т). Определить математическое ожидание т„процесса г! (1) на вы- ходе детектора и его корреляционную функцию )гч(т). Ответ: т„=1/ — аай, /тч(т) = — Ц(т). и ио1 12.23. На вход безынерционного однополупериодного квадра- тичного детектора с амплитудной характеристикой (рис. 12.15) )азе, $>0, 10„5<0, воздействует стационарный гауссовский случайный процесс $ (1) с нулевым математическим ожиданием тй =- 0 и корреляционной функцией Яй(т) = пй«3(т).
Определить математическое ожидание т„ и корреляционную функцию Яч(т) выходного процесса т! (1). Ответ: оо1 2о'о1 г „ т„=- —, /сч(т) = — ~ — «1(т) + — агсз!и «3(т) + 2 и ~ 4 4 + — «3 (т) агсз!и «3(т) + — «3 (т) )( ! — «! (т) ~ . 2 4 12.24. На вход двухполупериодного квадратичного детектора с амплитудной характеристикой (рнс. 12.3) т! =- / [3[ =- ахи, а > О, 373 воздействует стационарный гауссовский случайный пропесс $ (1) с нулевым математическим ожиданием тй = 0 и корреляционной функцией Кй(т) = ~фй(т). Определить математическое ожидание тч и корреляционную фУнкцию Кч(т) выходного пРоцесса Ч (!).
Ответ: т„= аб(; йп(т) = 2аа/фт). 12.25. На вход квантующего устройства на три уровня с амп-. литудной характеристикой (рис. 21,31) — Ь, $< — Р, Ч=/ [й) = О, — Р<$<и, а, а>и, воздействует стационарный гауссовский шум $ (1) с нулевым ма- тематическим ожиданием тй = 0 и корреляционной функцией )хй(т) = ай ей(т). Определить математическое ожидание т„и корреляционную фУнкцию Кч(т) выходного пРоцесса т1 (1). Ответ: т„= (а — Ь) — аф — — Ьф и,!,1= т [,е~ [ — ").г ье~ [ — ! )) ~. 12.26. На вход несимметричного квантующего устройства иа два уровня с амплитудной характеристикой (рис. 1.32) Ч=/Б!=1 [ — Ь, 3<0, воздействует стационарный гауссовский шум 5 (1) с нулевым математическим ожиданием тй — — 0 и корреляционной функцией Яй(т) =- = <фй(т).
Определить математическое ожидание т„и корреляционную функцию гаги(т) процесса г1 (1) на выходе устройства. Ответ: тч = — (а — Ь), ггч (т) 1 (а +Ыа агсз[п гй (т). 2 2п 12.27. На ввод нелинейного безынерционного устройства с амплитудной характеристикой (рис. 12.33) где а/(и — е) = Ь/(7 — Р) = в, воздействует стапионарный гауссовский шум $ (1) с нулевым математическим ожиданием тй — — 0 и КОРРЕЛЯЦИОННОЙ фУНКЦИЕй Яй(т) =- бйаей(т).
Определить математическое ожидание тч и корреляционную функцию К,(т) процесса т1 (1) на выходе. Ответ: Рис, 12.33. Амплитудная характеристика ограничителя — Ь, Ь |+у)/(у — 6), Ч=/[и . О, а ($ — е)/(и — е), $<,— ~. — р<$< — у, — у<в<в, в<5<и, $)и, гсч(т)=(дбй)а ~~~~ ~[Ф1а+гг( '" ) ф!и+!1~ 6 )~ и 1 ~$ — — ) — Фса '1~ — )[) — Гй(т). Рис.
12.32. Амплитудная ха. рактеристика несимметричного квангователя иа два уровня Рис, 12.31. Амплитудная характеристика квантующего устройства иа три уровня ЗУ4 375 12.28. На вход однополупериодного линейного детектора с амплитудной характеристикой воздействует стационарный гауссовский случайный процесс $(!) с нулевым математическим ожиданием тй = 0 и корреляционной функцией )«1 (т) == ой«1(т). Определить математическое ожидание тп и корреляционную функцию Яп(т) выходного процесса т) (!). Ответ: т„= аой Ф' — — — Ф Рис. 12.34. Амплпт»иная ларактеристпка симметричного сглаженного ог- раничителя Рис 1235.
Безынерционное нелинейное устройство с двумя входами [1п ( с) = (аоа)2 ~ Ф!'> ( — а ~ «й (т) -[- ~['- [-')['"") 12.29. На логарифмическое устройство с нелинейной характеристикой вида ( [п (1 [- а$), $ ) О, О, 4<0, воздействует стационарный гауссовский случайный процесс $ (() с нулевым математическим ожиданием тй = 0 и корреляционной функцией Кй(т) = ой~«1(т). Определить корреляционную функциию Кп(т) и дисперсию 0„ процесса т) (!) на выходе.
Ответ [77): ОО ОО 22 2 а !е- — Х [[~ и"; ! * о и!"~ !(ч где а = аоя)Г2; 0„(х) — функция параболического цилиндра [78[1 ОО, 1 0„= ~- ) е — '1п'(1+ах)«[х — Ма([п(1-[-а$)). о 12.30, На вход симметричного ограничителя с характеристикой (рис. 12.34) т) =~[2) = и [ е ')~па«[х — а 1/2н по 1 воздействует гауссовский стационарный шум 5 (1) с нулевым математическим ожиданием тй = 0 и корреляционной функцией 17й(т) = опт).
зча ой (( «га рс (т)) = 1 [2а, [б (т! + а) + б(т! — а))/2, ОО =О«п ой)) о,; агса)и [«1 (т)/(1+а)[ [«и (т) ой а= а агса!и [1/(1+а)1 па 12.31. На вход безынерционного нелинейного устройства (рис. 12.35) воздействуют стационарные гауссовские случайные процессы хт(!) и ха(!) с нулевыми математическими ожиданиями т„, = т,, = 0 и дисперсиями 0„, =- 0„, =- 1. Совместная плотность распределения вероятностей процессов х,(!) и ха(Г) имеет вид 1 х[ — 2гх, х,+х',1 р,(х„х,) = ехр~— где « = «(т) — нормированная взаимная корреляционная функция.
Процесс на выходе нелинейного устройства определяется соотношением у (1) = г [хт(!),,ха(!)[. Доказать, что п-я производная от математического ожидания М(у (1)) по «(т) а" м (р(г)) / аап[[х (О,;(г)1 дг" (т) ( д" х, (О д" х, (Г) 377 Определить одномерную плотность распределения вероятностей р,(т!) и корреляционную функцию Яп(т) процесса т! (!) на выходе ограничителя. Ответ [79): .
где О' Л'О Вх — Ы, — Ы в — 2в1 3ч,(в) = 2л оа Ме о12 — о11 2в,— в 2л 0 12.32. Используя результат задачи 12.31, определить математическое ожидание М (у (1) ) процесса у (1) на выходе безынерционного нелинейного устройства с характеристикой у (1) = 1 [х,(1), х, (1)1 = ['хх(г) [- х,(1) [ — ['х, (1) — ха(1) [, где х,(1) и х,(1) — стационарные гауссовские случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями т,, = т, = О, дисперсиями Р,, = Р,, = 1 и совместной плотностью распределения вероятностей 1 [ к,' — 2гк1 ко+ко ) ра(х„ха) = ехр [— 2л о' Уо 2л о' уо 0~(в~(вг в1 в1 < 01 < в2 2о1,(в ~ в, +оуь в, +вг( о1(2о1„ О1,— 1О, при других в. Ответ: М (у (1)) -гп, = — '[[1'1+г — 7 ~ — гг). Ул 12,33.
Процесс 2[ (г) формируется из случайного колебания $ (1) посредством нелинейного безынерционного преобразования: 11 (1) = 1 Ц (1)1. предполагается, что $ (1) — стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием та = 0 и корреляционной функцией Рх(т) = а1га(т). Определить корреляционную функцию )7ч(т) процесса Ч (1) для следующих частных случаев: 1) ч (1) = В (1) В (1+ т); 2) [(1) = Р(1); 3) ) (г) = 6а(г).
Ответ: 1) Яч(т) = Щт) + Яа(т + Т) Яг(т — Т); 2) )х'ч(т) = БКЦт) + 9о~гйа(т); 3) Ьч(т) = 24Я1(т) + 72а$)с1(т). 12.34. Определить спектральную плотность Яч(в) случайного процесса 2[(1) на выходе однополупернодного линейного детектора с амплитудной характеристикой ~ а$, $)0, [О, 5<0, при воздействии на его вход стационарного гауссовского случайного процесса $ (1) с нулевым математическим ожиданием та = 0 и спектральной плотностью 1 У„охг<в<ва, 31(в) = [ 0 при других в. Ответ: 5ч(в) = (пало/2л) (о1, — в,) 6 (о1) + Яч.(в) зтз Ответ: 3ч(в) = (2аайгоЪ) (соа — в1) 6 (о1) + 3ч.(в), 1$ ГДЕ Ф в' 3ч,(в) = 0(в(в,— „ В, — 101 в — 2в1 Ща — в1 2ва — в О' 1чо 21ог .в(в,-~-в„ в, + вг < в (2о12.
о уа График. спектральной плотности Яч,(в) приведен на рис. 12.37. вг,рв ггг вг-вг вг вг гвг вгео1г ™г а1 Рнс. 12.26. Спектральная плотность процесса на выходе однополупернодного детектора зто График функции Яч,(в) представлен на рис. 12.36. 12.35. Определить спектральную плотность Яч(в) случайного процесса Ч (г) на выходе двухполупериодного линейного детектора с амплитудной характеристикой а$, $ЪО, — а$, $(0, при воздействии на его вход стационарного 'гауссовского случай- ного процесса $ (1) с нулевым математическим ожиданием та = 0 и спектральной плотностью [йго, вг<в~(вг, 51(в) = ~ 0 при других в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
